Что значит решить уравнение аналитически и решить уравнение численно

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Аналитическое и численное решения дифференциальных уравнений

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 4492 ; Нарушение авторских прав

Модель колебаний сердечной мышцы.

К системе дифференциальных уравнений первой степени.

Переход от дифференциального уравнения высокой степени

В случаях, когда модель изучаемого процесса описывается ДУ степенью большей 1, удобно трансформировать его в систему ДУ первой степени. Именно такой стандартизованной формы требуют, например, многие математические пакеты для проведения операции численного решения ДУ (см. далее).

Напомним, что системой ДУ первой степени называется система вида:

К ней легко приводится ДУ степени n:

Приведение осуществляется путем замены переменных:

,

которая дает каноническую систему ДУ первой степени:

Рассмотрим пример. Модель колебаний сердечной мышцы (изменение ее длины y в продольном направлении) можно упрощенно описать ДУ следующего вида:

,

где p, q – постоянные коэффициенты, определяющие параметры периодического изменения возмущающего воздействия (мышечного напряжения), — угловая собственная (резонансная) частота колебаний сердечной мышцы.

Произведем замену переменных: . Получим:

Общее аналитическое решение данной системы в графическом виде будет иметь вид (подробно ход получения решения не приводится):

,

где A и B – постоянные коэффициенты.

График решения системы при начальных условиях имеет вид:

Аналитическим решением ДУ называется нахождение зависимостей его переменных от времени в виде явно заданной математической формулы.

Например, для модели Мальтуса таким аналитическим решением является формула , для модели Ферхюльста аналитическим решением является формула , а вот ДУ модели Вольтера-Лотка:

не имеют общего аналитического решения. То есть, иными словами, интегралы, возникающие в правой части выражений для и невозможно «взять», используя стандартные приемы аналитического интегрирования (см. курс высшей математики). Откуда же взялись приведенные в описании этой модели графики зависимостей переменных от времени и фазовые траектории? Они были получены путем численного решения приведенной системы ДУ.

В общем случае численное решение ДУ сводится к замене дифференциалов, входящих в его состав, малыми приращениями соответствующих переменных и нахождение решений получившегося алгебраического уравнения на интервале времени от 0 до любого заранее заданного . Рассмотрим применение простейшего метода численного решения – метода Эйлера для решения ДУ первого порядка .

Представим исходное ДУ в виде:

,

где — дискретность по времени, произвольно выбранная малая величина; ; i – шаг алгоритма.

Шаг 0. Задаем начальное условие и определяем .

Шаг 1. Вычисляем первые значения x и t по формулам:

;

.

Шаги 2 — n. Продолжаем вычисление x и t по формулам:

;

.

до тех пор пока

Аналогичным образом можно решать и системы ДУ первого порядка, к которым, как мы теперь знаем, можно свести ДУ любого порядка.

Точность численного решения при прочих равных условиях определяется выбранной величиной дискретности по времени . Чем меньше дискретность, тем точнее решение, но и тем больше шагов должен включать алгоритм. Именно по причине того, что алгоритмы численного решения ДУ требуют огромного количества элементарных вычислений (число шагов может составлять сотни и тысячи), для их практической реализации используют компьютеры. Широко используемые программы математического моделирования, как правило, имеют в своем составе стандартные функции численного решения ДУ, поэтому их пользователю нет нужды детально разбираться в тонкостях используемых алгоритмов – достаточно задать свои ДУ, начальные условия и интервал времени, на котором ищется решения. Все остальное программа сделает самостоятельно.

Простота использования описанных выше функций привела к тому, что создатели математических моделей в настоящее время обычно даже и не пытаются найти аналитическое решение разработанных ими ДУ, предпочитая во всех случаях решать их численно. Справедливости ради следует отметить, что абсолютное большинство ДУ, используемых в современном моделировании, не имеет аналитического решения в принципе.

Сказанное выше не отменяет необходимости при моделировании выполнять качественный анализ ДУ, в первую очередь путем исследования устойчивости стационарных состояний и типов поведения системы вблизи этих состояний.

Видео:Что значит РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕСкачать

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Кафедра информатики и вычислительной техники

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор работы _____________________________________И. Ю. Добрынькина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Информатика. Математика

Руководитель работы_______________________________ Т. В. Кормилицына

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Введение

Одним из факторов, определяющих уровень развития современного общества и его интеллектуальные возможности, является оснащенность его средствами вычислительной техники. Сфера использования ЭВМ в настоящее время настолько широка, что нет такой области, где ее применение было бы нецелесообразным.

Развитие вычислительной техники повлекло за собой создание и совершенствование языков программирования, а вследствие этого и программного обеспечения. Однако совершенствование программного обеспечения связано с увеличением его сложности. Поэтому процесс разработки программ становится трудоемким, а их модификация и сопровождение затруднительным.

Традиционная инженерная деятельность связана с решением совокупности разнообразных задач расчета, проведением экспериментов, оформление документации. Развитие современных методов и компьютерной технологии существенно изменяет деятельность специалиста.

В начале 90-х гг. на смену универсальным языкам программирования пришли специализированные системы компьютерной математики (СКМ). Среди них наибольшую известность получили системы Eureka, Mercury, Mathcad, Derive, Mathematica 2/3/4, Maple V R3/R4/R5 и Maple 6 и др.

Научное программное обеспечение и математические пакеты играют важную роль в современном естествознании и технике. Такие пакеты как Axiom, Derive, Maсsyma, Maple, MatLab, MathCAD, Mathematica широко распространились в университетах, исследовательских центрах и компаниях развитых стран. Владение одним или несколькими математическими пакетами и регулярное использование их в работе будь то исследовательская или преподавательская задача быстро становится нормой для специалиста.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

1. Mathematica . Решение простейших дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений в аналитической форме в пакете Mathematica используется функция DSolve, дифференциальное уравнение 29 относительно функции y(x). Функция y и все ее производные должны быть записаны с аргументом, заключенным в квадратные скобки: y[x], y’[x]

Функция DSolve стремится найти общее решение ДУ в явном виде и выдает результат в виде списка правил замены, причем каждое решение заключается в фигурные скобки. Для ДУ порядка n общее решение содержит n произвольных констант, которые обозначаются C[1], C[2],…,C[n]. Для получения частного решения необходимо в качестве первого аргумента DSolve указать список, состоящий из самого уравнения и начальных или граничных условий:

Найденные с помощью DSolve решения можно подставить в любое выражение, содержащее y(x). Однако это решение не определяет правил замены производных y’(x), y’’(x) и так далее, например:

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Чтобы получить решение, не имеющее этого недостатка, нужно в качестве второго аргумента функции DSolve записать только имя искомой функции, не указывая ее аргумент. В этом случае решение представляется в виде чистой функции («purefunction»-объекта), в котором роль аргумента x, в некоторых случаях, играет символ «#1», а признаком этого объекта является символ «&». Полученное решение можно подставить в любое выражение, содержащее как функцию y(x), так и ее производные:

Для решения систем уравнений в качестве первого аргумента функции указывается список уравнений, а в качестве второго аргумента – список искомых функций:

Если в список уравнений включить необходимое количество начальных или граничных условий, то будет найдено частное решение системы ДУ, не содержащее произвольных постоянных:

Для некоторых уравнений решение может быть выражено через спецфункции, встроенные в пакет Mathematica. Если же DSolve не может найти аналитического решения ДУ, то Mathematica просто перепечатывает введенные данные в выходную ячейку:

В этом случае нужно преобразовать ДУ к более простому виду, используя правила, известные из теории дифференциальных уравнений. Если же аналитически решить уравнение не удается, можно попробовать решить его численно.

Видео:решить уравнение относительно хСкачать

1.2 Примеры из математического анализа

Разумеется, роль систем символьной математики далеко не исчерпывается приведенными выше примерами. Эти системы способны преобразовывать сложнейшие алгебраические выражения, находить аналитические решения сложных систем линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, манипулировать со степенными многочленами, вычислять производные и интегралы, анализировать функции, находить их пределы и т. д. Это видно уже из примеров, представленных на рис. 1.6 .

В этих примерах функция D (как приятное исключение из правил, обозначенная одной буквой) вычисляет производную, функция Integrate — интеграл, функция Solve решает нелинейное уравнение (в данном случае квадратное), а функция Series разлагает выражение в ряд относительно заданной переменной и при заданных начальном значении переменной и максимальной степени ряда. В фигурных скобках задаются списки некоторых входных и выходных параметров (аргументов).

Системы символьной математики являются справочниками по многим специальным функциям. При этом они способны давать результаты вычислений в виде специальных функций, что демонстрируют следующие примеры:

Здесь специальные функции получаются в результате вычисления суммы, символьного интегрирования и решения в аналитическом виде дифференциального уравнения. Соответствующие функции будут более подробно описаны в дальнейшем. Обратите внимание на то, что эти примеры даны прямо в тексте книги. Мы будем часто использовать такой прием для представления небольших примеров.

DSolve [Derivative [1] [у] [х] ==2*а*х^3, у[х], х]

DSolve [у» [х] — у’ [х] — 6 у [х] == 0, у [х] , х] <| е-4хС[1] + С[2] -Cos[2x] -|sin[2x]>>

DSolve [у» [х] + 4 у'[х] == 10 Sin [2 х] , у [х] , х]

DSolve[y'[x] == Sin[Ex] , y[x] , x]

DSolvefz2 w»[z] +zw'[z] — (z2 + l)w[z] ==0, w[z], z]

<BesselI[l, z] C[l] +BesselK[l, z] C[2] >>

Как нетрудно заметить, аналитические решения дифференциальных уравнений могут содержать не только элементарные, но и специальные математические функции, что заметно расширяет возможности применения системы Mathematica в решении задач динамического моделирования.

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

1. 3 Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Общее решение дифференциальных уравнений.

Для нахождения аналитических решений дифференциальных уравнений в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options),где eq – дифференциальное уравнение, var – неизвестные функции, options – параметры. Параметры могут указывать метод решения задачи, например, по умолчанию ищется аналитическое решение: type=exact. При составлении дифференциальных уравнений для обозначения производной применяется команда diff, например, дифференциальное уравнение y»+y=x записывается в виде: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения. В Maple такие постоянные, как правило, обозначаются как _С1, _С2, и т.д.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда выводится так, чтобы была четко видна, структура этого решения. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения этого же неоднородного дифференциального уравнения. Поэтому в строке вывода решение неоднородного линейного дифференциального уравнения всегда состоит из слагаемых, которые содержат произвольные постоянные (это общее решения соответствующего однородного дифференциального уравнения), и слагаемых без произвольных постоянных (это частное решения этого же неоднородного дифференциального уравнения).

Команда dsolve выдает решение дифференциального уравнения в невычисляемом формате. Для того, чтобы с решением можно было бы работать далее (например, построить график решения) следует отделить правую часть полученного решения командой rhs(%).

eq:=: > s:=solve(eq,); s:= Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs: > subs(,s); «>

Видео:Mathcad-09. Пример: уравненияСкачать

2. Аналитические вычисления в Mathcad

С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, вычисляют в производные и неопределенные интегралы, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить результат в виде некоторой функции. В программе Mathcad при проведении символьных преобразований конкретные значения, присвоенные переменным, игнорируются – переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Символика (Symbolics) и продублированы на аналогичной панели инструментов.

Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Символика > Упростить (Symbolics > Simplify). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Символика > Раскрыть/Расширить (Symbolics > Expand).

В меню Символика (Symbolics) предусмотрен ряд операций, ориентированных на выделенную переменную, использованную в выражении. Например, команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением. В примере в аналитической форме получены все корни полинома второй степени: сначала применена команда solve для решения, а затем simplify для упрощения результата:

Другие возможности использования этого меню включают:

аналитическое дифференцирование и интегрирование: Символика > Переменная > Дифференцировать (Symbolics > Variable > Differentiate) и Символика > Переменная > Интегрировать (Symbolics > Variable > Integrate);

замена переменной: Символика > Переменная > Подставить (Symbolics > Variable > Substitute) – вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

Механизм аналитических вычислений можно использовать для аналитического решения уравнений и систем уравнений и неравенств. Для этого задается блок решения Given, в который помещаются уравния и неравенства, а последняя формула блока должна выглядеть как

где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо:

Отметим, что функция Find пытается найти решение в аналитической форме. В том случае, если до блока Given задать численно значения всех параметров, входящих в уравнения, а также начальные приближения для корней, то получим решение в числовом виде.

Примеры использования функции Find для решения уравнений и систем уравнений различного типа приведены в соответствующих разделах пособия.

Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Cписок ключевых слов

Видео:Могу ли я подготовиться к профилю за ОСТАВШЕЕСЯ ВРЕМЯ | Аня МатеманяСкачать

3. Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MATLAB

Для решения дифференциальных уравнений в форме Коши MatLAB имеет функцию dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, …), которая возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Они задаются равенствами eqni(вначале задаются уравнения, затем начальные условия).

По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve. Символ D обозначает производную по независимой переменной, то есть d/dt, при этом D2 означает d^2/dt^2 и т.д.

Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y — независимая переменная, a и b – константы. Если число начальных условий меньше, чем число дифференциальных уравнений, то в решений будут присутствовать произвольные постоянные С1, С2 и т.д. Вывод осуществляется в виде массива записей.

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное (символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2 (сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков.

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Заключение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Конечным продуктом исследования выступают публикации, подготовка, распространение и использование которых в настоящее время требует квалифицированного применения компьютера. Это касается редактирования текста, изготовления графических материалов, ведения библиографии, размещения электронных версий в Интернет, поиска статей и их просмотра. Де-факто сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета TeX и текстовый редактор Word. Кроме того, необходимы минимальные знания о стандартных форматах файлов, конверторах, программах и утилитах, используемых при подготовке публикаций.

Математические пакеты Maple и MATLAB — интеллектуальные лидеры в своих классах и образцы, определяющие развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов, численный анализ от MATLAB и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Сами пакеты постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple и вычислительная среда MATLAB — мощные и хорошо организованные системы, надежные и простые в работе. Освоение даже части их возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ними.

В заключение, отметим, что пользователь пакетов компьютерной математики должен иметь представление об основных численных методах. Вообще говоря, появление современных вычислительных систем значительно облегчает доступ к компьютеру непрофессионалам в области программирования, и поддерживает постоянное стремление к их усовершенствованию и освоению новых компьютерных технологий.

Видео:Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать

Список литературы

1. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MATLAB. — М.: «Физматлит» , 1993. — С. 112. — ISBN 5-02-015101-7

2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. — СПб: «Питер» , 1999, 2001. — С. 1296. — ISBN 5-89251-065-4

3. Дьяконов В.П. MATLAB 5 — система символьной математики. — М.: «Нолидж» , 1999. — С. 640. — ISBN 5-89251-069-7

4. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 608. — ISBN 5-318-00667-608

5. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 448. — ISBN 5-318-00359-1

6. Дьяконов В. П. Simulink 4. Специальный справочник. — СПб.: «Питер» , 2002. — С. 528. — ISBN 5-318-00551-9

7. Дьяконов В . П . MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2002. — С. 768. — ISBN 5-98003-007-7

8. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Основы применения. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2003. — С. 576. — ISBN 5-93455-177-9

9. Дьяконов В . П . MATLAB 6.0/6.1/6.5/6.5+SP1 + Simulink 4/5. Обработка сигналов и изображений. Полное руководство пользователя. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 592. — ISBN 5-93003-158-8

10. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Основы применения. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 800. — ISBN 5-98003-181-2

11. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-209-6

12. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 576. — ISBN 5-98003-206-1

13. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1 + Simulink 5/6. Работа с изображениями и видеопотоками. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 400. — ISBN 5-98003-205-3

14. Дьяконов В . П . MATLAB 6.5/7.0/7 SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты искусственного интеллекта и биоинформатики. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2005. — С. 456. — ISBN 5-98003-255-X

15. Дьяконов В . П . MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. Изд-е 2-е, переработанное и дополненное. Библиотека профессионала. — Москва.: «СОЛОН-Пресс» , 2008. — С. 800. — ISBN 978-5-91359-042-8

16. Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/2007. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 768. — ISBN 978-5-94074-424-5

17. Дьяконов В.П. SIMULINK 5/6/7. Самоучитель. — Москва: «ДМК-Пресс» , 2008. — С. 784. — ISBN 978-5-94074-423-8

18. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Полное руководство пользователя. Изд-е 2-е переработанное и дополненное. — Москва: «СОЛОН-Пресс» , 2004. — С. 400. — ISBN 5-98003-171-5

19. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7

20. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В MATLAB 7. Самоучитель.. — Пресс , 2005. — С. 464.

21. Курбатова Екатерина Анатольевна MATLAB 7. Самоучитель. — М.: «Диалектика» , 2005. — С. 256. — ISBN 5-8459-0904-X

22. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк Численные методы. Использование MATLAB = Numerical Methods: Using MATLAB. — 3- е изд . — М .: « Вильямс » , 2001. — С . 720. — ISBN 0-13-270042-5 u

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Аналитические и численные решения в машинном обучении

Дата публикации 2018-04-13

У вас есть вопросы, такие как:

• Какие данные лучше всего подходят для моей проблемы?
• Какой алгоритм лучше всего подходит для моих данных?
• Как мне лучше настроить мой алгоритм?

Почему эксперт по машинному обучению не может дать вам прямой ответ на ваш вопрос?

В этом посте я хочу помочь вам понять, почему никто не может сказать вам, какой алгоритм использовать или как настроить его для вашего конкретного набора данных.

Я хочу помочь вам увидеть, что нахождение хороших данных / алгоритма / конфигурации на самом делесложная частьприкладного машинного обучения и единственная часть, которую вам нужно сосредоточиться на решении.

Видео:Wow-ошибки в математике | Математика TutorOnlineСкачать

Аналитические и численные решения

В математике некоторые проблемы могут быть решены аналитически и численно.

• Аналитическое решение включает в себя постановку задачи в понятной форме и вычисление точного решения.
• Численное решение означает, что нужно угадать решение и проверить, достаточно ли хорошо решена проблема, чтобы остановиться.

Примером является квадратный корень, который может быть решен в обоих направлениях.

Мы предпочитаем аналитический метод в целом, потому что он быстрее и потому что решение является точным. Тем не менее иногда приходится прибегать к численному методу из-за ограничений по времени или аппаратным возможностям.

Хорошим примером является нахождение коэффициентов в уравнении линейной регрессии, которые могут быть рассчитаны аналитически (например, с использованием линейной алгебры), но могут быть решены численно, когда мы не можем вписать все данные в память одного компьютера для выполнения аналитического расчет (например, с помощью градиентного спуска).

Иногда аналитическое решение неизвестно, и все, с чем мы должны работать, это численный подход.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Аналитические решения

Многие проблемы имеют четко определенные решения, которые становятся очевидными после определения проблемы.

Набор логических шагов, которые мы можем выполнить, чтобы рассчитать точный результат.

Например, вы знаете, какую операцию использовать с учетом конкретной арифметической задачи, такой как сложение или вычитание.

В линейной алгебре есть набор методов, которые вы можете использовать дляразложить матрицув зависимости от того, являются ли свойства вашей матрицы квадратными, прямоугольными, содержат действительные или мнимые значения и т. д.

Мы можем распространить это более широко на разработку программного обеспечения, где есть проблемы, которые возникают снова и снова, которые могут быть решены с помощью шаблона проектирования, который, как известно, работает хорошо, независимо от специфики вашего приложения. Такой какшаблон посетителядля выполнения операции над каждым элементом в списке.

Некоторые проблемы в прикладном машинном обучении хорошо определены и имеют аналитическое решение.

Например, метод для преобразования категориальной переменной водна горячая кодировкапростая, повторяемая и (практически) всегда одна и та же методология независимо от количества целочисленных значений в наборе.

К сожалению, большинство проблем, которые мы решаем в машинном обучении, не имеют аналитических решений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Численные решения

Есть много проблем, которые нас интересуют, которые не имеют точных решений.

Или, по крайней мере, аналитические решения, которые мы уже нашли.

Мы должны угадывать решения и тестировать их, чтобы увидеть, насколько удачное решение. Это включает в себя постановку проблемы и использование проб и ошибок в наборе возможных решений.

По сути, процесс поиска численного решения может бытьописывается как поиск,

Эти типы решений имеют некоторые интересные свойства:

• Мы часто легко можем отличить хорошее решение от плохого.
• Мы часто объективно не знаем, что такое «хорошо«Решение выглядит так; мы можем только сравнить доброту между подходящими решениями, которые мы протестировали.
• Мы часто довольны приблизительным или «достаточно хорошоРешение, а не единственное лучшее решение.

Этот последний пункт является ключевым, потому что часто проблемы, которые мы пытаемся решить с помощью численных решений, являются сложными (поскольку у нас нет простого способа их решения), где любой «достаточно хорошоРешение будет полезным. Это также подчеркивает, что есть много решений для данной проблемы, и даже то, что многие из них могут быть достаточно хорошими, чтобы их можно было использовать.

Большинство проблем, которые нас интересуют в области прикладного машинного обучения, требуют численного решения.

Это хуже чем это.

Численные решения каждой подзадачи на этом пути влияют на пространство возможных решений для последующих подзадач.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Численные решения в машинном обучении

Прикладное машинное обучение представляет собой числовую дисциплину.

Ядром данной модели машинного обучения является проблема оптимизации, которая в действительности представляет собой поиск набора терминов с неизвестными значениями, необходимых для заполнения уравнения. Каждый алгоритм имеет разныеуравнение» а также «термины«Используя эту терминологию свободно

Уравнение легко вычислить, чтобы сделать прогноз для данного набора терминов, но мы не знаем терминов, которые можно использовать, чтобы получить «хорошо» или даже «Лучший«Набор прогнозов для данного набора данных.

Это проблема численной оптимизации, которую мы всегда стремимся решить.

Он численный, потому что мы пытаемся решить проблему оптимизации с помощью шумных, неполных и подверженных ошибкам ограниченных выборок наблюдений из нашей области. Модель изо всех сил пытается интерпретировать данные и создать карту между входами и выходами этих наблюдений.

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Более широкое эмпирическое решение в машинном обучении

Задача численной оптимизации, лежащая в основе выбранного алгоритма машинного обучения, вложена в более широкую задачу.

На конкретную проблему оптимизации влияют многие факторы, которые в значительной степени способствуютдобротаКонечного решения, и все они не имеют аналитических решений.

• Какие данные использовать.
• Сколько данных использовать.
• Как обрабатывать данные до моделирования.
• Какой алгоритм моделирования или алгоритмы использовать.
• Как настроить алгоритмы
• Как оценить алгоритмы машинного обучения.

Объективно, все это является частью открытой проблемы, которую представляет ваша конкретная проблема машинного обучения для прогнозирующего моделирования.

Аналитического решения не существует; Вы должны выяснить, какая комбинация этих элементов лучше всего подходит для вашей конкретной проблемы.

Это одна большая проблема поиска, когда комбинации элементов испытываются и оцениваются.

Где вы действительно знаете, каков хороший результат по сравнению с оценками других вариантов решения, которые вы пробовали.

Где нет никакого объективного пути через этот лабиринт, кроме проб и ошибок и, возможно, заимствования идей из других связанных проблем, которые уже знали:достаточно хорошоРешения.

Этот великий эмпирический подход к прикладному машинному обучению часто называют «машинное обучение как поискИ описывается далее в посте:

Это также освещено в посте:

Видео:Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Отвечая на ваш вопрос

Мы возвращаемся к конкретному вопросу, который у вас есть.

Вопрос о том, какие данные, алгоритм или конфигурация будут работать лучше всего для вашей конкретной задачи прогнозного моделирования.

Никто не может взглянуть на ваши данные или описание вашей проблемы и сказать вам, как решить ее лучше или даже лучше.

Опыт может информировать эксперта о тех областях, с которых следует начать поиск, и некоторые из этих ранних догадок могут окупиться, но чаще всего ранние догадки слишком сложны или просто ошибочны.

Проблема прогнозирующего моделирования должна бытьработалдля того, чтобы найти достаточно хорошее решение, и это ваша работа как специалиста по машинному обучению.

Это тяжелая работа прикладного машинного обучения, и это область, в которой нужно практиковаться и получать знания, чтобы считаться компетентными в этой области.

Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

Резюме

В этом посте вы обнаружили разницу между аналитическими и числовыми решениями и эмпирической природой прикладного машинного обучения.

В частности, вы узнали:

• Аналитические решения — это логические процедуры, которые дают точное решение.
• Численные решения — это процедуры проб и ошибок, которые медленнее и приводят к приближенным решениям.
• В основе прикладного машинного обучения лежит численное решение с откорректированным мышлением, позволяющее выбирать данные, алгоритмы и конфигурации для конкретной задачи прогнозного моделирования.

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.