Что такое почленное сложение уравнений системы (3 видео)

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Содержание

Решим методом подстановки
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения.
📹 Видео

Решим методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Решим методом почленного сложения (вычитания).

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, как сейчас увидите.

Пример 4:

Решить систему линейных уравнений:

Мы взяли ту же систему, что и в первом примере.

Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной y одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная y.

В этом и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:

Ответ: x = -4, y = 1.

Пример 5:

Решить систему линейных уравнений:

В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:

Как видим, числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной x:

Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, просто перемножьте коэффициенты: 3∙4 = 12.

Далее первое уравнение умножаем на число

Второе уравнение умножаем на число . В результате система придет к виду:

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.

На всякий случай приведём еще раз действия, которые проводятся мысленно:

Следует отметить, что можно было бы сделать и наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Начисто запишем:

Теперь подставим вычисленное значение переменной (y) в одно из уравнений системы. Например, в первое:

Ответ: .

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной (y):

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.

Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4:

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:

Ответ:

Пример 6:

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения.

Метод сложения – решая системы линейных уравнений методом сложения, уравнения системы почленно складывают, при этом 1-но либо оба (несколько) уравнений можно умножить на любое число. В результате приходят к равнозначной СЛУ, где в одном из уравнений есть лишь одна переменная.

Для решения системы способом почленного сложения (вычитания) следуйте следующим шагам:

1. Выбираем переменную, у которой будут делаться одинаковые коэффициенты.

2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной.

3. Далее необходимо решить линейное уравнение, которое мы получили и найти решение системы.

Решение системы — это точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим на примерах.

Проанализировав эту систему можно заметить, что коэффициенты при переменной равны по модулю и разные по знаку (–1 и 1). В таком случае уравнения легко сложить почленно:

Действия, которые обведены красным цветом, выполняем в уме.

Результатом почленного сложения стало исчезновение переменной y. Именно в этом и В этом, собственно, и заключается смысл метода – избавиться от 1-ой из переменных.

Далее очень легко: 3x + 12 = 0 → x = -4 – подставляем в 1-е уравнение системы (можете и во 2-у, но это не так удобно, так как во втором уравнении числа больше):

В виде системы решение выглядит где-то так:

В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус — когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях. А решение дробей занимает достаточно времени и вероятность допущения ошибок увеличивается.

Поэтому лучше пользоваться почленным сложением (вычитанием) уравнений. Проанализируем коэффициенты у соответствующих переменных:

Нужно подобрать число, которое можно поделить и на 3 и на 4, при этом нужно, что бы это число было минимально возможным. Это наименьшее общее кратное. Если вам тяжело подобрать подходящее число, то можете перемножить коэффициенты: .