Чтобы решить задачу с помощью уравнения нужно разделить сюжет на события части задания

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Видео:Урок 14 Решение задач с помощью уравнений (5 класс)Скачать

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac=frac$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | ВидеоурокСкачать

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Алгебра 7 классСкачать

Задачи, решаемые с помощью уравнения: примеры, объяснение. Задачи по алгебре

Рано или поздно любому школьнику на уроках алгебры встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения. Поначалу появление букв вместо привычных цифр и действия с ними ставят в тупик даже самых одарённых, но если разобраться, всё далеко не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Алгоритм решения

Перед тем как перейти к конкретным примерам, необходимо понять алгоритм решения задач с помощью уравнений. В любом уравнении есть неизвестное, чаще всего обозначаемое буквой Х. Также и в каждой задаче есть то, что необходимо найти, то же самое неизвестное. Именно его и нужно обозначать как Х. А потом, следуя условию задачи, прибавлять, отнимать, умножать и делить – совершать любые необходимые действия.

После нахождения неизвестного обязательно выполнение проверки, чтобы быть уверенными, что задача решена правильно. Стоит заметить, что дети уже в начальной школе начинают решение задач с помощью уравнений. Примеры этому — те задачи, которые нужно решать отрезками, являющимися полнейшими аналогами буквенных неизвестных.

Видео:Математика 5 класс (Урок№16 - Задачи «на части».)Скачать

Основа основ — задача про корзины

Итак, попробуем же на практике применить решение задач с помощью уравнений, объяснение алгоритма которых было дано чуть выше.

Дана задача: Собрали некоторое количество корзин с яблоками. Сначала 3 корзины продали, потом дособирали ещё 8 корзин. В итоге получилось 12 корзин. Сколько корзин яблок собрали первоначально?

Начнём решение задачи с того, что обозначим неизвестное — то есть первоначальное количество корзин – буквой Х. Теперь начинаем составлять уравнение: Х (первоначальное количество) – 3 (проданные корзины) + 8 (те, которые собрали позже) = 12 (итоговое число корзин), то есть Х — 3 + 8 = 12. Решив простое уравнение, получим, что Х = 7. Обязательно выполняем проверку, то есть подставляем найденное число в равенство: 7 — 3 + 8 действительно равно 12, то есть задача решена верно.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать

Закрепление: концертные залы

Дана следующая задача: В двух концертных залах 450 мест. Известно, что в одном зале мест в 4 раза больше, чем в другом. Нужно узнать, сколько мест в каждом зале.

Для того чтобы решать подобные задачи по алгебре, снова нужно применить уравнение. Мы знаем, что сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 450. Пусть число мест в меньшем зале, неизвестное, будет равно Х, тогда число мест в большем зале – 4 * Х = 4Х. Следовательно, 450 = Х + 4Х = 5Х. А дальше нужно решить стандартное уравнение 450 = 5Х, где Х = 450 / 5 = 90, то есть в меньшем зале 90 мест, значит в большем – 90 * 4 = 360. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, можно проверить неравенство: 360 + 90 = 450, то есть ответ верный.

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. §3 алгебра 7 классСкачать

Классика: полки с книгами

Но задачи, решаемые с помощью уравнения, могут быть и посложнее. Например, есть три полки с книгами. На первой полке книг на 8 больше, чем на второй, а на третьей — в 3 раза больше, чем на второй, причём количество книг на первой и третьей полках равное. Сколько книг на каждой полке?

Понятно, что отталкиваться здесь нужно от второй полки, которая встречается в обоих условиях. Если мы обозначаем количество книг на ней за Х, то тогда на первой полке Х + 8 книг, а на третьей — Х * 3 книг, при этом Х + 8 = 3Х. Решив уравнение, получаем Х = 4. Выполняем проверку, подставляя неизвестное в равенство: 4 + 8 действительно равно 3 * 4, то есть задача решена правильно.

Видео:Урок по теме РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Практикуемся дальше: бобры

Как видите, решение задач с помощью уравнения гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Закрепим навыки работы с уравнениями ещё одной задачей. Первый бобр сгрыз за день какое-то количество деревьев. Второй бобр сгрыз в 6 раз больше. Третий бобр сгрыз в 2 раза больше деревьев, чем первый, но в 3 раза меньше, чем второй. Сколько деревьев сгрыз каждый бобр?

Задача не такая запутанная, какой кажется на первый взгляд. Для начала найдём неизвестное – в этой задаче это количество деревьев, сгрызенных первым бобром. Следовательно, второй бобр уничтожил 6 * Х деревьев, а третий – 2 * Х, причём это число в 3 раза меньше 6 * Х. Составляем уравнение: 6Х = 3 * 2Х. Решив его, получаем, что первый бобр погрыз всего одно дерево, тогда второй – 6, а третий – 2. Подставив числа в уравнение, понимаем, что задача решена верно.

Видео:2 Решение задач с помощью уравнений 5 классСкачать

Соотносим уравнения и условия

Если вам скажут: «К каждой задаче подберите соответствующее уравнение», — не пугайтесь – это целиком и полностью реально.

Даны следующие уравнения:

Условия задач следующие:

1. У мальчика было 6 яблок, а у девочки в два раза меньше, сколько было яблок у девочки?
2. На столе лежат ручки и карандаши, известно, что ручек на столе 6, а карандашей на 2 меньше, сколько ручек и сколько карандашей на столе?
3. У Вани на шесть монет больше, чем у Тани, а у Тани в два раза меньше, чем у Ани, сколько монет у каждого ребёнка, если у Вани и Ани одинаковое количество монет?

Составим уравнения по каждой из задач.

• В первом случае нам не известно число яблок у девочки, то есть оно равно Х, мы знаем, что Х в 2 раза меньше 6, то есть 6 = 2Х, следовательно, к этому условию подходит уравнение №2.
• Во втором случае за Х обозначается количество карандашей, тогда количество ручек Х + 2, но при этом мы знаем, что ручек 6, то есть Х + 2 = 6, значит сюда подходит третье уравнение.
• Что касается последней задачи, под номером 3, количество Таниных монет, которое встречается в двух условиях, является искомым неизвестным, тогда у Вани 6 + Х монет, а у Ани 2Х монет, то есть 6 + Х = 2Х – очевидно, что сюда подходит первое уравнение.

Если у вас есть задачи, решаемые с помощью уравнения, к которым необходимо подобрать соответствующее равенство, то составьте уравнение для каждой из задач, а потом уже соотносите то, что получилось у вас, с данными уравнениями.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Алгебра, 7 классСкачать

Усложняем: система уравнений — конфеты

Следующий этап применения буквенных равенств в алгебре – это задачи, решаемые системой уравнений. В них имеется два неизвестных, причём одно из них выражается через другое на основании имеющихся данных. Известно, что у Паши и Кати вместе 20 конфет. Ещё известно, что если бы у Паши было на 2 конфеты больше, то у него было бы 15 конфет, сколько конфет у каждого?

В данном случае мы не знаем ни количество Катиных конфет, ни количество Сашиных конфет, следовательно, у нас два неизвестных, Х и Y соответственно. Вместе с тем, мы знаем, что Y + 2 = 15.

Составив систему, получаем два уравнения:

А дальше действуем по правилам решения систем: выводим Y из второго уравнения, получая Y = 15 — 2, а потом подставляем его в первое, то есть Х + Y = Х + (15 — 2) = 20. Решив уравнение, получаем Х = 7, тогда Y = 20 — 7 = 13. Проверяем правильность решения, подставив Y во второе уравнение: 13 + 2 действительно равно 15, то есть у Кати 7 конфет, а у Паши — 13.

Видео:Уравнение. Практическая часть - решение задачи. 1 часть. 5 класс.Скачать

Ещё сложнее: квадратные уравнения и земельный участок

Встречаются также и задачи по алгебре, решаемые квадратным уравнением. В них нет ничего сложного, просто стандартная система преобразовывается в квадратное уравнение в ходе решения. Например, дан участок земли площадью в 6 гектаров (60000 квадратных метров), забор, огораживающий его, имеет длину 1000 метров. Каковы длина и ширина участка?

