Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

213. Фокус и директриса параболы.

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы(1)

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы.

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

Видео:Фокус и директриса параболы 2Скачать

Фокус и директриса параболы 2

Как найти фокус параболы

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы,

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

На чертеже линия параболы – бордового цвета, директриса – ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы – оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² – это квадратный трёхчлен ax² + bx + c , в котором b = 0 и c = 0 . График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Директриса параболы определяется уравнением Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы.

Расстояние r от любой точки Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыпараболы до фокуса определяется формулой Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы.

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае – в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Находим координаты фокуса параболы:

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Решение. Находим p:

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Получаем уравнение директрисы параболы:

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p – это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Видео:Фокус и директриса параболы 1Скачать

Фокус и директриса параболы 1

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

  1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы
  2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Видео:Построение параболы по ее директрисе и фокусуСкачать

Построение параболы по ее директрисе и фокусу

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2 ).

Видео:Фокус и директриса параболы 2Скачать

Фокус и директриса параболы 2

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Видео:Видеоурок "Парабола"Скачать

Видеоурок "Парабола"

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

  • х = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Видео:§24 Каноническое уравнение параболыСкачать

§24 Каноническое уравнение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

  1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
  2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

  • D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D 0,5 ) / (2 * a);
  • D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

  • определить направление ветвей;
  • найти координаты вершины;
  • найти пересечение с осью ординат;
  • найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

  1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
  2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
  4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
  5. ищем корни:
  • Х1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • Х2 = (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

  1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
  2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
  3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
  4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
  • Х1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

Эксцентриситет (константа) = 1.

Видео:Парабола (часть 1). Каноническое уравнение параболы. Высшая математика.Скачать

Парабола (часть 1). Каноническое уравнение параболы. Высшая математика.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Видео:Паша и алгосы. Четыре задачи на два указателяСкачать

Паша и алгосы. Четыре задачи на два указателя

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: $ε =frac $, где точка $M_d$ – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$. Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Видео:Алгебра. Функции и графики. Парабола. Поиск коэффициентов. Тренажёр ОГЭ.Скачать

Алгебра. Функции и графики. Парабола. Поиск коэффициентов. Тренажёр ОГЭ.

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ – в правую.
  2. Упростите полученное выражение.
  3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

Приводим в форму квадрата:

Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

  • Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
  • Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = frac $, следовательно, в нашем случае $p = frac $.
  • Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -frac cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3frac $.

    Задай вопрос специалистам и получи
    ответ уже через 15 минут!

    Видео:Парабола | Элементы аналитической геометрииСкачать

    Парабола | Элементы аналитической геометрии

    Парабола — определение и вычисление с примерами решения

    Парабола:

    Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.

    Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисыДана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы.

    Возведем обе части уравнения в квадрат

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы(а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Рис. 35а. Параболы и их уравнения.

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Рис. 356. Параболы и их уравнения.

    Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:

    • Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы— точка пересечения параболы с осью абсцисс;
    • Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы— точка пересечения параболы с осью ординат.

    Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.

    Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыследовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

    Пример:

    Дано уравнение параболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыОпределить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.

    Решение:

    Так как из уравнения параболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыследует, что Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыследовательно, Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыТаким образом, фокус этой параболы лежит в точке Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыа уравнение директрисы имеет вид Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Пример:

    Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыдо её асимптоты.

    Решение:

    Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.

    Гипербола: Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Следовательно, действительная полуось гиперболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыа мнимая полуось — Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыГипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыИтак, Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыВычислим расстояние от фокуса Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыдо асимптоты Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыкоторое равно параметру р:

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид: Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Пример:

    Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыНаписать уравнение директрисы.

    Решение:

    Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Следовательно, большая полуось эллипса Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыа малая полуось Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыТак как Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы, то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыИтак, Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыТак как фокус параболы Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисысовпадает с одним из фокусов Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыили Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыэллипса, то параметр р найдем из равенства Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыуравнение параболы имеет вид Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыДиректриса определяется уравнением Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

    Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

    Уравнение параболоида вращения

    Пусть вертикальная парабола

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисыпараболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).

    Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения

    Дана парабола у2 4х координаты ее фокуса f и уравнение директрисы

    Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.

    Рекомендую подробно изучить предметы:
    • Геометрия
    • Аналитическая геометрия
    • Начертательная геометрия
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Многогранник
    • Решение задач на вычисление площадей
    • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
    • Четырехугольник
    • Многогранники
    • Окружность
    • Эллипс
    • Гипербола

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    📸 Видео

    Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

    Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

    Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

    Квадратичная функция и ее график. 8 класс.

    Определение знаков коэффициентов квадратного уравнения (параболы) по рисунку/ЗНО 2010 #25Скачать

    Определение знаков коэффициентов квадратного уравнения (параболы) по рисунку/ЗНО 2010 #25
  • Поделиться или сохранить к себе: