Что такое rot и div в уравнениях максвелла (6 видео)

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Содержание

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Уравнение 4: Закон Ампера
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)
Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)
Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма
Уравнение 4: Закон Ампера
9.3. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла и их физический смысл
🌟 Видео

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

Магнитных монополей не существует.
Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

9.3. Уравнения Максвелла

Четыре уравнения, соответствующие нашим (модифицированным) утверждениям, называются уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выпишем их все рядом еще раз:

Чтобы получить уравнения Максвелла в среде, надо произвести замену:

то есть указать связь (так называемые «материальные» уравнения) между напряженностями и индукциями: и и дополнить систему уравнением закона Ома

Отметим, что приведенными выше простейшими соотношениями можно пользоваться не всегда. Ситуация заметно сложнее в присутствии таких веществ как сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, ферромагнетики, вещества анизотропные и тому подобное. Здесь наша цель показать, как формируется полная система уравнений, позволяющая (с учетом начальных и граничных условий, разумеется) рассчитать электромагнитное поле.

От уравнений в интегральной форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, связывающим значения полей и и их пространственных и временных производных со значениями плотностей заряда и тока. Этими уравнениями мы пользоваться не будем, но все же приведем их хотя бы как часть шутки, опубликованной в одном из журналов в дни юбилея Максвелла:

Непонятные значки div (читается «дивергенция») и rot (читается «ротор») — это особые операции дифференцирования, выполняемые над векторными полями. Дивергенция — по латыни «расхождение». Эта операция описывает конфигурацию силовых линий типа «ежа», расходящихся из точек, где имеются электрические заряды. Слово «ротор» в переводе не нуждается, оно явно ассоциируется с вращением. Эта операция описывает вихревые поля (кольцеобразные — замкнутые силовые линии) вокруг их источников — токов или других полей, меняющихся во времени.

Четыре интегральных уравнения и четыре дифференциальных эквивалентны. Максвелл показал, что все явления электромагнетизма можно полностью описать этими четырьмя уравнениями, являющимися обобщением экспериментальных фактов.

В приведенной шутке упоминался свет. Действительно, свет — это электромагнитное излучение определенного диапазона частот. Предсказание электромагнитных волн стало одним из величайших достижений теории Максвелла. Представим себе, что заряды и токи отсутствуют. Посмотрим на уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Видно, что если поля не статические, но зависят от времени, то имеется вихревое электрическое и магнитные поля (соответствующие роторы отличны от нуля). Распространение полей без зарядов и токов — это и есть электромагнитные волны. И можно углядеть в уравнениях намек на скорость их распространения: туда входит комбинация e₀m₀, через которую может быть выражена скорость света в вакууме (см. (6.3))

Но об этом — позже, в следующей части нашего курса.

В заключение же этой части процитируем слова Г. Герца об уравнениях Максвелла:

«Трудно избавиться от чувства, что эти математические формулы живут независимой жизнью и обладают своим собственным интеллектом, что они мудрее, чем мы сами, мудрее даже, чем их первооткрыватели, и что мы извлекаем из них больше, чем было заложено в них первоначально».

Пример использования уравнений Максвелла

Определить величину магнитного поля в зазоре конденсатора как функцию r расстояния от оси симметрии (рис. 9.13)

Рис. 9.13. Конденсатор с круглыми пластинами в процессе зарядки

Решение

Запишем уравнение (9.13) для контура, показанного на Рис. 9.3 штрихованной линией. Интегрируя, получим

Очевидно, что магнитное поле не равно нулю только благодаря наличию меняющегося со временем электрического поля. В свою очередь, изменение электрического поля обусловлено увеличением заряда на обкладках конденсатора. Эту связь получим из соотношений

Согласно полученной формуле,

что явно неверно. В чем ошибка?

ОТВЕТ: формула справедлива только при .

Дополнительная информация

Видео:ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

Уравнения Максвелла и их физический смысл

Все электромагнитные процессы макроскопической электродинамики подчиняются уравнениям Максвелла, сформулированным в 1873 г. в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения связывают воедино электрические и магнитные характеристики поля:

rot H = I_пр + D/ t;(5.9,а)

rot Е = — В/ t; (5.9,б)

div D = ; (5.9,в)

Физический смысл этих уравнений заключается в следующем.

Первое уравнение Максвелла(5.9,а) является обобщенным законом Ампера (закон полного тока) и говорит о том, что если в некоторой точке пространства существует переменное электрическое поле Е, создающее токи проводимости I_пр = σE и токи смещения I_см = iω _аE, то в окрестности этой точки возникает переменное вихревое магнитное поле rot Н, создаваемое этим токами. Электрическое поле и создаваемое им магнитное поле образуют правовинтовую систему.

Второе уравнение Максвелла (5.9,б) является обобщенным законом магнитной индукции Фарадея. Фарадей установил, что если замкнутый контур пронизывается переменным магнитным потоком Ф, то в контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) равная скорости изменения магнитного потока:

е = — Ф/ t, (5.10)

Знак «минус» в правой части означает, что возникающая в контуре ЭДС стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего контур.

Физический смысл второго уравнения Максвелла заключается в том, что всякое изменение магнитного поля во времени непрерывно вызывает независимо от параметров среды появление электрического поля.

Второе уравнение Максвелла связано с гармоническим колебанием соотношением:

rot Е = — В/ t = -iω _аH , (5.11)

т.е. оно утверждает, что если в некоторой точке пространства существует переменное магнитное поле, то в окрестностях этой точки возникает переменное вихревое электрическое поле. Магнитное поле и создаваемое им электрическое поле образуют левовинтовую систему.

Следует отметить, что электрическое поле может быть как вихревым, так и потенциальным. Источником потенциального электрического поля являются заряды (в случае электрических полей), которые находятся в тех точках пространства, где текут токи проводимости, представляющие собой движущиеся заряды.

Таким образом, гармоническое электрическое поле может быть вихревым, потенциальным или представлять суперпозицию (сумму) потенциального и вихревого полей, тогда как магнитное поле только вихревое.

Первое и второе уравнения Максвелла говорят о том, что между электрической и магнитной составляющими в переменном электромагнитном поле существует тесная взаимосвязь, которая выражается тем, что созданное сторонними источниками меняющееся во времени электромагнитное поле, может существовать вне этого источника за счет собственной энергии, перекачивающейся из энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

Третье уравнение Максвелла(материальное уравнение 5.9,в) — это обобщенный закон Гаусса для случая переменных процессов, физически означает, что источником электрического поля являются электрические заряды, т.е. электрическая индукция D связана с плотностью электрических зарядов . Из выражения (5.9,в) следует, что дивергенция вектора D отлична от нуля в тех точках пространства, где есть свободные заряды, а линии вектора D имеют начало (исток) на положительных зарядах и конец (сток) на отрицательных зарядах.

Четвертое уравнениеМаксвелла (материальное уравнение 5.9,г) показывает, что в природе отсутствуют магнитные заряды, а линии вектора В непрерывны и всегда пронизывают любую замкнутую поверхность.

Таким образом, третье и четвертое уравнения Максвелла учитывают электрическую и магнитную характеристики среды. Действительно, в случае линейных изотропных сред можно записать:

D = _аE; B = _аH. (5.12)

Следует отметить, что к основным уравнениям электродинамики относят и закон Ома в дифференциальной форме (5.6), который выражает зависимость плотности тока I_пр в какой-либо точке проводящей сферы от напряженности электрического поля в этой точке.

Таким образом, мы рассмотрели основные уравнения электродинамики, каждое из которых описывает те или иные свойства электромагнитного поля. Однако, для полного анализа электродинамических процессов необходимо использовать полную систему уравнений Максвелла, содержащую основные уравнения Максвелла (5.9,а-г) и материальные уравнения (5.6) и (5.10), которая записывается в виде:

rot H = I_пр + D/ t =iωD + ωE + iω _аE;

rot Е = — В/ t = — i B;

div D = ; (5.13)

D = _аE; B = _аH. (5.14)

Поскольку уравнения (5.13) и (5.14) являются линейными дифференциальными уравнениями, можно утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции.