Что такое мнимые корни уравнения

Что такое мнимые корни уравнения

Алгебраическое уравнение 2-й степени иначе называется квадратным. Наиболее общий вид квадратного уравнения с одним неизвестным есть

где a, b, c — данные числа или буквенные выражения, содержащие известные величины (причем коэффициент а не может быть равен нулю, иначе уравнение будет не квадратным, а 1-й степени).. Разделив обе его части на a, мы получим уравнение вида

(p = b/a; q = c/a).
Квадратное уравнение такого вида называется приведенным; уравнение ах 2 + bx + c = 0 (где а ≠ 0), называется неприведенным. Если одна из величин b, с или обе вместе равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным; если и b и с не равны нулю, квадратное уравнение называется полным.

Примеры
3x 2 + 8x -5 = 0 – полное неприведенное квадратное уравнение;
3x 2 – 5 = 0 – неполное неприведенное квадратное уравнение;
x 2 – ax = 0 – неполное приведенное квадратное уравнение;
x 2 – 12x +7 = 0 – полное приведенное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение вида

x 2 = m (m – известная величина)

является самым простым типом квадратного уравнения и вместе с тем очерь важным, так как к нему приводится решение всякого квадратного уравнения. Решение этого уравнения имеет вид

Что такое мнимые корни уравнения

Возможны три случая:

1) Если m = 0, то и x = 0.

2) Если m – положительное число, то его квадратный корень Что такое мнимые корни уравненияможет иметь два значения: одно положительное, другое отрицательное. Абсолютные величины этих значений одинаковы. Например, уравнение x 2 = 9 удовлетворяется значением х = + 3 и х = — 3. Другими словами, x имеет два значения: +3 и — 3. Часто это выражают тем, что перед радикалом ставят два знака – плюс и минус.

При таком написании подразумевается, что выражение Что такое мнимые корни уравненияобозначает общую абсолютную величину-двух значений корня; в нашем примере — число 3. Величина Что такое мнимые корни уравненияможет быть иррациональным чиcлом. Заметим, что и само m может быть иррациональным числом. Например, пусть требуется решить уравнение

(геометрически это означает найти длину стороны квадрата равного по площади кругу с радиусом 1). Его корень x = √π.

3) Если m — отрицательное число, то уравнение х 2 = m (например, х 2 = — 9) не может иметь никакого положительного и никакого отрицательного корня: ведь и положительное и отрицательное число по возведении в квадрат дает положительное число. Таким образом, можно сказать, что уравнение х 2 = — 9 не имеет решений, т.е. число Что такое мнимые корни уравненияне существует.

Но с таким же основанием до введения отрицательных чисел можно было говорить, что и уравнение 2x + 6 = 4 не имеет решений. Однако после введения отрицательных чисел это уравнение стало разрешимым. Точно так же уравнение х 2 = — 9, не имеющее решений среди положительных и отрицательных чисел, становится разрешимым после введения новых величин — квадратных корней из отрицательных чисел. Эти величины были впервые введены итальянским математиком Кардано в середине 16 века в связи с решением кубического уравнения. Кардано назвал эти числа «софистическими» (т. е. «мудреными»). Декарт в 30-х годах 17 века ввел наименование «мнимые числа», которое, к сожалению, удерживается до сих пор. В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого числа называется комплексным числом*.Часто и комплексные числа называют мнимыми.

Введя в рассмотрение мнимые числа, можно сказать, что неполное квадратное уравнение x 2 = m всегда имеет два корня. Если m > 0, эти корни действительны, они имеют одинаковую абсолютную величину и различны по знаку. Если m = 0, оба они равны нулю; если m *Этот термин введен Гауссом в 1831 г. Слово «комплексный» означает в переводе «совокупный».

Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.

Корни квадратного уравнения

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать

Комплексные корни квадратного уравнения

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках (см. рисунок ⇓).
При , график касается оси абсцисс в одной точке (см. рисунок ⇓).
При , график не пересекает ось абсцисс (см. рисунок ⇓).

Видео:Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]Скачать

Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

Видео:Как мнимые числа спасли математику [Veritasium]Скачать

Как мнимые числа спасли математику [Veritasium]

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):

,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Видео:Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать

Биквадратное уравнение. Комплексные корни.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Что такое мнимые корни уравнения

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

Что такое мнимые корни уравнения

График функции y = x 2 – 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Что такое мнимые корни уравнения

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-04-2016

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Что такое мнимые корни уравнения

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Что такое мнимые корни уравнения

Что такое мнимые корни уравнения

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что такое мнимые корни уравнения

Что такое мнимые корни уравнения

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: Что такое мнимые корни уравнения.

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

Что такое мнимые корни уравнения, Что такое мнимые корни уравнения,

Что такое мнимые корни уравнения,

Что такое мнимые корни уравнения,

Что такое мнимые корни уравнения

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение Что такое мнимые корни уравнения.

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

Что такое мнимые корни уравнения

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Что такое мнимые корни уравнения

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

Что такое мнимые корни уравнения

Что такое мнимые корни уравнения– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения Что такое мнимые корни уравненияесть 2 сопряженных комплексных корня:

Что такое мнимые корни уравнения,

Что такое мнимые корни уравнения

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени Что такое мнимые корни уравненияесть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Видео:Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать

Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: Что такое мнимые корни уравнения. Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень Что такое мнимые корни уравнения.

У уравнения типа Что такое мнимые корни уравненияесть ровно n корней ­z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

Что такое мнимые корни уравнения,

где Что такое мнимые корни уравнения– это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: Что такое мнимые корни уравнения.

Найдем корни уравнения: Что такое мнимые корни уравнения.

Перепишем уравнение как: Что такое мнимые корни уравнения.

В этом примере Что такое мнимые корни уравнения, Что такое мнимые корни уравнения, поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:

Что такое мнимые корни уравнения, Что такое мнимые корни уравнения.

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа Что такое мнимые корни уравнения:

Что такое мнимые корни уравнения

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Что такое мнимые корни уравнения

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

Что такое мнимые корни уравнения, Что такое мнимые корни уравнения.

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Что такое мнимые корни уравнения.

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Что такое мнимые корни уравнения.

Ответ: Что такое мнимые корни уравнения, Что такое мнимые корни уравнения

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Что такое мнимые корни уравнения

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней Что такое мнимые корни уравненияи чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня Что такое мнимые корни уравненияи вычисляем, чему равен угол в градусах:

Что такое мнимые корни уравнения.

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.

Берем аргумент 2-го корня Что такое мнимые корни уравненияи переводим его тоже в градусы: Что такое мнимые корни уравнения. Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.

По этому же алгоритму ставим точку z2.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом Что такое мнимые корни уравнениямежду радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

📹 Видео

10 вариант ЕГЭ Ященко 2024 математика профильный уровеньСкачать

10 вариант ЕГЭ Ященко 2024 математика профильный уровень

Комплексные числа в уравненияхСкачать

Комплексные числа в уравнениях

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | Видеоурок

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать

Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷

✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис ТрушинСкачать

✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис Трушин

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис Трушин

Мнимые числа реальны: #1. Введение [Welch Labs]Скачать

Мнимые числа реальны: #1. Введение [Welch Labs]

Тайна корня НУЛЕВОЙ степени 🔮Скачать

Тайна корня НУЛЕВОЙ степени 🔮

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать

10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравнения

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Вы умеете решать квадратные уравнения?Скачать

Вы умеете решать квадратные уравнения?

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чиселСкачать

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел
Поделиться или сохранить к себе: