Что такое отрицательное решение уравнения

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5 .

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x , значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Видео:Решение уравнений с отрицательными числами.Скачать

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10 . Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8 . Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Видео:Отрицательный дискриминантСкачать

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10 , а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10 . Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10 . Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x , мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2 . Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x , нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6 . Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x , мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6 . Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x , нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6 . Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27 . Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x , нужно частное 3 умножить на делитель 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Теперь представим, что в равенстве вместо числа 5 располагается переменная x .

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x , нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x .

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x . После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56 , мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56 . Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2 . Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56 , а затем в уравнение 28x = 56 , которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56 , которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10 . В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x , а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4 . Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x , нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12 . В результате получили равносильное уравнение 4x = 4 . Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x , а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x . Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2 . Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12 . В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15 . Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5 . Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x , сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x . Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A , а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B . То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B , как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 . Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2 . Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14 , нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Видео:Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1 .

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x , а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х , нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1 .

или разделить обе части уравнения на −1 , что еще проще

Итак, корень уравнения равен 5 . Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5

Значит уравнения и равносильны.

Пример 2. Решить уравнение

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1 .

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения на −1 , мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение

Умнóжим обе части уравнения на −1 . Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:

Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77 , и разделим обе части на 7

Видео:Решите уравнение: tg пx/4 = -1 В ответе напишите наибольший отрицательный корень.Скачать

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5

Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9 .

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9) , которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0 . Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0 . Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9 . Проверка показывает, что корень верный:

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2) . А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2) ).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14 . Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Видео:Найдите корни уравнения: cosπ(x−7)/3=1/2 В ответ запишите наибольший отрицательный корень.Скачать

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x , левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y . Например, пусть y = 3 .

Видео:как ЛЕГКО сложить отрицательные числа , ПРИМЕРЫСкачать

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения определить расстояние, нужно выразить переменную s .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения определить время. Для этого нужно выразить переменную t .

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t . Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10 . Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c . Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0) , поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x , сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b . Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d) , то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4) . Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d) . Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d . Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0) . Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d) . В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Видео:Уравнения с отрицательными числами (Математика 6 класс)Скачать

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2 (x + 3) = 16 . Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2 x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2 x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x , разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2 (x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10 , для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x . Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0 . При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5 . Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0 , и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3 , и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6 , то уравнение примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0 . Это то же самое уравнение, что и ax = b , но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0 . Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Что такое отрицательное решение уравнения

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ.
НЕРАВЕНСТВА.

Пересмотр двух основных свойств уравнения.

120. Предварительное разъяснение. Всякое уравнение, как мы знаем, есть такое равенство, у которого обе части имеют одинаковую численную величину не при всяких значениях букв входящих в это равенство, а только при некоторых, которые в таком случае называются , к о р н я м и (или решениями) уравнения. Уравнение с одним неизвестным может иметь один корень, два корня и более; например,
уравнение 3х — 2 = 13 имеет один корень (5), уравнение х 2 + 2 = 3х имеет два корня (1 и 2), уравнение (х — 1)<х—2)(х + 1) = 0 имеет 3 корня (1, 2 и — 1) (Вспомним, что если какой-нибудь сомножитель равeн нулю, то и произведение равно нулю.) и т. п. Может даже случиться, что уравнение совсем не имеет корня. Таково, например, уравнение х 2 = — 4; какое бы положительное или отрицательное число мы ни подставили на меото х, квадрат этого числа не может равняться отрицательному числу — 4.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни (При одинаковой их кратности) . Например, два уравнения

равносильны, так как у них одни и те же корни, именно 1 и 2, уравнения же

неравносильны, так как первое имеет только один корень 2, тогда как второе, кроме этого корня, имеет еще особый корень 1.

Когда, решая какое-нибудь уравнение, мы совершаем над ним некоторые преобразования (перенесение членов, приведение подобных членов и пр.), то этими преобразованиями мы заменяем данное уравнение последовательно другими, более простыми, до тех пор, пока не получим уравнения самого простого вида: х = а; тогда мы говорим, что это число а и есть корень данного уравнения. Но утвержать это безошибочно мы можем только тогда, когда у нас есть уверенность, что все уравнения, полученные при преобразованиях, равносильны данному уравнению; когда мы, например, уверены, что не может быть такого случая, что данное уравнение имеет два корня, а мы нашими преобразованиями пришли к уравнению, имеющему только один корень.

Все преобразования, которые нам приходилось совершать над уравнениями, основаны на двух свойствах уравнения, указанных нами в начале алгебры (отдел 1§ 39). Рассмотрим теперь эти свойства подробнее с целью определить, не может ли применение этих свойств нарушить когда-либо равносильность уравнений.

121. Первое из указанных свойств уравнений. Возьмем какое-нибудь уравнение, например такое:

Положим, что к обеим частям этого уравнения мы прибавили какое-нибудь одно и то же число m (положительное или отрицательное, или даже нуль); тогда мы получим новое уравнение:

Разъясним, что это уравнение равносильно данному. Для этого достаточно убедиться, во-первых, в том, что всякий корень уравнения (1) удовлетворяет и уравнению (2); и, во-вторых, обратно, в том, что всякий корень уравнения (2) удовлетворяет и уравнению (1).

а) Пусть уравнение (1) имеет какой-нибудь корень, напримeр х = 1. Это значит, что когда в это уравнение на место х подставим 1, то выражение x 2 + 2 сделается равным выражению 3x (каждое из этих выражений обратится в число 3). Но тогда при х = 1 суммы x 2 + 2 + m и 3x + m сделаются равными, так как если к равным числам (3 и 3) прибавим равные числа (m и m), то и получим равные числа (3 + m и 3 + m). Значит, корень х = 1 должен быть также и корнем уравнения (2). Если уравнение (1) имеет еще какой-нибудь корень, то о нем можно сказать то же самое, что сейчар мы говорили о корне х = 1, т. е. что он удовлетворяет и уравнению (2). Таким образом, каждый корень уравнения (1) принадлежит и уравнению (2).

б) Допустим, что уравнение (2) имеет какой-нибудь корень (например х = 2). Это значит, что если в это уравнение наместо х подставим 2, то выражение x 2 + 2 + m сделается равным выражению 3x + m (именно, каждое из этих выражений обратится в число 6 + m). Нo тогда при х = 2 и выражения x 2 + 2 и 3x сделаются равными, так как, если от равных чисел (6 + m и 6 + m) отнимем равные числа (m и m), то и получим равные числа. Значит, х = 2 есть также корень и уравнения (1). Если бы уравнение (2) имело еще какой-нибудь корень, то о нем можно было бы повторить то же самое, что мы сейчас сказали о корне х = 2, т. е. что и этот другой корень должен удовлетворять и уравнению (1).

Значит, всякий корень уравнения (2) должен быть и корнем уравнения (1).

Если же корни уравнений (1) и (2) одни и те же, то уравнения эти равносильны. Свойство это относится и к вычитанию из частей уравнения одного и того же числа, так как вычитание какого-нибудь числа равносильно прибавлению другого числа с противоположным знаком.

Таким образом, если к обеим частям уравнения прибавим, или от них вычтем, одно и то же число, то получим новое уравнение, равносильное первому.

На этом свойстве, как мы видели (отдел1 § 41), основано перенесение членов уравнения из одной части в другую с переменою знака. Теперь мы убеждаемся, что такое перенесение никогда не может нарушить равносильности уравнений.

122. Второе свойство уравнений. Возьмем то же самое уравнение

и умножим обе его части на какое-нибудь число m, положительное или отрицательное, но только не на нуль. Тогда получим новое уравнение:

Чтобы обнаружить равносильность этих двух уравнений, будем рассуждать совершенно так же, как мы рассуждали относительно первого свойства, а именно, покажем, во-первых, что всякий корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2) и, во-вторых, обратно, что всякий корень уравнения (2) удовлетворяет уравнению (1).

а) Пусть уравнение (1) имеет какой-нибудь корень, например х = 1. Это значит, что когда в это уравнение на место х подставим 1, то выражение x 2 + 2 сделается равным выражению 3x (каждое из этих выражений обратится в число 3). Но тогда при х = 1 и произведения (x 2 + 2 )m и 3xm сделаются равными, так как если равные числа (3 и 3) умножим на одно и то же число (m ), то и получим равные числа (3m и3m). Значит, корень х = 1 должен быть также и корнем уравнения (2). Так как все это можно повторить о всяком ином корне уравнения (1), то заключаем, что всякий корень уравнения (1) принадлежит и уравнению (2).

б) Обратно, пусть уравнение (2) имеет какой-нибудь корень (например х = 2). Это значит, что если в это уравнение на место х подставим 2, то произведения (x 2 + 2 )m и 3xm сделаются равными (каждое из них обратится в число 6m). Но тогда при х = 2 и выражения x 2 + 2 и 3x сделаются равными, так как если равные числа (6m и 6m) разделим на равные числа (m и m), то и получим равные числа (6 и 6). Значит, всякий корень уравнения (2) должен быть и корнем уравнения (1). Таким образом уравнения (1) и (2) имеют одни и те же корни, т. е. они равносильны.

Если бы число m было нуль, то после умножения мы не получили бы равносильного уравнения. Например, уравнение x 2 + 2 = 3x имеет 2 корня: 1 и 2, когда же умножим обе его части на 0, то получим новое уравнение: (x 2 + 2)•0 = 3x •0, которое имеет бесчисленное множество произвольных корней, так как произведение всякого числа на нуль равно нулю. Если, например, положим, что x = 10, то найдем: (10 2 + 2)•0 = 3• 10 •0, т. е. 102 • 0 = 30 • 0 или 0 = 0; приняв х = 20, получим: (20 2 +2) • 0 = 3 • 20 • 0, т. е. 402 • 0 = 60 • 0, или 0 = 0, и т.д.

Значит, от умножения частей уравнения на 0 уравнение перестает существовать, обращаясь в очевидное тождество: 0 = 0.

Деление обеих частей уравнения на число, отличное от нуля, также ведет к равносильному уравнению, так как деление есть то же умножение, только на обратное число. Что же касается деления на нуль, то такое деление невозможно (отдел 1 § 33).

Таким образом, если обе части уравнения умножим, или разделим, на одно и то же число, отличное от нуля , то получим новое уравнение равносильное первому.

123. Умножение или деление частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение. Иногда случается, что мы умножаем (или делим) части уравнения на одно и то же алгебраическое выражение. В этом случае надо задаться вопросом, не может ли это выражение при некоторых значениях букв обратиться в нуль. Если случится, что такие значения букв существуют, то при этих значениях нельзя умножать (или делить) части уравнения на наше алгебраическое выражение. Если мы об этом исключении забудем, то можем иногда впасть в ошибку. Приведем резкий пример такой ошибки.

Пусть нам дано равенство: а = b. Преобразуем это равенство таким образом: умножим обе его части на а, предполагая, что а (следовательно, и Ь) не равно 0. Тогда получим:

Вычтем из обеих частей этого равенства по b 2 получим:

что можно переписать так:

Разделив теперь обе части равенства на а — b, получим:

(так как а = b) и, следовательно (по разделении обеих частей на b), 2 = 1,. Этот нелепый вывод получился от того, что мы разделили обе части равенства на а — b, не обратив внимания на то, что эта разность при нашем задании (а = b) есть нуль, а на нуль делить невозможно.

124. Посторонние корни. Умножать обе части уравнения на одно и то же алгебраическое выражение приходится, между прочим, тогда, когда мы решаем уравнение, содержащее дроби, в знаменатели которых входит неизвестное. Пусть, например, надо решить уравнение:

Общий знаменатель всех дробей есть, очевидно, (х — 2) 2 . Приведя все члены к этому знаменателю:

отбросим его, т. е., другими словами умножим все члены на (х — 2) 2 :

Мы получили уравнение второй степени. Как решаются такие уравнения, мы увидим впоследствии; но полученное нами уравнение настолько просто, что мы легко можем сообразить, что оно имеет два корня: 1 и 2. Если это уравнение (2) равносильно данному уравнению (1), то тогда и уравнение (1) должно иметь те же корни 1 и 2. Но заранее ручаться за равносильноcть этих двух уравнений мы не можем, так как для перехода от уравнения (1) к уравнению (2) нам пришлось обе части первого уравнения умножить на алгебраическое выражение (х — 2) 2 , которое при х = 2 обращается в нуль, а при умножении на нуль равносильность уравнений может нарушиться. Значит, надо испытать значение х = 2. Подставив это значение в данное уравнение, находим, что оно принимает невозможный вид:

(деление на нуль невозможно).

Таким образом, корень х = 2 является посторонним для данного уравнения.

Мы видим таким образом, что если в данном уравнения имеются дроби, знаменатели которых содержат неизвестное, и мы освободились от этих знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель, то, найдя корни полученного уравнения, мы должны еще подстановкой испытать их, с целью определить, нет ли среди корней посторонних.

3 а м е ч а и и е. При делении частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее неизвестное, мы можем иногда потерять корень, именно то значение неизвестного (одно или несколько), при котором это выражение обращается в нуль. Пусть, например, дано уравнение:

Разложив его левую часть на два множителя, мы можем уравнение представить так:

Легко сообразить, что это уравнение имеет два корня: х = 1 и х = 2. Если же разделим обе части уравнения на х—1, то получим новое уравнение: х + 1 = 5 — х, которое имеет только один корень х = 2. Значит, от деления на х — 1 мы потеряла корень х =1, именно тот, который обращает в нуль разность х — 1.

Решения положительные, отрицательные, нулевые и другие.

125. Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным. Положим, что мы упростили уравнение о одним неизвестным, выполнив следующие преобразования: раскрыли скобки; освободились от знаменателей; перенесли неизвестные члены в левую часть уравнения, а известные — в правую и сделали приведение подобных членов. Если после этого в левой части окажется только член с неизвестным х в первой степени, то такое уравнение называется уравнением первой степени с одним неизвестным. Значит, общий вид такого уравнения есть следующий:

где а и b могут быть числами и положительными, и отрицательными, и равными нулю.

Рассмотрим, какого рода решения получает это уравнение при различных численных значениях букв а и b.

126. Положительное решение. Такое решение получается тогда, когда числа а и b оба положительны или оба отрицательны.
Пусть, напр., 3x = 6 или —3x = — 6 . Тогда мы получим (разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном):

Положительное решение, удовлетворяя уравнению, вместе с тем удовлетворяет и той задаче, из условий которой это уравнение выведено, если только в уравнении выражены все условия данной задачи. Но иногда может случиться, что не все условия задачи выражены в уравнении; тогда положительное решение, удовлетворяя уравнению, может иногда и не удовлетворить задаче. Приведем этому пример.

Задача. Рабочий кружок, состоящий из 20 человек взрослых и подростков, устроил сбор на покупку книг, для библиотеки, причем каждый взрослый внес по 3 руб., а каждый подросток по 1 руб. Сколько было в этом кружке взрослых и сколько подростков, если весь сбор составил 55 руб.?

Обозначим число взрослых буквой х ; тогда число подростков будет 20— х, и сбор со взрослых окажется 3х руб., а с подростков 20 — х руб. Согласно условию задачи получим уравнение:

3х + (20 — х) = 55, откуда

Это положительное решение, конечно, удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет задаче, так как по смыслу ее искомое число должно быть целым. Различие между уравнением и задачею произошло здесь от того, что уравнение не содержит в себе подразумеваемого в задаче требования, чтобы искомое число было целым. Предложенная задача оказывается невозможной.

127. Отрицательное решение. Такое решение получается из уравнения ах = b тогда, когда числа а и b имеют противоположные знаки. Пусть, напр., 5х = — 15, или — 5х = 15; тогда х = —15 /₅= — 3 или х = 15 /_—5 = — 3

Отрицательное решение надо понимать в смысле противоположном тому, в каком понимается положительное решение; напр., если положительное решение означало бы прибыль, выигрыш, время в будущем и пр., то отрицательное решение должно означать убыток, проигрыш, время в прошедшем и т. п. Если же случится, что по смыслу задачи неизвестное число х нельзя понимать в двух противоположных смыслах, то тогда отрицательное решение означает просто невозможность задачи.

Задача. Какое число надо приложить к числителю и знаменателю дроби 13 /₁₇, чтобы получить дробь, равную 3 /₄?

Обозначив искомое число буквой х, получим уравнение:

Так как это уравнение представляет собой пропорцию, то

(13 + х) • 4 = (17 + х) • 4; значит: 52 + 4x = 51 + 3х, откуда:

Но приложить — 1 это все равно, что отнять 1. Значит, получившееся отрицательное решение дает ответ на такую задачу: какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби 13 /₁₇, чтобы получить дробь, равную 3 /₄ . B нашем примере надо отнять по 1.

128. Нулевое решение. Положим, что в уравнении ах = b число b окажется нулем, а коэффициент а будет какое-нибудь число, отличное от нуля. Пусть, напр., уравнение будет: 4x = 0. Значит, уравнение требует, чтобы произведение 4х равнялось нулю. Но произведение равняется нулю только тогда, когда какой-нибудь сомножитель равен нулю; следовательно, сомножитель х должен равняться нулю. И из формулы х = 0 /₄ видно, что х = 0.

Нулевое решение, удовлетворяя уравнению, вообще удовлетворяет и задаче.

Задача. Какое число надо приложить к числителю и знаменателю дроби 13 /₂₆, чтобы получить 1 /₂?

Обозначив искомое число буквой х, мы получим уравнение

26 + 2x = 26 + x; x = 0.

Это значит, что данная дробь сама равна 1 /₂

129. Случай, когда уравнение не имеет корня. Пусть в уравнении ах = b, число а окажется нулем, а число b не равно нулю; напр. 0 • х = 10. Такое равенство невозможно, так как какое бы число мы ни взяли для х, произведение 0 • х равно нулю, а не 10.

Если бы мы, не заметив, что а = 0, разделили обе части уравнения на а, то получили бы для х такую формулу: x = b /_a.

Обнаружив затем, что а = 0, мы из этой формулы нашли бы:

Так как такое равенство не имеет смысла (деление на нуль невозможно), то мы пришли бы к заключению, что уравнение при этих условиях не имеет корня, и, следовательно, задача, из условий которой составлено это уравнение, невозможна.

130. Как можно понимать равенство: x = b /₀. Если в уравнении ах = b коэффициент а не равен нулю, а только близок к 0, то для х получается дробь: x = b /_a. Зададимся вопросом, как изменяется величина этой дроби, если знаменатель ее все более и более приближается к нулю, а числитель остается неизменным. Предположим сначала, что числа а и b оба положительные. Возьмем для знаменателя а такие, напр., уменьшающиеся значения:

Тогда дробь — получит такие возрастающие выражения:

Отсюда видим, что при неограниченном уменьшении знаменателя а дробь- может превзойти любое данное число, как бы велико оно ни было (лишь бы только числитель b оставался без изменения).

Вспомним, что это свойство дроби мы уже видели раньше (отдел 3 § 112), когда говорили о графике функции: y = 6 /_x, выражающей обратную пропорциональную зависимость. Там мы видели , что когда абсцисса х уменьшается, приближаясь к нулю (напр., переходя через значения: 1 /₂ ; 1 /₄ ; 1 /₈ ; 1 /₁₆ ; и т. д.), то ордината у, равная дроби 6 /_x, увеличивается неограниченно, так что кривая (гипербола), по мере приближения ее к оси у-ов, подымается вверх беспредельно.

Если теперь допустим, что числитель а, или знаменатель b, или тот и другой — числа отрицательные, то сказанное сейчас может быть повторено и о такой дроби, но только надо тогда говорить не о величине самой дроби, а об абсолютной величине ее.

Таким образом, если в дроби знаменатель неограниченно приближается к нулю, а числитель остается без изменения, то абсолютная величина дроби неограниченно увеличивается.

Иногда для краткости речи условно говорят, что при а = 0 уравнение ах = b имеет бесконечное решение (бесконечный корень). Фразу эту нельзя понимать буквально, так как уравнение в этом случае совсем не имеет корня; фраза эта есть только краткое выражение следующего предложения: если в уравнении ах = b коэффициент а неограниченно приближается к нулю, а число b остается неизменным, то уравнение получает такое решение (положительное или отрицательное), которого абсолютная величина неограниченно возрастает.

В том же смысле употребляется иногда краткая запись, вроде следующей:

(читается: m, деленное на нуль, равно плюс-минус бесконечности). Запись эта означает только то свойство дроби, что если знаменатель ее стремится к нулю, а числитель остается без изменения, то абсолютная величина дроби неограниченно увеличивается (или, как иногда говорят: стремится к бесконечности), причем сама дробь остается или положительной, или отрицательной (смотря по тому, имеет ли знаменатель, стремящийся к нулю, одинаковый знак с числителем или противоположный).

Подобным же образом мы можем убедиться еще в следующем свойстве: если абсолютная величина знаменателя дроби неограниченно увеличивается, а числитель остается неизменным, то величина дроби неограниченно приближается к нулю. Свойство это сокращенно выражают таким условным равенством (которое тоже нельзя понимать буквально):

Это свойство дроби мы также видели на графике функции y = 6 /_x ; если абсцисса х этого графика возрастает беспредельно, то дробь уменьшается, неограниченно приближаясь к нулю, так что гипербола, по мере продолжения ее направо, все ближе и ближе придвигается к оси x — ов (никогда ее не достигая).

131. Неопределенное решение. Если в уравнении ах = b оба числа а и b окажутся нулями, то уравнение обращается в тождество: 0 • x = 0, верное при всяком значении х. Значит, в этом случае уравнение становится неопределенным, т. е. оно допускает бесчисленное множество произвольных решений.

Если бы мы, не заметив, что а = 0, разделили обе части уравнения на а, то для х получили бы дробь b /_a, которая при b = 0 и при а = 0 обращается в частное 0 /₀. Такое частное, по определению деления, может равняться любому числу (отдел 1 § 33); значит, и в этом случае мы убедились бы, что уравнение допускает бесчисленное множество решений.

Задача. Какое число надо приложить к числителю и знаменателю дроби a /_b чтобы эта дробь сделалась равной числу m?

Обозначив искомое число буквой х, получим такое уравнение:

Допустим, что числа a, b и m заданы такими, что числитель и знаменатель дроби, выведенной нами для х, обратятся в нули, т. е., что bm = а и 1 = m. Тогда для х получается выражение 0 /₀ и, следовательно, уравнение и задача становятся неопределенными. И действительно, в этом случае а = b и дробь равна 1, какое бы число х мы ни прибавили к числителю и знаменателю.

132. Графическое истолкование решения уравнения ах = b.

Из двух способов графического решения уравнения, указанных нами раньше (отдел 3 § 119), возьмем второй. Обозначим левую часть уравнения буквою у₁ и правую часть буквою у₂ и построим на одном и том же чертеже графики двух функций:

График первой функции есть прямая, проходящая через начало координат и через точку К (1, а), график второй функции есть прямая, параллельная оси x — ов и отсекающая от оси y-ов отрезок b

(на нашем чертеже мы изобразили случай, когда а >0 и b >0; предоставляем самим читателям сделать чертежи для случаев, когда:

1) а > 0, но b 0 и
3) а Бесконечное решение. Уменьшая численную величину коэффициента а, мы заставляем прямую у = ах все более и более приближаться к оси x — ов. Тогда точка М, в которой прямая у = b пересекается с прямой у = ах, все более и более удаляется направо, переходя через положения M₁ M₂, М₃ и т. д., причем абсцисса ОА точки пересечения беспредельно увеличивается, переходя через значения OA₁ ОА₂, ОА₃ и т. д. Значит, когда а неограниченно уменьшается, приближаясь к нулю, корень уравнения ах = b беспредельно возрастает. Таким образом:

(На чертеже мы брали случай, когда а > 0 и b > 0; в других случаях мы могли бы получить: х = b /₀ = — ∞).

б) Неопределенное решение получаетоя, как мы видели (§ 131), при а = b = 0. Чтобы истолковать этот случай графически, вообразим, что на нашем чертеже величина b уменьшается, приближаясь к нулю; тогда прямая у₂ = b, оставаясь параллельною оси х-ов, будет все более и более приближаться к этой оси и при b = 0 сольется с нею. С другой стороны, прямая у₁ = ах при а = 0 обратится тоже в ось x-ов, и тогда две прямые у₂ = b и у₁ = ах совпадут с осью x-ов, и, следовательно, каждую точку этой оси можно считать за точку пересечения; значит, величина корня остается неопределенной.

133. Буквенные уравнения. Нет надобности, чтобы неизвестное всегда обозначалось буквою х; оно может быть обозначено и какою угодно другою буквою. Возьмем, напр., формулу:

выражающую площадь s треугольника, у которого основание равно b линейных единиц и высота равна h таких же единиц. Формула эта представляет собой уравнение, в котором каждое из чисел s, b и h может быть принято за неизвестное.

Пусть, напр., предложена такая задача: найти основание треугольника, у которого высота равна h каких-нибудь линейных единиц, а площадь составляет s соответствующих квадратных единиц. Тогда в нашей формуле число b должно считаться неизвестным, а числа s и h известными. Конечно, мы можем неизвестное основание обозначить буквою x и написать уравнение так:

Но можно, не заменяя b на х, прямо из уравнения: s = 1 /₂ bh определить b в зависимости от s и h :

Вообще надо привыкнуть решать не только численные уравнения, в которых данные числа выражены цифрами, а неизвестное обозначено буквой х , но и буквенные уравнения, в которых данные числа и неизвестное обозначены какими угодно буквами. Возьмем для примера еще формулу, известную из физики (см. задачу отдел 3 § 113):

в которой l₀ означает длину какого-нибудь стержня при 0°, l_t означает длину этого стержня при температуре t и а —так называемый коэффициент расширения вещества, из которого сделан стержень, т. е. число, показывающее, на какую долю длины при 0° увеличивается длина стержня при нагревании на каждый градус. В эту формулу входят 4 величины: l₀ , l_t , a и t; каждую из них можно принять за неизвестное, которое можно определить из формулы в зависимости от остальных трех величин. Так, из формулы находим:

Неравенства первой степени.

134. Определение понятий „больше» и „меньше». Когда мы говорим, что 10 больше 7, а 7 меньше 10, то мы разумеем при этом, что число 10 включает в себе как часть число 7, и что, следовательно, от 10 можно отделить (вычесть) 7, тогда как от 7 нельзя отделить 10; другими словами, мы хотим сказать, что разность 10—7 есть некоторое положительное число, тогда как разность 7—10 есть отрицательное число.

Условимся распространить такое понимание о большем и меньшем и на числа относительные, а именно условимся, что относительное цисло а считается большим другою относительного числа b в том случае, когда разность a—b число положительное, и а считается меньшим b, когда разность а—b число отрицательное.

При таком соглашении мы должны считать, что:

а) Всякое положительное число больше всякого отрицательного;

напр., + 3 > — 5, потому что разность (+3) — (— 5), равная сумме 3 + 5, есть число положительное.

б) Всякое положительное число больше нуля по той же причине;

напр., + 2 > 0 так как разность (+2) — 0 = + 2. *

в) Всякое отрицательное число меньше нуля, так как разность между отрицательным числом и нулем всегда отрицательна;

напр., — 3 — 9, так как разность (— 7) — (— 9) = (— 7) + 9 = + 2, т. е. она есть положительное число.

Замечания. 1 . Если желают кратко выразить, что число а положительное, то пишут: а > 0; если же желают показать, что число а отрицательное, то пишут: а или 10 — 2,

то левая часть его будет 3 + 8, а правая 10 — 2.

Обозначим левую часть неравенства одною буквою а, а правую часть другою буквою b. Тогда мы можем свойства неравенств высказать так:

а) Если а > b, то b b, то это значит, что разность а — b положительное число; но тогда разность b — a есть число отрицательное, и потому b b и b > с, то а > с. Действительно, если а > b и b > с, то это значит, что обе разности: а — b и b — с положительные числа; но тогда и сумма этих разностей положительное число, а эта сумма равна:

(а — b) + (b — с) = а — b + b — с = а — с

Если же а — с > 0, то это значит, что a > с.

в) Если а > b и m какое-нибудь относительное число, то а + m > b + m Действительно, если а > b, то это значит, что разность а — b положительное число; но тогда и разность (a + m) — (b + m) есть также положительное число, так как эта разность равна

(а + m) — (b + m) = а + m —b — m = а — b.

Так как вычитание какого-нибудь числа равносильно прибавлению того же числа, но с противоположным знаком, то если а > b, то и а — m > b — m. Таким образом, если к обеим частям неравенства прибавим (или вычтем) одно и то же число, то знак неравенства не изменится (т. е. большее останется большим).

г) Если а > b и m положительное число, то аm > bm. Действительно, если разность а — b положительное число, то и разность am — bm положительное число, так как эта разность равна (а — b) m, а произведение положительного числа на положительное есть положительное число.

Так как деление на какое-нибудь число равносильно yмнoжению на обратное число, то если а > b и m положительное число, то и a • 1 /_m> b • 1 /_m , т. е. а : m > b : т.

Таким образом, если обе части неравенства умножим (или разделим) на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится .

д) Если а > b и m число отрицательное, то аm отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

136. Решение неравенства 1-й степени с одним неизвестным.

Задача. Найти число, четверть которого, увеличенная на 10, превосходит 2 /₃ числа, уменьшенного на 5.

Обозначив искомое число буквою х, мы получим неравенство:

Неравенство это уподобляется уравнению 1-й степени с одним неизвестным. Решить неравенство, содержащее неизвестное, значит найти такое число или такие числа, которые, будучи подставлены в неравенства на место неизвестного, обращают его в очевидное тождественное неравенство. Решение неравенства первой степени выполняется так же, как и решение уравнения, так как две основные истины, на которых основано решение уравнений (§§ 121, 122), применимы и к неравенствам, с единственным исключением, что при умножении (или делении) обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства должен быть изменен на противоположный.

Чтобы решить наше неравенство, освободим его сначала от знаменателей. Так как общий знаменатель 12, то умножим обе части неравенства на 12, от чего знак неравенства не изменится:

Теперь перенесем неизвестные в одну часть неравенства, а известные в другую (отняв от обеих частей неравенства по 120 и по 8х):

3x — 8х > — 60 — 120, т. е. — 5 х > — 180.

Теперь разделим обе части на — 5 , отчего знак неравенства изменится на противоположный:

(Можно было бы также сказать: обе части неравенства — 5x > —180 умножим на — 1, отчего знак неравенства изменится на противоположный: 5х Замечание. Более подробные сведения о неравенствах см. во 2-й части, § 404 и след.

Видео:РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛЕГКО ! 1 КЛАСС МАТЕМАТИКА УРАВНЕНИЯ - ПЕТЕРСОН / ОБЪЯСНЕНИЕ КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯСкачать

Какое уравнение не имеет корней? Примеры уравнений

Решение уравнений в математике занимает особое место. Этому процессу предшествует множество часов изучения теории, в ходе которых ученик узнает способы решения уравнений, определения их вида и доводит навык до полного автоматизма. Однако далеко не всегда поиск корней имеет смысл, так как их может попросту не быть. Существуют особые приемы нахождения корней. В данной статье мы разберем основные функции, их области определения, а также случаи, когда их корни отсутствуют.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Какое уравнение не имеет корней?

Уравнение не имеет корней в том случае, если не существует таких действительных аргументов х, при которых уравнение тождественно верно. Для неспециалиста данная формулировка, как и большинство математических теорем и формул, выглядит очень размытой и абстрактной, однако это в теории. На практике все становится предельно просто. Например: уравнение 0 * х = -53 не имеет решения, так как не найдется такого числа х, произведение которого с нулем дало бы что-то, кроме нуля.

Сейчас мы рассмотрим самые базовые типы уравнений.

Видео:Сложение и вычитание рациональных чисел. 6 класс.Скачать

1. Линейное уравнение

Уравнение называется линейным, если его правая и левая части представлены в виде линейных функций: ax + b = cx + d или в обобщенном виде kx + b = 0. Где а, b, с, d — известные числа, а х — неизвестная величина. Какое уравнение не имеет корней? Примеры линейных уравнений представлены на иллюстрации ниже.

В основном линейные уравнения решаются простым переносом числовой части в одну часть, а содержимого с х — в другую. Получается уравнение вида mx = n, где m и n — числа, а х — неизвестное. Чтобы найти х, достаточно разделить обе части на m. Тогда х = n/m. В основном линейные уравнения имеют только один корень, однако бывают случаи, когда корней либо бесконечно много, либо нет вовсе. При m = 0 и n = 0 уравнение принимает вид 0 * х = 0. Решением такого уравнения будет абсолютно любое число.

Однако какое уравнение не имеет корней?

При m = 0 и n = 0 уравнение не имеет корней из множества действительных чисел. 0 * х = -1; 0 * х = 200 — эти уравнения не имеют корней.

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

2. Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 при а = 0. Самым распространенным способом решения квадратного уравнения является решение через дискриминант. Формула нахождения дискриминанта квадратного уравнения: D = b 2 — 4 * a * c. Далее находится два корня х_1,2= (-b ± √D) / 2 * a.

При D > 0 уравнение имеет два корня, при D = 0 — корень один. Но какое квадратное уравнение не имеет корней? Пронаблюдать количество корней квадратного уравнения проще всего по графику функции, представляющем собой параболу. При а > 0 ветви направлены вверх, при а 2 – 8x + 72 = 0 не имеет корней, так как имеет отрицательный дискриминант D = (–8) 2 – 4 * 1 * 72 = -224. Это значит, что парабола не касается оси абсцисс и функция никогда не принимает значение 0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

3. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические функции рассматриваются на тригонометрической окружности, однако могут быть представлены и в декартовой системе координат. В данной статье мы рассмотрим две основные тригонометрические функции и их уравнения: sinx и cosx. Так как данные функции образуют тригонометрическую окружность с радиусом 1, |sinx| и |cosx| не могут быть больше 1. Итак, какое уравнение sinx не имеет корней? Рассмотрим график функции sinx, представленный на картинке ниже.

Мы видим, что функция является симметричной и имеет период повторения 2pi. Исходя их этого, можно говорить, что максимальным значением этой функции может быть 1, а минимальным -1. Например, выражение cosx = 5 не будет иметь корней, так как по модулю оно больше единицы.

Это самый простой пример тригонометрических уравнений. На самом деле их решение может занимать множество страниц, в конце которых вы осознаете, что использовали неправильную формулу и все нужно начинать сначала. Порой даже при правильном нахождении корней вы можете забыть учесть ограничения по ОДЗ, из-за чего в ответе появляется лишний корень или интервал, и весь ответ обращается в ошибочный. Поэтому строго следите за всеми ограничениями, ведь не все корни вписываются в рамки задачи.

Видео:Как вычитать отрицательные числа? / Простые примеры из жизни по математикеСкачать

4. Системы уравнений

Система уравнений представляет собой совокупность уравнений, объединенных фигурной или квадратной скобками. Фигурные скобки обозначают совместное выполнение всех уравнений. То есть если хотя бы одно из уравнений не имеет корней или противоречит другому, вся система не имеет решения. Квадратные скобки обозначают слово «или». Это значит, что если хотя бы одно из уравнений системы имеет решение, то вся система имеет решение.

Ответом системы с квадратными скобками является совокупность всех корней отдельных уравнений. А системы с фигурным скобками имеют только общие корни. Системы уравнений могут включать абсолютно разнообразные функции, поэтому такая сложность не позволяет сказать сразу, какое уравнение не имеет корней.

Обобщение и советы по нахождению корней уравнения

В задачниках и учебниках встречаются разные типы уравнений: такие, которые имею корни, и не имеющие их. В первую очередь, если у вас не получается найти корни, не думайте, что их нет совсем. Возможно, вы совершили где-нибудь ошибку, тогда достаточно лишь внимательно перепроверить ваше решение.

Мы рассмотрели самые базовые уравнения и их виды. Теперь вы можете сказать, какое уравнение не имеет корней. В большинстве случаев сделать это совсем не трудно. Для достижения успеха в решении уравнений требуется лишь внимание и сосредоточенность. Практикуйтесь больше, это поможет вам ориентироваться в материале гораздо лучше и быстрее.

Итак, уравнение не имеет корней, если:

• в линейном уравнении mx = n значение m = 0 и n = 0;
• в квадратном уравнении, если дискриминант меньше нуля;
• в тригонометрическом уравнении вида cosx = m / sinx = n, если |m| > 0, |n| > 0;
• в системе уравнений с фигурными скобками, если хотя бы одно уравнение не имеет корней, и с квадратными скобками, если все уравнения не имеют корней.