Что значат коэффициенты в линейном уравнении

После того как мы узнали, что такое уравнение, и научились решать самые простые из них, в которых находили неизвестное слагаемое, уменьшаемое, множитель и т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения, целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.

Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными.

Навигация по странице.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Что такое линейное уравнение?

Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.

Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:

Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 числовые коэффициенты a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором — b=3,33 .

А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.

В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .

Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям. При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать линейные уравнения?

Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.

Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет

• единственный корень при a≠0 ,
• не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
• имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.

Поясним, как были получены эти результаты.

Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям, то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:

• перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
• а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .

А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.

Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .

Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .

Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.

Обозначим корень как x₁ . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x₂ , причем x₂≠x₁ , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x₁−x₂≠0 . Так как x₁ и x₂ корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x₁+b=0 и a·x₂+b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств, имеем a·x₁+b−(a·x₂+b)=0−0 , откуда a·(x₁−x₂)+(b−b)=0 и дальше a·(x₁−x₂)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x₁−x₂≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .

Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .

При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.

Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .

Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:

• Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
• Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
• Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то
  • коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
  • после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .

Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.

В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.

Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:

• Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
• Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
• Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Примеры решения линейных уравнений

Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.

Видео:Линейное уравнение. Что это?Скачать

Линейное уравнение с одной переменной

Видео:7 класс - Алгебра - Определение углового коэффициентаСкачать

Содержание

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Что такое уравнение

Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.

К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями.

Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу.

Приведем пример

Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?

Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:

после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,

То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$

Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.

Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.

Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.

Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.

Рассмотрим пример

Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $$-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$

При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. То есть число $4$ не может быть корнем данного в задании уравнения. Посчитайте самостоятельно, какой корень у этого уравнения?

Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.

В примере с папой и сыном корень уравнения единственный: $x = 13$. Ведь нет других вариантов решения, при которых будут выполнены все условия и получится верное равенство. Проверьте сами?

Видео:Урок 100 (осн). Коэффициенты линейного и объемного расширения телСкачать

Что такое линейное уравнение

Если числа в конечном уравнении $2x = 26$ к нашему первому примеру заменить на буквы $a$ и $b$, мы получим уравнение вида $ax = b$.

Подобные уравнения и называются линейными.

Уравнения вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, называются линейными уравнениями с одной переменной

Когда уравнения содержат, к примеру, степень: $$x^2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$frac — 3 = 0$$ они не будут называться линейными.

Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.

Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Коэффициенты и решение линейных уравнений

Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.

В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = frac $$

Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения).

Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.

Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.

Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:

Видео:Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать

Свойства линейных уравнений

Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.

До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.

Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.

Свойства линейных уравнений:

1. Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.

В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.

Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$.

1. В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.

Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$frac times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2times frac times x = 2times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$

Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.

Видео:Как решать линейные уравнения #математика #математика7классСкачать

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Видео:Задание 5 Знаки коэффициентов k и b в формуле линейной функции y=kx+bСкачать

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Видео:Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Видео:7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Видео:15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Видео:Нахождение коэффициента линейного уравнения с двумя переменными при данных значениях переменныхСкачать

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

💥 Видео

ДУ Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

7 класс. Алгебра. Линейная функция. Возрастающая и убывающая. Коэффициент k.Скачать