Составляем уравнения. Длина забора является периметром участка, следовательно, если длину обозначить Х, а ширину Y, то 1000 = 2 * (Х + Y). Площадь же, то есть Х * Y = 60000. Из первого уравнения выводим Х = 500 — Y. Подставляя его во второе уравнение, получаем (500 — Y) * Y = 60000, то есть 500Y — Y 2 = 60000. Решив уравнение, получаем стороны равные 200 и 300 метрам – квадратное уравнение имеет два корня, один из которых зачастую не подходит по условию, например, является отрицательным, тогда как ответ должен быть числом натуральным, поэтому проверку проводить обязательно.

Видео:Математика 6 класс (Урок№52 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 2.)Скачать

Повторяем: деревья в саду

Закрепляя тему, решим ещё одну задачу. В саду есть несколько яблонь, 6 груш и несколько вишнёвых деревьев. Известно, что общее количество деревьев в 5 раз больше, чем количество яблонь, при этом вишневых деревьев в 2 раза больше, чем яблоневых. Сколько деревьев каждого вида в саду и сколько в саду всего деревьев?

За неизвестное Х, как, наверное, уже понятно, обозначаем яблоневые деревья, через которые мы сможем выразить остальные величины. Известно, что Y = 2X, а Y + Х + 6 = 5Х. Подставив Y из первого уравнения, получаем равенство 2Х + Х + 6 = 5Х, откуда Х = 3, следовательно в саду Y = 3 * 2 = 6 вишнёвых деревьев. Проводим проверку и отвечаем на второй вопрос, складывая получившиеся величины: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, то есть задача решена верно.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Контрольная: сумма чисел

Решение задач с помощью уравнения далеко не такое сложное, как кажется на первый взгляд. Главное – не ошибиться в выборе неизвестного и, что ещё важнее, правильно его выразить, особенно если речь идёт о системе уравнений. В завершение даётся последняя задача, гораздо более запутанная, чем представленные выше.

Сумма трёх чисел – 40. Известно, что Х = 2Y + 3Z, а Y = Z — 2 / 3. Чему равны Х, Y и Z?

Итак, начнём с избавления от первого неизвестного. Вместо Х подставляем в равенство соответствующее выражение, получаем 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Далее заменяем также известный Y, получая равенство 3Z — 2 + 4Z = 40, откуда Z = 6. Возвращаясь к Y, находим, что он равен 5.2, а Х, в свою очередь, равен 18. С помощью проверки убеждаемся в истинности выражения, следовательно задача решена правильно.

Видео:Уравнение. Практическая часть - решение задачи. 2 часть. 5 класс.Скачать

Заключение

Итак, что же такое задачи, решаемые с помощью уравнения? Так ли они страшны, как кажется на первый взгляд? Ни в коем случае! При должной усидчивости разобраться в них не составляет никакого труда. А однажды поняв алгоритм, в дальнейшем вы сможете щёлкать подобные задачки, даже самые запутанные, как семечки. Главное – внимательность, именно она поможет правильно определить неизвестное и путём решения порой множества уравнений найти ответ.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Презентация «Методика обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Методика обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений в курсе алгебры основной школы

Логико-математический анализ темы по учебнику А.Г.Мордковича Актуализация: линейное уравнение с двумя переменными система двух линейных уравнений с двумя переменными, способы решения систем Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций Актуализация: рациональные уравнения алгоритмы и методы решения Рациональные уравнений как математические модели реальных ситуаций Актуализация: рациональные уравнения система двух рациональных уравнений с двумя переменными, способы решения систем Системы рациональных уравнений как математические модели реальных ситуаций 7 класс 8 класс 9 класс Актуализация: линейное уравнение с одной переменной Математические модели

Логико-математический анализ темы по учебнику Г.В.Дорофеева Актуализация: линейное уравнение корень уравнения правила преобразования уравнений Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной Актуализация: квадратное уравнение способы нахождения корней квадратного уравнения Решение задач с помощью квадратных уравнений Актуализация: линейное уравнение с двумя переменными системы уравнений способы решения систем Решение задач с помощью систем двух линейных уравнений с двумя переменными Актуализация: целые и дробные уравнения решение дробного уравнения Решение задач с помощью дробных уравнений 7 класс 8 класс 9 класс

Логико-математический анализ темы по учебнику Ш.А.Алимова Актуализация: линейное уравнение, корень решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным Решение задач с помощью линейных уравнений с одним неизвестным Актуализация: системы уравнений с двумя неизвестными способы решения систем Решение задач с помощью системы уравнений с двумя неизвестными Актуализация: квадратное уравнение корни способы решения квадратных уравнений Решение задач с помощью квадратных уравнений Актуализация: целые и дробные уравнения решение дробного уравнения Решение задач с помощью дробных уравнений 7 класс 8 класс 9 класс

Сравнительный анализ темы

Цели обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений в курсе алгебры основной школы: Образовательные: Учащиеся должны уметь переходить от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической; уметь решать текстовые задачи алгебраическим методом; проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи; интерпретировать полученный результат. Развивающие: Способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы. Воспитывающие: Развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение.

Решение задач с помощью линейных уравнений с одной неизвестной (по учебнику Дорофеева Г.В.) Актуализация: линейное уравнение с одной неизвестной, корень уравнения, преобразования уравнений. Работа с сюжетной задачей: Выбор величины, обозначаемой за х Выражение остальных величин через х Решение полученного уравнения Проверка полученного результата Запись ответа в терминах условия задачи Решение текстовой задачи с помощью уравнения Решение сюжетных задач с помощью уравнений

Методический анализ задачного материала в учебнике Дорофеева Г.В. (1995 г. издания) Всего 57 задач

Методика введения решения сюжетной задачи с помощью уравнения Актуализация: Заполните таблицу буквами, соответствующими полученным ответам: А) (23 – х) + 5 = 13;х = 15; Н) (х + 4) + 12 = 23;х = 7; Р) 46 + (3 – х) = 48;х = 1; М) 20 (х – 15) = 200;х = 25; И) 24 – ( х + 2) = 13;х = 9; В) 43 – (х – 4) = 21;х = 26; Е) 21 – (5 – х) = 18;х = 2; У) 10 (х + 14) = 130.х = — 1; Что же такое уравнение? (Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти.) Что такое корень уравнения? (Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.) Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или убедиться в том, что корней нет.) Какие правила помогают нам при решении уравнений? Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное 0. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак. Мотивация: Задумайте число. Умножьте его на 3. К результату прибавьте 27.Затем из полученного числа вычтите 3. Скажите мне, что у Вас получилось, и я отгадаю, какое число Вы задумали.

Задача: На одной полке книг в 5 раз больше, чем на второй. Всего на двух полках 30 книг. Сколько книг на каждой полке? 1)ознакомление с содержанием задачи а) Предъявление задачи — дети читают молча — один из учеников вслух — учитель вслух Ученики делают для себя наброски: (рисунок)

б) Выделение структуры Вопросы к задаче: О чем задача? (о полках и книгах) Что нужно узнать в задаче? (сколько книг на каждой полке) А сколько полок? (две) Сколько книг на первой полке? (неизвестно) А на второй? (неизвестно) Какова зависимость между неизвестными величинами? (на первой полке книг в 5 раз больше, чем на второй) Что еще дано в задаче? (всего 30 книг) в) Краткая запись в виде таблицы

2) Поиск решения Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо неизвестную величину обозначить через переменную и составить уравнение. Неизвестных величин, как мы поняли, у нас две. Значение какой величины лучше обозначить через букву x? (количество книг на полке II обозначим через х, т.к. оно меньше (можно выбрать кол-во книг на полке I, но тогда при решении уравнения придется иметь дело не с целыми числами, а с дробями) Если книг на полке II x, то как теперь можно записать количество книг на полке I? (5х)

Общее число книг: 5х+х с одной стороны, а с другой их 30 штук. Составим уравнение (т.е. запишем равенство, которое содержит переменную х): 5х + х = 30 Решение: 6x=30 x=5 Какую величину мы нашли? (количество книг на полке II) Что еще требуется найти в задаче? ( количество книг на полке I) Сколько книг на полке I : в пять раз больше, чем на второй, т.е. 5*5=25 3) Проверка (арифметический способ решения задачи) Решение: Ответ: на полке I – 25 книг, на полке II – 5 книг.

