Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть ai(x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = e rx . Тогда y’ = r·e rx , y» = r 2 ·e rx ,…, y ( n ) = r n ·e rx . Подставляя в (6), получаем

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Пример №1 . Для уравнения y»-3y’ + 2y=0 корни характеристического уравнения r 2 — 3r + 2 = 0 равны r1 = 1, r2 = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y1 = e x , y2 = e 2 x , а общее решение записывается в виде y = C1e x + C2e 2 x .
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r1 имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r1 = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
an(x)·r n +an-1(x)·r n-1 + . + an-α(x)·r α =0
так как в противном случае r не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:
an(x)·y (n) +an-1(x)·y (n-1) + . + an-α(x)·y α =0
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x 2 , …, x α-1 . (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим

Пример №2 . Для уравнения y»’-4y»+4y’ = 0 характеристическое уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y1 = 1, y2 = e 2 x , y3 = xe 2 x , а общее решение имеет вид y = C1 + C2e 2 x + C3xe 2 x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня rj = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число rk = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции yj l =x l ·e (a+b·i)x и yk l =x l ·e (a-b·i)x , l=0,1. α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения второго порядка

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(8)

Алгебраическое уравнение k 2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).

Для нахождения общего решения уравнения (8):

1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k1 ¹ k2, и общее решение уравнения (8) имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(9)

б) D = 0. Тогда k = k1 = k2 – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(10)

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

1. Запишем характеристическое уравнение k 2 + k – 2 = 0.

Найдем его корни

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид; k1 = –2; k2 = 1.

Так как k1 ¹ k2 – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 2k + 1 = 0.

Найдем его корни

В этом случае общее решение находим по формуле (10)

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 4k + 5 = 0.

Найдем его корни

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видЗдесь Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение находим по формуле (11)

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

5) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

5) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид= 0:

1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;

2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) составляется характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0.

Тест 22. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k1 и k2. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 23. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видТогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 24. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет равные корни k1 = k2. Тогда общее решение однородного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 25. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видТогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 26. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 27. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D 2 + Bx + C и т. д.

Пример 10. Определить вид частного решения уравнения

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Запишем соответствующее однородное уравнение

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

1. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 3 = 0 имеет корни k1 = 1; k2 = 3.

2. В правой части данного уравнения функция вида (13)

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3. Здесь a = 2 – не является корнем характеристического уравнения; Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид– многочлен первой степени.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид= e 2x (Ax + B).

2. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f(x) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(17)

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.

Если a ± bi не являются корнями соответствующего характеристического уравненияЕсли a ± bi – корни характеристического уравнения
Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(18) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(19)

Пример 11. Определить вид частного решения уравнения

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Запишем соответствующее однородное уравнение

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

1. Характеристическое уравнение k 2 + 4k – 2 = 0 имеет корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2. В правой части данного уравнения функция вида (17)
f(x) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видт. е. f(x) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3. Здесь a = 0; b = 2. Составленные из этих значений комплексные числа a ± bi = 0 ± 2i не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 34. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 3 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корни k1 = 1; k2 = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

5) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 35. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 4 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корень k = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет вид:

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

5) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Ряды

Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(1)

называется числовым рядом, или просто рядом.

Числа Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видназываются членами ряда, член an с произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид…, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид… называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(2)

Пример 1. Пусть дана числовая последовательность

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. (3)

Тогда последовательность Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видбудет иметь вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид…, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Последовательности (3) соответствует ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(4)

Пример 2.Рассмотрим ряд

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид(5)

Найдем его частичную сумму Sn. Имеем

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Его частичную сумму можно упростить, если заметить, что

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тест 1. Определить второй член ряда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

5) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Тест 2.Определить частичную сумму S3 ряда 1 + Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+ Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+ Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+… :

1) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

2) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

3) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

4) Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Простейшими примерами числовых рядов, вопрос о сходимости которых решен, являются следующие ряды:

1. Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видгеометрический ряд, который при Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид 1 сходится, при α ≤ 1 расходится.

Пример 3.Исследовать сходимость ряда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+ Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+ Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+…+ Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+… .

Это геометрический ряд, так как q = Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид1;

5) при Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения (варианты)

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это уравнение вида Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видполучим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видоткуда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Возвращаясь к функции у, получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Используем условие Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Окончательно Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Решим соответствующее однородное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Составим характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видЕго корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видПодставим в исходное Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда частное решение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение неоднородного примет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Продифференцируем по х второе уравнение

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Исключая с помощью первого уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види с помощью второго уравнения системы, получим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение для х будет Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Подставим в исходное Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда частное решение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение неоднородного примет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Из второго уравнения

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Видео:Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"

Вариант 2

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Интегрируем: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Посчитаем интегралы отдельно:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это уравнение вида Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видполучим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видоткуда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видВозвращаясь к функции у, получим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Используем условие Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Окончательно Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Отсюда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид,

Замена Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видполучим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Возвращаясь к функции у, получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Решим соответствующее однородное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Составим характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видЕго корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видПодставим в исходное Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда частное решение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение неоднородного примет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0

Корни характеристического уравнения:

R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x

Уравнение имеет частное решение вида: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Y’ = Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Y» = Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Y»’ = Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид-3Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид+4Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид=Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Частное решение имеет вид: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3 — 16r = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx

Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx

Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/24;

Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x

Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)

или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;

Частное решение имеет вид:

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)

или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;

Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)

Окончательно, общее решение данного уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -6 r + 8 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда окончательно Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -4 r + 4 = 0

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.

Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)

или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;

Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Используем начальные условия Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда окончательно, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет мнимые корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Подставляем в первое граничное условие

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Подставляем во второе граничное условие Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— собственные значения

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— собственные векторы

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по х первое уравнение

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Исключая с помощью второго уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение для х будет Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Подставим в исходное Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид,

Тогда частное решение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение неоднородного примет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Из первого уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Продифференцируем по х второе уравнение

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Исключая с помощью первого уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, получим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение для х будет Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Подставим в исходное Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда частное решение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение неоднородного примет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Из второго уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Вариант 5

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Интегрируем: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Посчитаем интегралы отдельно:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это уравнение вида Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видполучим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Интегрируя, находим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видоткуда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Возвращаясь к функции у, получим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Используем условие Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Окончательно Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Отсюда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид,

Замена Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видполучим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видили Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Возвращаясь к функции у, получим Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Решим соответствующее однородное уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Составим характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видЕго корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Подставим в исходное Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда частное решение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение неоднородного примет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 — r= 0

Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим правую часть: f(x) = Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Уравнение имеет частное решение вида: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видкоторые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Частное решение имеет вид: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видr2 = -4i

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x

Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем

Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = 2;

Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)

Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 1/2;

Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда окончательно Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.

Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;

Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Используем начальные условия Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Тогда окончательно, Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет мнимые корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Подставляем в первое граничное условие

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Тогда Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Подставляем во второе граничное условие Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— собственные значения

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид— собственные векторы

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Продифференцируем по х второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Исключая с помощью первого уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види с помощью второго уравнения системы, получим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид,

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение для Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видбудет Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Из второго уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Найдём сначала общее решение соответствующей однородной системы Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Продифференцируем по х второе уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Исключая с помощью первого уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет види с помощью второго уравнения системы, получим

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид,

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видимеет корни Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид. Следовательно, общее решение для Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видбудет Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид.

Из второго уравнения Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видОбщее решение однородной системы:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Принимаем частное решение первоначальной системы в виде:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Решаем данную систему по формулам Крамера, получим два дифференциальных уравнения первого порядка:

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видОкончательно,

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет видИли

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

Ответ: Дано дифференциальное уравнение тогда соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид

🌟 Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение в ДУСкачать

Характеристическое уравнение в ДУ

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

Дифференциальные уравнения для самых маленькихСкачать

Дифференциальные уравнения для самых маленьких

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.

Характеристическое уравнение диффураСкачать

Характеристическое уравнение диффура

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядка

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

7. ДУ. ЛНДУ с правой частью спец вида (4270 Берман Г.Н)Скачать

7. ДУ. ЛНДУ с правой частью спец вида (4270 Берман Г.Н)
Поделиться или сохранить к себе: