Чтобы решить задачу с помощью уравнения нужно разделить сюжет (8 видео)

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Содержание

Введение
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Примеры решений
Задачи для самостоятельного решения
Презентация «Методика обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решение задач с помощью уравнений
📸 Видео

Видео:Математика 6 класс (Урок№51 - Решение задач с помощью уравнений. Часть 1.)Скачать

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Видео:Урок 14 Решение задач с помощью уравнений (5 класс)Скачать

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
Решают уравнение.
Истолковывают результат.

Видео:Решение задач с помощью уравнений.Скачать

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3cdot 150=1,5(x-3cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=frac=frac$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Алгебра 7 классСкачать

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3cdot 2x-0,3cdot 10=65$$

$$2x+0,3cdot 2x=65+10+0,3cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Решение задач с помощью уравнений | ВидеоурокСкачать

Презентация «Методика обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Методика обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений в курсе алгебры основной школы

Логико-математический анализ темы по учебнику А.Г.Мордковича Актуализация: линейное уравнение с двумя переменными система двух линейных уравнений с двумя переменными, способы решения систем Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций Актуализация: рациональные уравнения алгоритмы и методы решения Рациональные уравнений как математические модели реальных ситуаций Актуализация: рациональные уравнения система двух рациональных уравнений с двумя переменными, способы решения систем Системы рациональных уравнений как математические модели реальных ситуаций 7 класс 8 класс 9 класс Актуализация: линейное уравнение с одной переменной Математические модели

Логико-математический анализ темы по учебнику Г.В.Дорофеева Актуализация: линейное уравнение корень уравнения правила преобразования уравнений Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной Актуализация: квадратное уравнение способы нахождения корней квадратного уравнения Решение задач с помощью квадратных уравнений Актуализация: линейное уравнение с двумя переменными системы уравнений способы решения систем Решение задач с помощью систем двух линейных уравнений с двумя переменными Актуализация: целые и дробные уравнения решение дробного уравнения Решение задач с помощью дробных уравнений 7 класс 8 класс 9 класс

Логико-математический анализ темы по учебнику Ш.А.Алимова Актуализация: линейное уравнение, корень решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным Решение задач с помощью линейных уравнений с одним неизвестным Актуализация: системы уравнений с двумя неизвестными способы решения систем Решение задач с помощью системы уравнений с двумя неизвестными Актуализация: квадратное уравнение корни способы решения квадратных уравнений Решение задач с помощью квадратных уравнений Актуализация: целые и дробные уравнения решение дробного уравнения Решение задач с помощью дробных уравнений 7 класс 8 класс 9 класс

Сравнительный анализ темы

Цели обучения решению сюжетных задач с помощью уравнений в курсе алгебры основной школы: Образовательные: Учащиеся должны уметь переходить от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической; уметь решать текстовые задачи алгебраическим методом; проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи; интерпретировать полученный результат. Развивающие: Способствовать развитию внимания, логического мышления, умений анализировать, сравнивать и делать выводы. Воспитывающие: Развитие умения планировать работу, искать рациональные пути ее выполнения, способности аргументировано отстаивать свое мнение.

Решение задач с помощью линейных уравнений с одной неизвестной (по учебнику Дорофеева Г.В.) Актуализация: линейное уравнение с одной неизвестной, корень уравнения, преобразования уравнений. Работа с сюжетной задачей: Выбор величины, обозначаемой за х Выражение остальных величин через х Решение полученного уравнения Проверка полученного результата Запись ответа в терминах условия задачи Решение текстовой задачи с помощью уравнения Решение сюжетных задач с помощью уравнений

Методический анализ задачного материала в учебнике Дорофеева Г.В. (1995 г. издания) Всего 57 задач

Методика введения решения сюжетной задачи с помощью уравнения Актуализация: Заполните таблицу буквами, соответствующими полученным ответам: А) (23 – х) + 5 = 13;х = 15; Н) (х + 4) + 12 = 23;х = 7; Р) 46 + (3 – х) = 48;х = 1; М) 20 (х – 15) = 200;х = 25; И) 24 – ( х + 2) = 13;х = 9; В) 43 – (х – 4) = 21;х = 26; Е) 21 – (5 – х) = 18;х = 2; У) 10 (х + 14) = 130.х = — 1; Что же такое уравнение? (Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти.) Что такое корень уравнения? (Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.) Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или убедиться в том, что корней нет.) Какие правила помогают нам при решении уравнений? Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное 0. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак. Мотивация: Задумайте число. Умножьте его на 3. К результату прибавьте 27.Затем из полученного числа вычтите 3. Скажите мне, что у Вас получилось, и я отгадаю, какое число Вы задумали.

Задача: На одной полке книг в 5 раз больше, чем на второй. Всего на двух полках 30 книг. Сколько книг на каждой полке? 1)ознакомление с содержанием задачи а) Предъявление задачи — дети читают молча — один из учеников вслух — учитель вслух Ученики делают для себя наброски: (рисунок)

б) Выделение структуры Вопросы к задаче: О чем задача? (о полках и книгах) Что нужно узнать в задаче? (сколько книг на каждой полке) А сколько полок? (две) Сколько книг на первой полке? (неизвестно) А на второй? (неизвестно) Какова зависимость между неизвестными величинами? (на первой полке книг в 5 раз больше, чем на второй) Что еще дано в задаче? (всего 30 книг) в) Краткая запись в виде таблицы

2) Поиск решения Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо неизвестную величину обозначить через переменную и составить уравнение. Неизвестных величин, как мы поняли, у нас две. Значение какой величины лучше обозначить через букву x? (количество книг на полке II обозначим через х, т.к. оно меньше (можно выбрать кол-во книг на полке I, но тогда при решении уравнения придется иметь дело не с целыми числами, а с дробями) Если книг на полке II x, то как теперь можно записать количество книг на полке I? (5х)

Общее число книг: 5х+х с одной стороны, а с другой их 30 штук. Составим уравнение (т.е. запишем равенство, которое содержит переменную х): 5х + х = 30 Решение: 6x=30 x=5 Какую величину мы нашли? (количество книг на полке II) Что еще требуется найти в задаче? ( количество книг на полке I) Сколько книг на полке I : в пять раз больше, чем на второй, т.е. 5*5=25 3) Проверка (арифметический способ решения задачи) Решение: Ответ: на полке I – 25 книг, на полке II – 5 книг.

Задания для урока-практикума «Здоровье — не все, но все без здоровья — ничто» Сократ Задачи о вреде курения №1. Одно число в три раза больше другого. Если большее из этих чисел умножить на 2, а меньшее – на 4, то их сумма равна 42. Найдите эти числа. Меньшее из них покажет вам, сколько минут жизни забирает одна выкуренная сигарета.(2*3x+4*x=42; x=4,2) №2. Одно число на 42 меньше другого. Если первое число увеличить в 4,5 раза, ко второму прибавить 28, то их сумма будет равна 180. Найдите эти числа. Вы узнаете, сколько лет полноценной жизни забирает табак у курильщиков (меньшее из найденных чисел). ( 4,5(x-42)+x+28=180; x=62, x-42=20)

Витамины в нашей жизни №3. Одно из чисел на 0,3 больше другого. 60% большего числа на 0,03 больше, чем 70% меньшего числа. Найдите эти числа и узнайте, какова суточная потребность организма в витаминах В1 и В2 в миллиграммах. Польза: Способствует росту. Улучшает переваривание пищи Улучшает умственные способности. Нормализует работу нервной системы, мышц и сердца. Источники: капуста, свежий горох, яблоки, миндаль, зеленая фасоль, помидоры, репа, овес, яйцо, лук-порей, картофель, цельные зерна пшеницы, говядина, сыр, печень, кисломолочные продукты. №4. Одно число на 5 больше другого. 60% большего числа на 2,7 больше, чем 70% меньшего числа. Найдите эти числа и узнайте, какова суточная потребность организма в железе и меди в миллиграммах. Железо и медь принимают участие в кроветворении Усталость — первый признак недостатка железа! Источники: Мясо, печень, рыба, птица Задание для текущего контроля знаний учащихся: Купили 165 билетов в театр и цирк, причем билетов в театр в 2 раза больше, чем в цирк. Сколько купили театральных билетов и сколько билетов в цирк? В седьмых классах школы учатся 48 человек, что составляет 8% всех учащихся школы. Сколько всего учеников в школе?

Домашнее задание Купил в магазине Зине груши. Вместе будем кушать. Ну что за груши. Посмотрел, посмотрел И пару с чувством съел. Эдак не годится! Надо поделиться. Сосчитал, На две кучки разбросал. Половину Зине Понесу в корзине. Все, что осталось, Мне досталось. На долю свою поглядел Да все и съел. А те, что Зине, Все еще лежат в корзине И не дают покоя. Вот дело какое! Нюхнул одну грушу И нечаянно скушал. Осталось в корзине 1/3 того, что взял в магазине. Сколько груш я купил в магазине И сколько их досталось Зине?

Самостоятельная работа Каждый учащийся получает задание, заранее приготовленное на листах. Задания дифференцированные (3 группы сложности) 1 группа. №1 2 группа. №2 3 группа. №3 1. В первой корзине было в 5 раз больше яблок, чем во второй. После того как из первой корзины взяли 8 кг яблок и переложили их во вторую корзину, яблок в корзинах стало поровну. Сколько яблок было первоначально в каждой корзине? Указания: а) обозначь через х число яблок, находящихся первоначально во второй корзине; б) заполни следующую таблицу: в) составь уравнение; г) реши уравнение; д) дай ответ на вопрос задачи. 2. Используя указания к предыдущей задаче, реши следующую: В двух корзинах было поровну яблок. Если из первой корзины взять 2,8 кг яблок, то во второй будет в 2 раза больше яблок, чем в первой. Сколько килограммов яблок было в каждой корзине первоначально? 3. Туристы шли по дороге со скоростью 4 км/ч, а по шоссе — со скоростью 6 км/ч. На путь по шоссе они затратили на 3 часа меньше, чем на путь по дороге. Сколько времени туристы шли по шоссе, если пути по дороге и по шоссе равны? Используй при решении таблицу. ДвижениеV (км/ч)t (ч)S (км) по дороге по шоссе

Видео:Решение задач с помощью уравнений. Видеоурок 29. Математика 6 классСкачать

Решение задач с помощью уравнений

В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.

Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена. После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин. Так как эти величины равны неизвестной величине на другой стороне уравнения, то величина всех известных значений будет означать, что задача решена.

Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.

Пусть цена часов равна $x$
Эта цена была умножена на 4, то есть получаем $4x$
К произведению прибавили 70, то есть $4x + 70$
Из этого вычли 50, то есть $4x + 70 — 50$

Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.

Поэтому, это уравнение выглядит так: $4x + 70 — 50 = 220$
После проведения операций с уравнением, получаем, что $x = 50$.

То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.

Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.
Уравнение задачи имело вид $4x + 70 — 50 = 220$
Подставляя 50 вместо $x$, получаем $4 cdot 50 + 70 — 50 = 220$
Отсюда, $220 = 220$.

Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?

В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $left(fracright)x$ то же самое, что и $frac$; отсюда $left(fracright)x = frac$.

Обозначим через x искомое число.
Тогда согласно условию $x + frac — 20 = frac$
После выполнения операций на уравнением, получим $x = 16$.
Проверка: $16 + frac — 20 = frac$.

Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:
Первый сын получил на $$1000$ меньше, чем половина всего наследства;
Второй сын получил на $$800$ меньше, чем треть всего наследства;
Третий сын получил на $$600$ меньше, чем четверть всего наследства;
Какая сумма была всего наследства?
Если обозначить все наследство как x, тогда три сына получили $frac — 1000, frac — 800$ и $frac — 600$.

Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$.
Тогда мы имеем равенство $frac — 1000 + frac — 800 + frac — 600 = x$.
После выполения операций с членами уравнения, получим, что $x = 28800$
Проверка: $frac — 1000 + frac — 800 + frac — 600 = 28800$.

Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.

Так, если сумма двух чисел равна 20
И если один из них будет представлен через $x$
То другой будет равен $20 — x$.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.

Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.

Согласно условию задачи, $frac + frac = 9$.
Поэтому, $x = 12$, то есть меншая часть.
И $48 — x = 36 -$ большая часть.

Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.

Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?

Обозначим через $x$ искомое число.
a = 720 d = 7392
b = 125 h = 462
Тогда, согласно условию задачи $frac = frac$
Поэтому $x = frac$
Возвращая числа в уравнение, получим $х = frac = 1280$.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.

Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет $60$. В конце концов, он обнаруживает, что получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой сделке?

В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«.
Пусть x = искомой сумме.
Тогда, согласно условию $x + 350 — 60 = 200$
и x = -90.

Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.

Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?
Пусть $x$ — искомая широта.
Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«.
Согласно условию, x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11
и x = 0.

Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.

Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?

Пусть x — искомое число.
Тогда $frac + x + 12 = 64$.
Отсюда $x — frac = 48$.

Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,
Первый получил на 200 долларов больше чем $frac$ всей недвижимости,
Второй получил на 340 долларов больше чем $frac$ всей недвижимости,
Третий получил на 300 долларов больше чем $frac$ всей недвижимости,
Четвертый получил на 400 долларов больше чем $frac$ всей недвижимости.
Какова стоимость недвижимости?
Ответ: 4800 долларов.

Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.

Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за число?
Ответ: 8.

Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся? Ответ: $32,5$ мили.

Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20?
Ответ: 480.

Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей относится к другой как 9 к 7.
Ответ: 1125 и 875.

Задача 15. Найдите сумму денег, для которой третья, четвертая и пятая части, сложенные вместе, дадут 94 доллара?
Ответ: 120 долларов.

Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток жизни, который равнялся 20-и годам — в США. До какого возраста он дожил? Ответ: $48$ лет.

Задача 17. Найдите число, для которого $frac$ этого числа больше $frac$ его на 96?

Задача 18. Палка находится вертикально в воде. $frac$ длины палки находится в воде, а 13 футов — над водой. Какая длина палки?
Ответ: 35 футов.

Задача 19. Если к числу прибавить 10, то $frac$ этой суммы будет равняться 66. Что это за число?

Задача 20. Из всех деревьев в саду $frac$ — яблони, $frac$ — персики, а оставшиеся деревья — груши, которых на $20$ больше чем $frac$ всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?
Ответ: 800.

Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за $94$ долларов и после использования 7 галлонов он продал $frac$ от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было вначале?
Ответ: 47.

Задача 22. Если сложить $frac, frac, frac$ числа, то сумма будет равна $73$. Что это за число?
Ответ: 84.

Задача 23. После того, как человек истратил на 100 долларов больше чем $frac$ его дохода, у него осталось на 35 долларов больше чем $frac$ его дохода. Чему равнялся его доход?

Задача 24. В составе пороха было:
селитры на 10 фунтов больше чем $frac$ всего веса пороха,
серы на 4,5 фунта меньше чем $frac$ всего веса пороха,
древесного угля на 2 фунта меньше чем $frac$ селитры.
Какой вес пороха? Ответ: 69 фунтов.

Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему равнялось количество каждой жидкости?

Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый из них?
Ответ: 317, 951, 1268, 2219.

Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями.
Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый;
Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий;
Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй;
А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил самый младший.
Чему была равна вся сумма?
Ответ: 153.

Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада — $93$ овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде?

Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго? Ответ: $20$ дней.

Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна $140$. Какой возраст каждого из них?

Задача 31. Было куплено два куска ткани одинаковой цены, но разной длины. Стоимость одного куска — 5 долларов, а другого — 6,5. Если удлинить каждый кусок на $10$ м, то эти длины будет относится друг к другу как 5 к 6. Найдите длину каждого куска.

Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4. Что это за число?

Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена каждой покупки?

Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось $frac$ часть вина, 21 галлон вина впоследствии было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было вина в бочке?

Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них?

Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2.

Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа.

Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в $4$ раза больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек?

Задача 39. Разделите число 68 на две такие части, чтобы разница между большей частью и 84 должна быть равна утроенной разнице между меньшей частью и 40.

Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что $frac$ первой части, $frac$ второй и $frac$ третьей равны между собой.

Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; $frac$ армии +600 человек было ранено; а остальная часть солдат, которая равнялась $frac$ от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без вести. Какова была численность армии?
Ответ: 24000.

Для решения многих алгебраических задач, требуется уметь обращаться со степенями и арифметическими корнями. Поэтому необходимо изучить соответствующий раздел до окончания изучения уравнений.