Задания для урока-практикума «Здоровье — не все, но все без здоровья — ничто» Сократ Задачи о вреде курения №1. Одно число в три раза больше другого. Если большее из этих чисел умножить на 2, а меньшее – на 4, то их сумма равна 42. Найдите эти числа. Меньшее из них покажет вам, сколько минут жизни забирает одна выкуренная сигарета.(2*3x+4*x=42; x=4,2) №2. Одно число на 42 меньше другого. Если первое число увеличить в 4,5 раза, ко второму прибавить 28, то их сумма будет равна 180. Найдите эти числа. Вы узнаете, сколько лет полноценной жизни забирает табак у курильщиков (меньшее из найденных чисел). ( 4,5(x-42)+x+28=180; x=62, x-42=20)

Витамины в нашей жизни №3. Одно из чисел на 0,3 больше другого. 60% большего числа на 0,03 больше, чем 70% меньшего числа. Найдите эти числа и узнайте, какова суточная потребность организма в витаминах В1 и В2 в миллиграммах. Польза: Способствует росту. Улучшает переваривание пищи Улучшает умственные способности. Нормализует работу нервной системы, мышц и сердца. Источники: капуста, свежий горох, яблоки, миндаль, зеленая фасоль, помидоры, репа, овес, яйцо, лук-порей, картофель, цельные зерна пшеницы, говядина, сыр, печень, кисломолочные продукты. №4. Одно число на 5 больше другого. 60% большего числа на 2,7 больше, чем 70% меньшего числа. Найдите эти числа и узнайте, какова суточная потребность организма в железе и меди в миллиграммах. Железо и медь принимают участие в кроветворении Усталость — первый признак недостатка железа! Источники: Мясо, печень, рыба, птица Задание для текущего контроля знаний учащихся: Купили 165 билетов в театр и цирк, причем билетов в театр в 2 раза больше, чем в цирк. Сколько купили театральных билетов и сколько билетов в цирк? В седьмых классах школы учатся 48 человек, что составляет 8% всех учащихся школы. Сколько всего учеников в школе?

Домашнее задание Купил в магазине Зине груши. Вместе будем кушать. Ну что за груши. Посмотрел, посмотрел И пару с чувством съел. Эдак не годится! Надо поделиться. Сосчитал, На две кучки разбросал. Половину Зине Понесу в корзине. Все, что осталось, Мне досталось. На долю свою поглядел Да все и съел. А те, что Зине, Все еще лежат в корзине И не дают покоя. Вот дело какое! Нюхнул одну грушу И нечаянно скушал. Осталось в корзине 1/3 того, что взял в магазине. Сколько груш я купил в магазине И сколько их досталось Зине?

Самостоятельная работа Каждый учащийся получает задание, заранее приготовленное на листах. Задания дифференцированные (3 группы сложности) 1 группа. №1 2 группа. №2 3 группа. №3 1. В первой корзине было в 5 раз больше яблок, чем во второй. После того как из первой корзины взяли 8 кг яблок и переложили их во вторую корзину, яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было первоначально в каждой корзине? Указания: а) обозначь через х число яблок, находящихся первоначально во второй корзине; б) заполни следующую таблицу: в) составь уравнение; г) реши уравнение; д) дай ответ на вопрос задачи. 2. Используя указания к предыдущей задаче, реши следующую: В двух корзинах было поровну яблок. Если из первой корзины взять 2,8 кг яблок, то во второй будет в 2 раза больше яблок, чем в первой. Сколько килограммов яблок было в каждой корзине первоначально? 3. Туристы шли по дороге со скоростью 4 км/ч, а по шоссе — со скоростью 6 км/ч. На путь по шоссе они затратили на 3 часа меньше, чем на путь по дороге. Сколько времени туристы шли по шоссе, если пути по дороге и по шоссе равны? Используй при решении таблицу. ДвижениеV (км/ч)t (ч)S (км) по дороге по шоссе

📺 Видео

Решение задач с помощью уравненийСкачать

Решение задач с помощью уравнений. 6 классСкачать

Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать