Что такое интегральная кривая уравнения

Особые решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения

называется особым , если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение, имеющее в точке ту же касательную, что и решение , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности . График особого решения будем называть особой интегральной кривой уравнения (1). Если функция и ее частные производные и непрерывны по всем аргументам , то любое особое решение уравнения (1) удовлетворяет также уравнению

Значит, чтобы отыскать особые решения (1), надо исключить из уравнений (1) и (2).

Полученное после исключения из (1) и (2) уравнение

Часто бывает так, что распадается на несколько ветвей . Тогда нужно установить, является ли каждая в отдельности ветвь решением уравнения (1), и если является, то будет ли оно особым решением, т.е. нарушается ли единственность в каждой его точке.

Пример 1. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим p-дискриминантную кривую. В данном случае и условие (2) принимает вид , отсюда . Подставляя это выражение для в уравнение (4), получаем

Кривая (5) есть p-дискриминантная кривая уравнения (4): она состоит из одной ветви — параболы.

б) Проверяем, является ли p-дискриминантная кривая решением заданного уравнения. Подставляя (5) и ее производную в (4), убеждаемся, что есть решение уравнения (4).

в) Проверяем, является ли решение (S) особым решением уравнения (4). Для этого найдем общее решение уравнения (4). Перепишем (4) в виде . Это уравнение Клеро. Его общее решение

Выпишем условие касания двух кривых и в точке с абсциссой :

Первое равенство выражает совпадение ординат кривых, а второе выражает совпадение угловых коэффициентов касательных к этим кривым в точке с абсциссой .

Полагая , находим, что условия (7) принимают вид

Подставляя в первое из равенств (8), получаем или т.е. при первое равенство выполняется тождественно, так как есть абсцисса произвольной точки.

Итак, в каждой точке кривой (5) ее касается некоторая другая кривая семейства (6), а именно та, для которой . Значит, есть особое решение уравнения (4).

г) Геометрическое истолкование.
Общее решение уравнения (4) есть семейство прямых (6), а особое решение (5) является огибающей этого семейства прямых (рис. 19).

Огибающей семейства кривых

называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (9) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из (9). Будем говорить, что кривые и касаются в точке , если они имеют в этой точке общую касательную.

Если (9) есть общий интеграл уравнения (1), то огибающая семейства кривых (9), если она существует, будет особой интегральной кривой этого уравнения. В самом деле, в точках огибающей значения совпадают со значениями для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в каждой точке огибающей значения удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой.

Далее, в каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходит, по крайней мере, две интегральные кривые: сама огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (9). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.

Из курса математического анализа известно, что огибающая входит в состав C-дискриминантной кривой (коротко СДК), определяемой системой уравнений

Некоторая ветвь СДК заведомо будет огибающей, если на ней:

1) существуют ограниченные по модулю частные производные

где и — постоянные;

Замечание. Условия 1) и 2) лишь достаточны, а потому ветви СДК, на которых нарушено одно из этих условий, тоже могут быть огибающими.

Пример 2. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Находим C-дискриминантную кривую. Имеем , так что отсюда . Подставляя это значение в (14), получаем откуда

Это и есть C-дискриминантная кривая: она состоит из двух прямых и .

б) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая из ветвей СДК является решением уравнения (13).

в) Докажем, что каждое из решений (15) является особым решением уравнения (13). В самом деле, так как и , то на каждой ветви СДК имеем (предполагаем, что решение уравнения (13) рассматривается на отрезке

где — область допустимых значений .

Заметим, что на любой из ветвей СДК в области 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAMRDQiiHowAFBoWFRoLFx3eb7ogAAAMZJREFUKM+1UksSwyAIVUHAX+T+p602mTYkdqZd1AUL5fk+4NzfjiQvv/QXwkz++/6kyblOYfXmMd4vNxglaF//xu0KEeJZdVYXkDFUbhaSDCDqDtDhO3ASgOypGJbMyVh4A3A8bBpQq1URM1exAEcTUHaF4R5ZzFQXDE+FuDIfET4AiqZFe+PykiQHYIbb8rAgTsAM3lvTjvc5DCVeORANFjSxbhfOqn6ux5wPICRojOf2fJ81Uscj+bmEUc5q4jKCXucmPQAaYQaRCPmIUQAAAABJRU5ErkJggg==» />, так дх что выполняется одно из условий (12). Значит, условия (11) и (12) выполняются, а, следовательно, прямые (15) являются огибающими парабол (14).

Итак, установлено, что каждое из решений (15) есть особое решение.

В вопросах отыскания особых решений оказываются полезными следующие символические схемы:

Схема (16) означает, что уравнение p-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места точек заострения (возврата);

3) — уравнение геометрического места точек прикосновения интегральных линий, причем множитель входит в в квадрате.

Схема (17) означает, что уравнение C-дискриминантной кривой может распадаться на три уравнения:

1) — уравнение огибающей;

2) — уравнение геометрического места узловых точек, причем множитель входит в в квадрате;

3) — уравнение геометрического места точек заострения, причем множитель входит в в кубе.

Не обязательно, чтобы для каждой задачи все составные части и фигурировали в соотношениях (16) и (17).

Из всех геометрических мест только огибающая есть особое решение дифференциального уравнения. Отыскание огибающей упрощается тем, что в схемы (16) и (17) она входит в первой степени.

В отношении других геометрических мест (точек заострения, узловых точек и точек прикосновения) требуется дополнительный анализ в каждом конкретном случае. То обстоятельство, что некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ) указывает на то, что здесь может быть геометрическое место точек прикосновения интегральных линий. Аналогично, если некоторый множитель входит в в квадрате (и совсем не входит в ), то здесь может быть геометрическое место узловых точек. Наконец, если множитель входит в в первой степени, а в — в третьей, то возможно наличие геометрического места точек заострения.

Пример 3. Найти особое решение дифференциального уравнения

Решение. Особое решение, если оно существует, определяется системой

где второе уравнение (19) получено из (18) дифференцированием его по . Исключив , получим p-дискриминантную кривую , которая распадается на две ветви

Подстановкой убеждаемся, что обе функции являются решениями уравнения (18).

Чтобы установить, являются ли решения (20) и (21) особыми или нет, найдем огибающую семейства

являющегося общим интегралом для (18).

Выпишем систему для определения C-дискриминантной кривой откуда, исключая , получаем , или и , что совпадает с (20) и (21). В силу того, что на линиях (20) и (21) условия (11) и (12) выполняются, заключаем, что линии и являются огибающими, а значит (20) и (21) есть особые решения заданного уравнения.

Интегральные кривые (22) суть параболы , а линии — огибающие этого семейства парабол (рис. 20).

Пример 4. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Дифференцируем (23) по

Исключая из (23) и (24), получим . Дискриминантная кривая есть ось ординат. Она не является интегральной кривой уравнения (23), но согласно схеме (16) может быть геометрическим местом точек прикосновения интегральных кривых.

Решениями уравнения (23) являются параболы и те гладкие кривые, которые можно составить из их частей (рис. 21).

Из чертежа видно, что прямая действительно есть геометрическое место точек прикосновения интегральных кривых уравнения (23).

Пример 5. Найти особые решения дифференциального уравнения

Решение. Найдем . Исключая из системы уравнений получаем

Преобразовав уравнение (25) к виду , находим его общий интеграл .

Найдем . Исключая из системы уравнений будем иметь

Итак, из (26) и (27) имеем

Множитель входит в p-дискриминант и в C-дискриминант в первой степени и дает огибающую, т. е. функция есть особое решение дифференциального уравнения (25). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что действительно удовлетворяет уравнению.

Уравнение , входящее во второй степени в p-дискриминант и совсем не входящее в C-дискриминант, дает место точек прикосновения .

Наконец, уравнение , входящее в C-дискриминант во второй степени и совсем не входящее в p-дискриминант, дает место узловых точек (рис.22).

Пример 6. Найти особые решения дифференциального уравнения

а) Ищем p-дискриминантную кривую. Дифференцируя (28) по , получаем , откуда

Подставляя (29) в (28), найдем уравнение :

б) Ищем общий интеграл уравнения (28). Обозначив у’ через р, перепишем (28) в виде

Дифференцируя обе части (28) по и учитывая, что , будем иметь

Приравнивая нулю первый множитель , получаем (29), а соотношение дает

Исключая параметр из уравнений (31) и (32), найдем общее решение уравнения (28):

в) Находим C-дискриминантную кривую. Дифференцируя (33) по C, будем иметь

Подставляя (34) в (33), получаем уравнение .

Согласно символическим схемам (16) и (17) заключаем, что есть огибающая семейства полукубических парабол (33), а есть геометрическое место точек заострения (множитель входит в уравнение в кубе) (рис. 23). Подстановкой в уравнение (28) убеждаемся, что есть решение, а решением не является (при уравнение (28) не имеет смысла). Таким образом, решение есть особое (огибающая семейства интегральных линий).

Содержание
  1. Что такое интегральная кривая уравнения
  2. 3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.
  3. 3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.
  4. 3.4. Задача Коши.
  5. 3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.
  6. Дифференциальные уравнения первого порядка
  7. I. Уравнения с разделяющимися переменными
  8. II. Уравнения, однородные относительно переменных
  9. III. Уравнения в полных дифференциалах
  10. IV. Линейные дифференциальные уравнения
  11. 3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.
  12. 3.7. Уравнение Бернулли.
  13. 3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
  14. 3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.
  15. 3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
  16. 3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.
  17. 3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.
  18. 3.15. Метод вариации произвольных постоянных.
  19. Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения и образцами выполнения
  20. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши
  21. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения у’ = f(x, у)
  22. Приближенные методы интегрирования уравнения у’ = f(x, у)
  23. Метод изоклин
  24. Метод последовательных приближений
  25. Численные методы решения задачи Коши Метод Эйлера
  26. Понятие о методе Рунге—Кутта
  27. Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах
  28. Уравнения с разделяющимися переменными
  29. Уравнения, однородные относительно x и у
  30. Линейные дифференциальные уравнения
  31. Уравнение Бернулли
  32. Уравнения в полных дифференциалах
  33. Уравнение Риккати
  34. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной
  35. Уравнение Лагранжа
  36. Уравнение Клеро
  37. Геометрические вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Ортогональные траектории
  38. Ортогональные траектории
  39. Дополнение к дифференциальным уравнениям первого порядка
  40. 🎦 Видео

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Что такое интегральная кривая уравнения

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).
Что такое интегральная кривая уравнения

Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что

С другой стороны, по условию задачи имеем

Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) tg α = y ‘ и (1.2) tg α = 2x получим

Решением дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет

Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) y ‘ = 2x даются формулой

где С — произвольная постоянная.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) y = x 2 + С координаты x и y координатами точки M0

и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5) y = x 2 + С . Выполняя указанные выкладки, имеем:

С = y0Что такое интегральная кривая уравнения, y = x 2 – Что такое интегральная кривая уравнения+ y0.

Таким образом, искомой кривой будет парабола

y = x 2 – Что такое интегральная кривая уравнения+ y0.

Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0. Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения

Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому

Что такое интегральная кривая уравнения= f (t). (1.7)

Равенство (1.7) Что такое интегральная кривая уравнения= f (t) есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7) Что такое интегральная кривая уравнения= f (t) , найдем закон движения в конечной форме.

Интегрирование уравнения (1.7) Что такое интегральная кривая уравнения= f (t) состоит в нахождении всех первообразных для функции f (t), которые, как известно из интегрального исчисления, могут быть записаны в виде

x = Что такое интегральная кривая уравненияf (t) dt + C. (1.8)

Выделим решение (движение), в котором

Для этого положим в формуле (1.8) x = Что такое интегральная кривая уравненияf (t) dt + C t = t0, x = x0. Получим

x0 = Что такое интегральная кривая уравненияf (t) dt + C,

откуда C = x0; следовательно, искомым решением (движением) будет

x = Что такое интегральная кривая уравненияf (t) dt + x0. (1.10)

Формула (1.10) x = Что такое интегральная кривая уравненияf (t) dt + x0 дает искомый закон движения материальной точки. Других движений, определяемых дифференциальным уравнением (1.7) Что такое интегральная кривая уравнения= f (t) и условием (1.9) x = x0 при t = t0 , нет.

Условие (1.9) x = x0 при t = t0 называется начальным условием, а числа t0 и x0начальными данными решения (движения).

3.2. Определение дифференциального уравнения и связанных с ним общих понятий.

x Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения= 0, z = z (x, y),

то оно называется уравнением с частными производными.

В дальнейшем будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Не всегда удается получать решения в явном виде, например

Аналогично определяются общий интеграл и частный интеграл дифференциального уравнения.

Например, все решения уравнения

y’ = Что такое интегральная кривая уравнения

y = Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияdx + C.

3.3. Дифференциальные уравнения первого порядка как поле направлений.

Если его возможно разрешить относительно производной y ‘, то оно приводится к виду y ‘ = f (x, y). (3.1)

Такая форма дифференциального уравнения первого порядка называется нормальной, а уравнение является разрешимым относительно производной от искомой функции.

Выясним геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида (3.1) y ‘ = f (x, y) .

Общее решение геометрически задает однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Решение y = y (x) уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) представляет собой на плоскости XOY кривую, а y ‘ — угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке M (x, y). Уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) дает, таким образом, соотношение между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.

Задание уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) означает, что в каждой точке M (x, y) области, где определена функция f (x, y), задано направление касательной к интегральной кривой в точке M (x, y). Значит, имея уравнение (3.1) y ‘ = f (x, y) мы получаем поле направлений. Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M (x, y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен f (x, y).

Задача интегрирования уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) заключается в том, чтобы найти семейство кривых, у которых касательная к каждой точке совпадает с направлением поля в этих точках. Такое истолкование уравнения (3.1) y ‘ = f (x, y) дает графический способ построения его решения.

y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p. (3.2)

Это значит, что интегральные кривые пересекают эту линию под одним и тем же углом

Что такое интегральная кривая уравнения= tg α = p,

т.е. все черточки параллельны для всех точек изоклины.

Давая p различные значения, получим ряд изоклин или линий постоянного наклона касательных. Чтобы получить, приближенный график решения, проходящий через данную точку M0 (x0, y0), проводим кривую так, чтобы она пересекала изоклину под углами, указанными черточками и проходила через точку M0 (x0, y0).

Установим связь между уравнением (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p определена и непрерывна в области G , и пусть

есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку M (x, y). Проведем касательную к интегральной кривой (3.3) y = y (x) в точке M и обозначим через α угол, образованный касательной MT с положительным направлением оси x.
Что такое интегральная кривая уравнения

Таким образом, если через точку M(x, y) проходит интегральная кривая (3.3) y = y (x) , то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке M области G отрезок (для определенности — единичной длины) с центром в точке M, составляющий с положительным направлением оси Ox угол α, тангенс которого определяется формулой (3.4) tg α = f (x, y) . Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p . Всякая интегральная кривая этого уравнения обладает тем свойством, что направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля, определяемым уравнением (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p в этой точке.
Что такое интегральная кривая уравнения

Чтобы ответить на вопрос, под каким углом интегральные кривые могут пересекать ось x, достаточно подставить в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p y = 0, и получим тангенс угла α:

Например, интегральные кривые уравнения

Что такое интегральная кривая уравнения= x 2 + y 2 . (3.5)

пересекают ось x под углом α, тангенс которого равен x 2 . Аналогично интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p в точках их пересечения с осью y образуют с осью x угол α:

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью x образуют интегральные кривые уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p в точках их пересечения с заданной кривой y = φ(x), то достаточно подставить y = φ(x) в правую часть уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p . Получим

Например, для интегральных кривых уравнения

Что такое интегральная кривая уравнения= yx

в точках их пересечения с прямой y = y имеем tg α = 0, так что касательные к этим интегральным кривым параллельны оси x.

Кривая ω (x, y) = 0, в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p , одно и то же, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p имеют вид

где k = tg α = const. Например, для уравнения (3.5) Что такое интегральная кривая уравнения= x 2 + y 2 изоклинами будут окружности

вырождающиеся в точку (0,0) при k = 0. При k = 1 получаем изоклину

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси x под углом α. С увеличением k наклон интегральных кривых возрастает, и интегральные кривые имеют вид, указанный схематически на рисунке. Построив достаточно «густое» семейство изоклин (в нашем случае — окружностей); можно получить методом изоклин сколь угодно точное представление об интегральных кривых.
Что такое интегральная кривая уравнения

Если в точке M(x, y) правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p обращается в бесконечность, то естественно считать, что направление ноля в такой точке параллельно оси y. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения. (3.6)

Таким образом, во всякой точке M(x, y), в которой правая часть уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p имеет конечное значение или обращается в бесконечность, это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3.6) Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения, которое всегда будем рассматривать наряду с уравнением (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p в окрестности точек, где f (x, y) обращается в бесконечность, будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3.2) y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения= p .

3.4. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из всех решений выделить одно, надо задать какое-либо конкретное значение функции при некотором значении независимого переменного. Задать значение y0 искомой функции при некотором значении x0 независимого переменного — это значит задать начальное условие

Что такое интегральная кривая уравнения= y0.

С геометрической точки зрения задача отыскания решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием равносильна тому, чтобы найти ту интегральную кривую, которая проходит через точку M0 (x0, y0) на плоскости XOY.

Естественно возникает вопрос: всегда ли существует решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию, и, если существует, то будет ли оно единственным?

Ответ на поставленные вопросы дает теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть дано уравнение y’ = f (x, y) с начальным условием Что такое интегральная кривая уравнения= y0, и относительно функции f (x, y) выполнены следующие условия:

    В прямоугольнике R, определенном неравенствами

функция f (x, y) непрерывна. Из этого условия вытекает, что в замкнутой области R функция f (x, y) ограничена, т.е. существует действительное число M > 0 такое, что для любой точки (x, y) ∈ R | f (x, y)| ≤ M.

  • В области R функция f (x, y) относительно аргумента y удовлетворяет условию Липшица, т.е. существует такое действительное число A > 0, что | f (x, y1) – f (x, y2)| ≤ A|y1y2|.
  • Обозначим через h меньшее из двух чисел a, Что такое интегральная кривая уравнения.

    При данных условиях существует единственное решение y = y(x), где x0hxx0 + h, удовлетворяющее начальному условию Что такое интегральная кривая уравнения= y0.

    3.5. Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    I. Уравнения с разделяющимися переменнымиII. Уравнения, однородные относительно переменныхIII. Уравнения в полных дифференциалахIV. Линейные дифференциальные уравненияy’ = f (x) g ( y)y’ = f (x, y), где f (x, y) — однородная функция нулевого порядкаM(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,

    где Что такое интегральная кривая уравненияy’ + P(x) y = Q(x)

    1. y’ = Что такое интегральная кривая уравнения.
    2. Разделить переменные.
    3. Проинтегрировать.
    1. Замена Что такое интегральная кривая уравнения= u, где u = u(x).
    2. После подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными.
    3. Решив его, заменим u = Что такое интегральная кривая уравнения.
    1. Проверяем

      Что такое интегральная кривая уравнения.
      Решением дифференциального уравнения является u(x, y), где

      Что такое интегральная кривая уравнения= M(x, y),

      Что такое интегральная кривая уравнения= N(x, y).

      y’ + P(x) y = 0 — линейное однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

    1. y’ + P(x) y = Q(x)
    • метод вариации произвольной постоянной;
    • метод Бернулли:
      y = u(x) · v(x).

    I. Уравнения с разделяющимися переменными

    Дифференциальное уравнение вида y’ = f (x) g ( y) или M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

    Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

    Что такое интегральная кривая уравненияdx + Что такое интегральная кривая уравненияdy = 0,

    где Что такое интегральная кривая уравненияdx — дифференциал некоторой функции от x,

    Что такое интегральная кривая уравненияdy — дифференциал некоторой функции от y.

    Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияdx + Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияdy = C.

    Частный интеграл, удовлетворяющий условию Что такое интегральная кривая уравнения= y0, выражается

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияdx + Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияdy = 0.

    Если работать с уравнением y’ = f (x) g ( y), то Что такое интегральная кривая уравнения= f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

    Замечание. Необходимо учесть, что при делении на P(x) и N(y), мы могли потерять решение уравнения, поэтому нужно проверить, не являются ли решениями данного уравнения, не вошедшие в общее решение, решения уравнений P(x) = 0 и N(y) = 0.

    Действительно, всякое решение, например y = y0, уравнения N(y) = 0 является решением уравнения

    Значит решения y = y0, x = x0 являются интегралами уравнения (5.1) M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy , даже если они не содержатся в общем решении.

    II. Уравнения, однородные относительно переменных

    Пусть имеем дифференциальное уравнение y’ = f (x, y), однородное относительно переменных x и y. Положив t = Что такое интегральная кривая уравненияв тождестве f (tx, ty) = f (x, y), получим f (x, y) = f Что такое интегральная кривая уравнения1, Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения, т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

    Обозначив f Что такое интегральная кривая уравнения1, Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= φЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения, получим, что однородное относительно переменных x и y дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения= φЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения.

    Как интегрируется уравнение y’ = φЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения?

    Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого делают замену

    Что такое интегральная кривая уравнения= u,

    где u — новая искомая функция от независимой переменной x, т.е. u = u(x).

    Дифференцируя по x, имеем:

    тогда данное уравнение примет вид:

    Что такое интегральная кривая уравненияx = φ(u) – u.

    Это есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, преобразовав которое, получим:

    Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения.

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения+ C,

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= ln x + ln C

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= ln Cx,

    причем |x| не пишем, т.к. –1 войдет в постоянную C.

    После взятия квадратуры, подставляем u = Что такое интегральная кривая уравнения.

    Замечание. Мы делили на φ(u) – u, предполагая, что оно отлично от нуля.

    1. Если φ(u) ≡ u, то уравнение y’ = φ(u) примет вид: y’ = Что такое интегральная кривая уравнения— уравнение с разделяющимися переменными.
    2. Если φ(u) = u при некоторых значениях u = u0, то функция y = u0x — решение уравнения y’ = φ(u), которое может и не вытекать из общего.

    y’ = u0 и φЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения= φ(u0) равны, тогда u0 = φЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения, xdx = [φ(u) – u] dx.

    III. Уравнения в полных дифференциалах

    Если существует функция u(x, y) такая, что

    M(x, y) = Что такое интегральная кривая уравнения, N(x, y) = Что такое интегральная кривая уравнения,

    то дифференциальное уравнение

    можно переписать в форме

    Что такое интегральная кривая уравненияdx + Что такое интегральная кривая уравненияdy = 0, т.е. d[u(x, y)] = 0.

    В этом случае, данное уравнение имеет решение

    Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?

    Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.

    Т.к. Что такое интегральная кривая уравнения= M(x, y), то

    u(x, y) = Что такое интегральная кривая уравненияM(x, y) dx + C(y), (5.3)

    где C(y) — функция, зависящая только от y и пока нам неизвестная. Будем ее искать из условия, что Что такое интегральная кривая уравнения= N(x, y), но

    Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияM(x, y) dx + C(y)Что такое интегральная кривая уравнения.

    Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияM(x, y) dx Что такое интегральная кривая уравнения+ C’(y) = N(x, y).

    Отсюда находим C’(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (5.3) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (5.2) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 имеет вид

    IV. Линейные дифференциальные уравнения

    Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y’ + P(x) y = 0. Это и уравнение с разделяющимися переменными, значит,

    Что такое интегральная кривая уравнения= – P(x) y

    Что такое интегральная кривая уравнения= – P(x) dx.

    Проинтегрируем последнее уравнение:

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= – Что такое интегральная кривая уравненияP(x) dx + C,

    ln y = ln CЧто такое интегральная кривая уравненияP(x) dx.

    Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

    y = CЧто такое интегральная кривая уравнения.

    Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти:

    его общее решение y = CЧто такое интегральная кривая уравнения.
    Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде

    y = C(x)Что такое интегральная кривая уравнения, (5.4)

    где C(x) — искомая функция от x.

    Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y’:

    y’ = C’(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C(x) Что такое интегральная кривая уравнения(– P(x))

    и, подставив в данное уравнение, получим

    C’(x) = Q(x)Что такое интегральная кривая уравнения.

    Интегрированием находим C(x):

    C(x) = Что такое интегральная кривая уравненияQ(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C.

    Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) y = C(x) Что такое интегральная кривая уравненияи получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

    2. Методом Бернулли.

    На примере решения уравнения y’Что такое интегральная кривая уравнения= x.

    Пусть решение имеет вид:

    u’v + v’uЧто такое интегральная кривая уравнения= x.

    u’v + uЧто такое интегральная кривая уравненияv’Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения. ( ∗ )

    Пусть v’Что такое интегральная кривая уравнения= 0.

    Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения,

    Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения,

    v = x 3 , подставим в уравнение ( ∗ ),

    u’ = Что такое интегральная кривая уравнения.

    Интегрированием находим u:

    u = Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= – Что такое интегральная кривая уравнения+ C,

    y = Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения+ C Что такое интегральная кривая уравненияx 3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

    3.6. Особое решение дифференциального уравнения. Уравнение Клеро.

    Решение y = y(x), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения y = φ(x, C) (6.1) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C (но может быть получено при C = C(x)).

    Если правая часть уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= f (x, y) (6.2) удовлетворяет во всей области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений. Если функция f (x, y), стоящая в правой части уравнения , непрерывна относительно x и y во всей области задания и имеет частную производную по y (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые y = φ(x), во всех точках которых Что такое интегральная кривая уравненияобращается в бесконечность:

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияy = φ(x) = ∞.

    Кривые, подозрительные на особые решения, могут быть иногда найдены по уравнению семейства интегральных кривых.

    Огибающая семейства интегральных кривых уравнения (6.2) Что такое интегральная кривая уравнения= f (x, y) всегда является особым решением этого уравнения, ибо, во-первых, она является решением (интегральной кривой) уравнения (6.2) Что такое интегральная кривая уравнения= f (x, y) , так как в каждой ее точке направление касательной совпадает с направлением поля, направлений, определяемого дифференциальным уравнением (6.2) Что такое интегральная кривая уравнения= f (x, y) в этой точке, и, во-вторых, в каждой ее точке, очевидно, нарушается единственность решения задачи Коши.

    Отметим, наконец, что особые решения всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения (общего интеграла) дифференциального уравнения. Дело в том, что когда делим обе части данного дифференциального уравнения на некоторую функцию ω(x, y), то получаем уравнение, вообще говоря, не равносильное данному, ибо можем при этом потерять решения вида y = φ(x) при x = ψ(y), при которых делитель ω(x, y) обращается в нуль, если эти решения не содержатся в общем решении, т. е. не получаются из него ни при каких числовых значениях произвольной постоянной (включая ± ∞). Решения, о которых идет речь, очевидно, являются особыми.

    Вообще всегда при интегрировании дифференциального уравнения нужно иметь в виду следующее замечание Н. М. Гюнтера: «Внимательно относясь к процессу, переводящему дифференциальное уравнение в его общий интеграл, можно без всяких интегрирований найти все особые решения, ни одного не пропустив». В дальнейшем будем систематически пользоваться этим указанием для нахождения особых решений всех уравнений, общий интеграл которых удается построить в элементарных функциях или в квадратурах.

    Рассмотрим случай полного уравнения (6.3) F(x, y, y’) = 0 , в котором функция F линейно зависит от y и x. Такое уравнение можно, разрешив относительно y, записать в виде

    Если φ(y’) ≠ y’, то уравнение (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) называется уравнением Лагранжа. Найдем его общее решение в параметрической форме.

    Воспользуемся основным соотношением:

    приняв y’ за параметр, который на этот раз (по традиции) обозначим буквой p (y’ = p). Тогда уравнение Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) будет равносильно системе двух уравнений

    Что такое интегральная кривая уравнения(6.4, а)

    Пользуясь основным соотношением (6.5) dy = y’dx с учетом (6.4, а) Что такое интегральная кривая уравнения, получим (вычисляя dy как дифференциал функции от двух аргументов p и x)

    Это есть дифференциальное уравнение с неизвестной функцией x от независимой переменной p. Замечая, что искомая функция x входит в коэффициент при dp линейно, перепишем его в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения.

    Это есть линейное уравнение с искомой функцией x. Интегрируя его, получим

    Подставляя эту функцию в первое из уравнений (6.4, а) Что такое интегральная кривая уравнениявыразим y через p. Общим решением уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) в параметрической форме будет

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если уравнение φ(p) – p = 0 имеет действительные решения p = pi (i = 1, 2 , …, n), то, подставляя их в первое из уравнений (6.4, а) Что такое интегральная кривая уравненияи принимая во внимание, что φ(pi) = pi, получим

    Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа (6.4) y = φ(y’)x + ψ(y’) .

    Это уравнение называется уравнением Клеро.

    Применяя тот же алгоритм, что и при интегрировании уравнения Лагранжа, имеем

    Это уравнение распадается на два:

    Первое из них дает p = C = const. Подставляя это значение в первое из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p , получим

    Это семейство прямых линий и есть общее решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) . Заметим, что оно получается из (6.6) y = xy’ + ψ(y’) формальной заменой y’ на C.

    Второе из уравнений (6.8) dp = 0 и x + ψ’(p) = 0 вместе с первым из уравнений (6.7) y = xp + ψ(p), y’ = p дает решение уравнения Клеро (6.6) y = xy’ + ψ(y’) в параметрической форме:

    Что такое интегральная кривая уравнения(6.10)

    которое обычно является особым и представляет наибольший (если не исключительный) интерес для приложений. Геометрически это решение чаще всего является огибающей семейства (6.9) y = xC + ψ(C) и в этом случае представляет собой заведомо особое решение.

    Действительно, разыскивая кривую, подозрительную на огибающую семейства (6.9) y = xC + ψ(C) , по правилу, указанному выше, имеем систему

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где второе уравнение получено из первого, дифференцированием по C. Из этой системы находим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Но эти уравнения отличаются от (6.10) Что такое интегральная кривая уравнениятолько обозначением параметра.

    Таким образом, приходим к очень простому алгоритму интегрирования уравнения Клеро:

    1. Общее решение получается заменой у’ на C.
    2. Особое решение ищется как огибающая семейства прямых, образующих общее решение.

    В случае уравнения Клеро наибольший интерес представляет не общее, а особое решение.

    3.7. Уравнение Бернулли.

    Рассмотрим одно нелинейное уравнение, которое всегда приводится к линейному. Это уравнение Бернулли:

    Для приведения уравнения Бернулли к линейному уравнению избавимся сначала в правой части от множителя y m , разделив на него обе части уравнения. Получим

    Это уравнение можно переписать в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения( y 1 – m ) + p(x)y 1 – m = q(x).

    Введя новую неизвестную функцию z:

    придем к уравнению

    Что такое интегральная кривая уравненияz’ + p(x)z = q(x),

    Это есть линейное уравнение. Найдя его общее решение, получим общее решение уравнения Бернулли по формуле

    y = Что такое интегральная кривая уравнения.

    Заметим, что если m > 0, то уравнение Бернулли имеет решение y ≡ 0. Это решение будет особым, если 0 (8.2) Что такое интегральная кривая уравнения= 0 видно, что всякое дифференциальное уравнение второго порядка выражает некоторое общее свойство его интегральных кривых y = y(x), устанавливая в каждой точке интегральной кривой зависимость между координатами точки, наклоном касательной к интегральной кривой и кривизной интегральной кривой в этой точке.

    Рассмотрим теперь вопрос о механическом истолковании уравнения второго порядка и его решений. Пусть материальная точка массой m движется по прямой, которую примем за ось x, под действием силы F (t, x, Что такое интегральная кривая уравнения), зависящей от времени t, положения x и скорости Что такое интегральная кривая уравненияв момент времени t. Тогда согласно второму закону Ньютона имеем

    m Что такое интегральная кривая уравнения= F (t, x, Что такое интегральная кривая уравнения), (8.3)

    где Что такое интегральная кривая уравненияесть ускорение точки в момент времени t. Перепишем уравнение (8.3) m Что такое интегральная кривая уравнения= F (t, x, Что такое интегральная кривая уравнения) в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения= f (t, x, Что такое интегральная кривая уравнения), (8.4)

    где f = Что такое интегральная кривая уравнения.

    соответствует, как и в случае уравнения первого порядка, определенный закон движения. Поэтому часто решение (8.5) x = x(t) называют движением, определяемым уравнением (8.5) x = x(t) . Задача, теории интегрирования уравнения (8.4) Что такое интегральная кривая уравнения= f (t, x, Что такое интегральная кривая уравнения) состоит в нахождении всех движений, определяемых этим уравнением, и изучении их свойств. Так как уравнение (8.4) Что такое интегральная кривая уравнения= f (t, x, Что такое интегральная кривая уравнения) удается проинтегрировать в конечном виде лишь в редких случаях, то весьма важно уметь устанавливать свойства движений, определяемых этим дифференциальным уравнением непосредственно по свойствам самого дифференциального уравнения.

    Для уравнения n-го порядка

    (n > 1) задача Коши ставится так: найти решение

    удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

    y = y0, y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения, …, y (n – 1) = Что такое интегральная кривая уравненияпри x = x0, (8.8)

    где x0, y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравнения— заданные числа (начальные данные решения (8.7) y = y(x) . В отличие от уравнения первого порядка здесь при заданном значении независимой переменной задается значение не только искомой функции, но и ее производных до порядка на единицу ниже, чем порядок дифференциального уравнения.

    В частности, для уравнения второго порядка (8.1) F (x, y, y ‘, y ») = 0 начальные условия (8.8) y = y0, y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения, …, y (n – 1) = Что такое интегральная кривая уравненияпри x = x0 принимают вид

    y = y0, y ‘ = Что такое интегральная кривая уравненияпри x = x0.

    Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой y = y(x), проходящей через заданную точку M0 (x0, y0) и имеющей в этой точке касательную M0T, которая образует с положительным направлением оси x заданный угол α0:

    tg α0 = Что такое интегральная кривая уравнения.

    Наряду с задачей Коши большое значение имеет задача, в которой условия на искомую функцию (и ее производные) налагаются не к одной точке, а на концах некоторого промежутка. Такая задача называется краевой задачей, а налагаемые условия — краевыми условиями.

    Теорема существования и единственности решения уравнения n-го порядка

    Рассмотрим уравнение n-го порядка в нормальной форме

    Для этого уравнения, как и в случае уравнения первого порядка, имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

    Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Интервал существования решения

    Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

    Предположим, что все коэффициенты p1, …, pn и правая часть f (x) заданы и непрерывны в интервале (a, b). Тогда условия сформулированной выше теоремы Пикара заведомо выполняются в окрестности начальной точки (x0, y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравнения), где x0 ∈ (a, b), а y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравнения— любые заданные числа. Поэтому для линейного уравнения (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

    Теорема. Если функции p1, …, pn и f (x) непрерывны в интервале (a, b), то уравнение (8.10) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) имеет единственное решение (8.7) y = y(x) , удовлетворяющее начальным условиям (8.8) y = y0, y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения, …, y (n – 1) = Что такое интегральная кривая уравненияпри x = x0 , причем y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияможно задавать произвольно, а x0 можно брать любым из интервала (a, b).

    Можно доказать, что решение (8.7) y = y(x) определено во всем интервале (а,b).

    В частности, если функции p1, …, pn и f (x) — полиномы (или другие функции, непрерывные при всех x), то все начальные данные y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияможно задавать произвольно. Решение существует, единственно и определено при всех x.

    Если функции p1, …, pn, f (x) суть рациональные функции, т. е. являются отношениями полиномов

    Что такое интегральная кривая уравнения(8.11)

    то при постановке задачи Коши начальные значения y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияможно задавать любыми, а можно брать любым, кроме действительных нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1. Решение с такими начальными данными будет заведомо определено в окрестности точки x0, не содержащей нулей знаменателей Q1, …, Qn, Qn + 1.

    3.9. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

    Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

    Если уравнение (9.1) F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0 разрешимо относительно старшей производной y (n) , то оно примет вид

    Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

    Уравнение вида y (n) = f (x).Уравнение вида
    F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно неизвестную функцию y.Уравнение вида
    F (x, y (k) , y (k + 1) , …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно неизвестную функцию, а также несколько ее первых производных.Уравнение вида
    F (x, y, y ‘, …, y (n) ) = 0,
    не содержащее явно независимую переменную x.Решение дифференциального уравнения сводится к последовательному применению квадратур. Общее решение содержит n произвольных постоянных.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(x), сводим данное уравнение к уравнению более низкого порядка. Решив его, заменяем z = y ‘ и находим y.Производим замену y (k) = z, где z = z(x). Решив полученное уравнение, заменяем z = y (k) и интегрированием находим y.Сделав замену y ‘ = z, где z = z(y), получим дифференциальное уравнение (n – 1)-го порядка, связывающее y, z и производные от z по y.
    Например, в дифференциальном уравнении вида F ( y, y ‘, y » ) делается замена y ‘ = z, тогда
    y » = Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравненияz.
    Заменяя y ‘ = z, y » = Что такое интегральная кривая уравненияz, получим дифференциальное уравнение первого порядка
    F Что такое интегральная кривая уравненияy, z, y ‘, Что такое интегральная кривая уравненияz Что такое интегральная кривая уравнения= 0.

    3.10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общая теория.

    Однородные и неоднородные линейные уравнения n-го порядка

    Линейное уравнение n-го порядка имеет следующий общий вид:

    и называется однородным. Если f (x) ≠ 0, то уравнение (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) называется неоднородным. Ниже показано, что, как и в случае линейного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного линейного уравнения (10.1) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения.

    Будем предполагать, что функции p1, …, pn, f (x) непрерывны в интервале (a, b). Это предположение обеспечит существование и единственность решения задачи Коши с любыми y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияпри любом x ∈ (a, b). В частности, единственным решением однородного уравнения (10.2) y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = 0 с нулевыми начальными условиями y0 (x0) = 0, Что такое интегральная кривая уравнения(x0) = 0, …, Что такое интегральная кривая уравнения(x0) = 0 — будет только очевидное нулевое решение y = 0.

    Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

    Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y , а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравнения, Что такое интегральная кривая уравненияна заданные функции p1, …, pn, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

    LЧто такое интегральная кривая уравнения+ p1 (x) Что такое интегральная кривая уравнения+ pn – 1 (x) Что такое интегральная кривая уравнения+ pn (x)

    и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

    LЧто такое интегральная кривая уравнения+ p1 (x) Что такое интегральная кривая уравнения+ p2 (x).

    Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

    1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

    2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

    Из этих основных свойств оператора L следует, что

    LЧто такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияCk yk Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравненияCk L(yk).

    т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

    Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) L(y) = f (x) или (10.5) L(y) = 0 в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b):

    Функции cos x и sin x являются действительной и мнимой частями комплексной функции e ix . Так как они определены при всех значениях x, то и функция e ix определена при всех значениях x.

    Аналогично определяется показательная функция более общего вида e αx , где α = a + ib; причем a и b — действительные числа:

    Здесь действительная и мнимая части e ax cos bx, ie ax sin bx, а вместе с ними и функция e αx определены при всех значениях x.

    Введем понятие о производной комплексной функции действительной переменной. Предположим, что действительная и мнимая части комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Что такое интегральная кривая уравнения) имеют производную k-го порядка. Тогда производная k-го порядка этой функции определяется так:

    Используя формулу (10.7) y (k) (x) = u (k) (x) + iv (k) (x) , можем вычислить значение оператора L от комплексной функции действительной независимой переменной. При этом получим

    т. е. значение оператора L от комплексной функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Что такое интегральная кривая уравнения) является комплексной функцией действительной переменной x; причем действительной и мнимой частями этой функции являются значения оператора L от действительной и мнимой частей функции (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Что такое интегральная кривая уравнения) .

    Дадим теперь понятие о комплексном решении однородного линейного уравнения L(y) = 0. Функция (10.6) y(x) = u(x) + iv(x) (i = Что такое интегральная кривая уравнения) называется комплексным решением уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), если она обращает это уравнение в тождество

    откуда вытекает, что

    Что такое интегральная кривая уравнения≠ const (a (11.2) y1, y2, …, ym (a линейно зависимы в интервале (a, b), то одна из них является линейной комбинацией остальных.

    α1, α2, …, αn (a (11.3) α1, α2, …, αn (a однородного линейного уравнения n-го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

    W(x) = Что такое интегральная кривая уравнения

    Этот определитель называется определителем Вронского решений y1, y2, …, yn.

    Теорема. Для того чтобы решения (11.3) α1, α2, …, αn (a были линейно независимы в (a, b), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L(y) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль ни в одной точке из (a, b).

    Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L(y) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского—Лиувилля:

    W(x) = W(x0) Что такое интегральная кривая уравнения. (11.4)

    Из формулы (11.4) W(x) = W(x0) Что такое интегральная кривая уравнениявидно, что определитель Вронского n решений уравнения L(y) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

    1. Если W(x) обращается в нуль в одной точке из интервала (a, b), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
    2. Если W(x) не равен нулю в одной точке из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

    Таким образом, для того, чтобы n решений (11.3) α1, α2, …, αn (a составляли фундаментальную систему решений уравнения L(y) = 0 в интервале (a, b), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x0 ∈ (a, b).

    Построение общего решения однородного линейного уравнения по фундаментальной системе решений

    Знание фундаментальной системы решений уравнения L(y) = 0 дает возможность построить общее решение этого уравнения.

    a (n – 1) | (11.5) a (n – 1) | имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Покажем, что функция (11.1) Что такое интегральная кривая уравненияCkyk удовлетворяет обоим условиям, указанным в определении общего решения уравнения n-го порядка.

    1. Система уравнений

    Что такое интегральная кривая уравнения(11.6)

    разрешима в области (11.5) a (n – 1) | относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn так как определитель этой системы, будучи равен определителю Вронского для фундаментальной системы решений (11.3) α1, α2, …, αn (a , отличен от нуля.

    2. Функция (11.1) Что такое интегральная кривая уравненияCkyk по третьему свойству решений однородного линейного уравнения является решением уравнения L(y) = 0 при всех значениях произвольных постоянных C1, C2, …, Cn.

    Поэтому функция (11.1) Что такое интегральная кривая уравненияCkyk является общим решением уравнения L(y) = 0 в области (11.5) a (n – 1) | .

    Формула (11.1) Что такое интегральная кривая уравненияCkyk содержит в себе все решения уравнения L(y) = 0, ибо она дает возможность найти решение, удовлетворяющее начальным условиям

    y = y0, y ‘ = Что такое интегральная кривая уравнения, …, y (n – 1) = Что такое интегральная кривая уравненияпри x = x0 (11.7)

    где y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияможно задавать произвольно, а x0 брать любым из интервала (a, b). Для этого достаточно подставить в систему (11.6) Что такое интегральная кривая уравнениявместо x, y, y ‘, …, y (n – 1) начальные данные x0, y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияи разрешить полученную систему

    Что такое интегральная кривая уравнения(11.8)

    относительно произвольных постоянных C1, C2, …, Cn. Так как определитель системы (11.8) Что такое интегральная кривая уравненияесть W(x0) и он отличен от нуля вследствие того, что система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a фундаментальная, то эта система имеет единственное решение

    C1 = Что такое интегральная кривая уравнения, C2 = Что такое интегральная кривая уравнения, …, Cn = Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (11.1) Что такое интегральная кривая уравненияCkyk , получим искомое решение:

    y = Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияyk.

    Таким образом, фундаментальная система решений (11.3) α1, α2, …, αn (a является базисом n–мерного линейного пространства решений уравнения L(y) = 0.

    3.12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

    Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка

    где коэффициенты a1, a2, …, an суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a ≥ – ∞, b ≤ + ∞).

    Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения

    Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2) L(y) ≡ y (n) + a1 y (n – 1) + … + an – 1 y ‘ + an y = 0 определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

    Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

    Рассмотрим уравнение второго порядка

    где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в виде

    где λ — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4) y = e λx будет решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , если λ выбрано так, что функция (12.4) y = e λx обращает это уравнение в тождество

    Вычисляя L(e λx ), т. е. подставляя функцию (12.4) y = e λx в левую часть уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , и принимая во внимание, что

    Из формулы (12.7) L(e λx ) = (λ 2 + pλ + q)e λx следует, что интересующее нас тождество (12.5) L(e λx ) ≡ 0 будет выполняться тогда и только тогда, когда P(λ) = 0, т. е. когда λ является корнем уравнения

    Заметим, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 заменой y », y ‘ и y на λ 2 , λ и 1, т. е. степень λ совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y (0) ≡ y.

    Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 .

    Интегрирование однородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае различных корней характеристического уравнения

    Рассмотрим сначала случаи, когда эти корни различные и действительные. Обозначим их через λ1 и λ2. Тогда, подставляя в формулу (12.4) y = e λx вместо λ числа λ1 и λ2, получим два частных решения уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0

    y1 = Что такое интегральная кривая уравнения, y1 = Что такое интегральная кривая уравнения. (12.9)

    Эти решения, очевидно, линейно независимы, так как их отношение

    Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения

    не равно тождественно постоянной величине. В линейной независимости решений (12.9) y1 = Что такое интегральная кривая уравнения, y1 = Что такое интегральная кривая уравненияможно убедиться также при помощи определителя Вронского. Имеем

    W(x) = Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравнения(λ2λ1) ≠ 0.

    Следовательно, частные решения y1 = Что такое интегральная кривая уравнения, y1 = Что такое интегральная кривая уравненияобразуют фундаментальную систему решений. Тогда общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

    y = C1 Что такое интегральная кривая уравнения+ C2 Что такое интегральная кривая уравнения.

    Предположим теперь, что корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты этого уравнения действительные, то эти комплексные корни являются сопряженными, так что они имеют вид

    Подставляя корень λ1 = a + bi в формулу (12.4) y = e λx , получим комплексное решение

    поэтому решение (12.10) y = e (a + bi)x можно записать так:

    Отделяя в комплексном решении (12.11) y = e ax cos ax + i e ax sin bx действительную и мнимую части, получим два действительных частных решения

    Эти решения, очевидно, независимы, так как

    Что такое интегральная кривая уравнения≠ const.

    Аналогично убеждаемся, что сопряженному корню λ2 = abi соответствуют действительные частные решения

    Решения (12.13) e ax cos ax, – e ax sin bx , очевидно, линейно зависимы с решениями (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx .

    Таким образом, паре сопряженных комплексных корней λ1, 2 = a ± bi соответствуют два действительных линейно независимых частных решения (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx .

    Решения (12.12) y1 = e ax cos ax, y2 = e ax sin bx образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 . Поэтому

    будет общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 .

    Если корни λ1 и λ2 чисто мнимые, т. е. λ1 = ib и λ2 = – ib, то им соответствуют линейно независимые частные решения вида

    Эти решения образуют фундаментальную систему решений уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , а

    есть общее решение этого уравнения.

    Случай кратных корней характеристического уравнения

    Предположим теперь, что характеристическое уравнение (12.8) λ 2 + pλ + q = 0 имеет равные корни λ1 = λ2 = – Что такое интегральная кривая уравнения. Нам надо найти два линейно независимых частных решения. Одним частным решением, очевидно, будет

    y1 = Что такое интегральная кривая уравнения(12.15)

    y1 = Что такое интегральная кривая уравнения. (12.15, а)

    Убедимся непосредственной подстановкой в уравнение (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 в том, что

    y2 = x Что такое интегральная кривая уравнения(12.16)

    есть второе частное решение уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 , линейно независимое с решением (12.15) y1 = Что такое интегральная кривая уравнения:

    Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияxЧто такое интегральная кривая уравнения,

    Что такое интегральная кривая уравнения= – p Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравненияxЧто такое интегральная кривая уравнения. (12.17)

    L(xЧто такое интегральная кривая уравнения) = – px Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравненияx Что такое интегральная кривая уравнения+ px Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравненияx Что такое интегральная кривая уравнения+ qx Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравненияЧто такое интегральная кривая уравнения+ q Что такое интегральная кривая уравненияx Что такое интегральная кривая уравнения≡ 0 (12.18)

    так как Что такое интегральная кривая уравненияq = 0.

    Общим решением уравнения (12.3) L(y) ≡ y » + py ‘ + qy = 0 будет

    y = Что такое интегральная кривая уравнения(C1 + C2x).

    3.13. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение, структура общего решения. Принцип наложения.

    Структура общего решения неоднородного линейного уравнения

    Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    z = Что такое интегральная кривая уравненияCk zk (13.5)

    Подставляя это значение z в формулу (13.3) y = y1 + z , получим

    y = y1 + Что такое интегральная кривая уравненияCk zk (13.6)

    Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) . Функция (13.6) y = y1 + Что такое интегральная кривая уравненияCk zk , как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) .

    Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4) L(z) = 0 .

    Общее решение (13.6) y = y1 + Что такое интегральная кривая уравненияCk zk дает возможность решить задачу Коши с любыми начальными данными x0, y0, Что такое интегральная кривая уравнения, …, Что такое интегральная кривая уравненияиз области (11.5) a (n – 1) | за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных.

    Задача нахождения частного решения неоднородного уравнения (13.1) L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ‘ + pn (x) y = f (x) во многих случаях облегчается, если воспользоваться замечательным свойством частных решений, выражаемым следующей теоремой.

    и известно, что y1 есть частное решение уравнения

    а y2 — частное решение уравнения

    3.14. Подбор частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

    Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид полинома от x степени m

    Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

    Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

    где a1, …, an — действительные числа, α — действительное число, Pm (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

    Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

      Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

    где Qm (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.
    Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

    т. е. частное решение приобретает множитель xk .

    Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

    где α и b — действительные числа, P1 и P2 — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

    Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e αx , а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

    где Q1 и Q2 — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P1 и P2 тождественно равен нулю.
    Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

    т. е. частное решение приобретает множитель xk .

    3.15. Метод вариации произвольных постоянных.

    Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

    где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

    Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) соответствующее ему однородное уравнение

    W(x) = Что такое интегральная кривая уравнения≠ 0 (15.4)

    Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 имеет вид

    Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C1(x) и C2(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C1(x) и C2(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) L(C1(x)z1 + C2(x)z2) = f (x) не войдут производные второго порядка от этих функций.

    Дифференцируя обе части равенства (15.5) z = C1(x)z1 + C2(x)z2 , имеем y’ = C1(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C2(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x)z1 + Что такое интегральная кривая уравнения(x)z2.

    Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от C1(x) и C2(x), положим

    Что такое интегральная кривая уравнения(x)z1 + Что такое интегральная кривая уравнения(x)z2 = 0.

    Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C1(x) и C2(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y’ примет вид

    y’ = C1(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C2(x)Что такое интегральная кривая уравнения. (15.7)

    Вычисляя теперь , получим

    = C1(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C2(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x)Что такое интегральная кривая уравнения. (15.8)

    Подставим выражения для y, y’ и из формул (15.5) z = C1(x)z1 + C2(x)z2 , (15.7) y’ = C1(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C2(x) Что такое интегральная кривая уравненияи (15.8) = C1(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ C2(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравненияв уравнение (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Получим

    C1(x)L(z1) + C1(x)L(z2) + Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравнения= f (x).

    Здесь в силу (15.3) L(z1) ≡ 0, L(z2) ≡ 0 первые два слагаемых равны нулю, поэтому

    Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравнения+ Что такое интегральная кривая уравнения(x) Что такое интегральная кривая уравнения= f (x).

    Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Эта система в силу (15.4) W(x) = Что такое интегральная кривая уравнения≠ 0 однозначно разрешима относительно Что такое интегральная кривая уравнения(x) и Что такое интегральная кривая уравнения(x). Решая ее, получим

    Что такое интегральная кривая уравнения(x) = φ1(x) и Что такое интегральная кривая уравнения(x) = φ2(x),

    где φ1(x) и φ2(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z1, z2, Что такое интегральная кривая уравненияи Что такое интегральная кривая уравнениянепрерывны в интервале (a, b), то в силу (15.4) W(x) = Что такое интегральная кривая уравнения≠ 0 функции φ1(x) и φ2(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

    C1(x) = Что такое интегральная кривая уравненияφ1(x)dx + C1, C2(x) = Что такое интегральная кривая уравненияφ2(x)dx + C2,

    y = z1Что такое интегральная кривая уравненияφ1(x)dx + z2Что такое интегральная кривая уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2. (15.9)

    Полагая здесь C1 = C2 = 0, получим частное решение

    y1 = z1Что такое интегральная кривая уравненияφ1(x)dx + z2Что такое интегральная кривая уравненияφ2(x)dx

    так что формулу (15.9) y = z1Что такое интегральная кривая уравненияφ1(x)dx + z2Что такое интегральная кривая уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 можно записать в виде

    откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9) y = z1Что такое интегральная кривая уравненияφ1(x)dx + z2Что такое интегральная кривая уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 дает общее решение уравнения (15.1) L(y) ≡ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) . Все решения, входящие в формулу (15.9) y = z1Что такое интегральная кривая уравненияφ1(x)dx + z2Что такое интегральная кривая уравненияφ2(x)dx + C1z1 + C2z2 , заведомо определены в интервале (a, b).

    Изложенный метод вариации произвольных постоянных легко распространяется на уравнение n-го порядка. Пусть дано неоднородное линейное уравнение n-го порядка

    где коэффициенты p1 (x), …, pn (x) и правая часть f (x) суть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

    Рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

    Пусть z1, z2, …, zn — фундаментальная система решений этого уравнения. Тогда

    z = Что такое интегральная кривая уравненияCkzk

    Решение данного неоднородного уравнения ищется в виде

    y = Что такое интегральная кривая уравненияCk(x)zk, (15.11)

    где функции Ck(x) определяются из системы уравнений

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Решая эту систему относительно Что такое интегральная кривая уравнения(k = 1, 2, …, n), находим

    Что такое интегральная кривая уравнения= φk(x) (k = 1, 2, …, n),

    Ck(x) = Что такое интегральная кривая уравненияφk(x)dx + Ck (k = 1, 2, …, n).

    Подставляя найденные значения Ck(x) в формулу (15.11) y = Что такое интегральная кривая уравненияCk(x)zk , получаем

    y = Что такое интегральная кривая уравненияzkЧто такое интегральная кривая уравненияφk(x)dx + Что такое интегральная кривая уравненияCkzk. (15.12)

    Это и есть общее решение уравнения. Все решения, входящие в формулу (15.12) y = Что такое интегральная кривая уравненияzkЧто такое интегральная кривая уравненияφk(x)dx + Что такое интегральная кривая уравненияCkzk , заведомо определены в интервале (a, b).

    Видео:Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривыеСкачать

    Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривые

    Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения и образцами выполнения

    Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у'(х), у»(х), … , Что такое интегральная кривая уравнения(наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь Что такое интегральная кривая уравнения— заданная функция своих аргументов.

    Замечание:

    Обозначения зависимой и независимой переменных через х и у, используемые в приведенном определении, не являются жесткими; часто в качестве независимой удобно брать переменную t, иными буквами обозначают и зависимую переменную (см. ниже пример 2).

    В обыкновенном дифференциальном уравнении искомая функция у = у(х) есть функция одной независимой переменной x. Если искомая функция есть функция двух (и более) независимых переменных, то имеем дифференциальное уравнение с частными производными. В этой и двух следующих главах мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

    Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где f(x) — известная непрерывная на некотором интервале (а, b) функция, а у = у(х) — искомая функция. С таким уравнением мы уже встречались в интегральном исчислении, когда поданной функции f(x) требовалось найти ее первообразную F(x). Как известно, всякая функция, удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x) на интервале (а, Ь), а С — произвольная постоянная. Таким образом, искомая функция у = у(х) определяется из уравнения (2) неоднозначно.

    Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — дифференциальное уравнение 1-го порядка;

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — дифференциальное уравнение 2-го порядка;

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — дифференциальное уравнение пятого порядка.

    Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (а, b) называется всякая функция Что такое интегральная кривая уравненияимеющая на этом интервале производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка функции Что такое интегральная кривая уравненияи ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х на интервале (а, b).

    Например, функция у = sin х является решением дифференциального уравнения второго порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    на интервале Что такое интегральная кривая уравненияВ самом деле, Что такое интегральная кривая уравненияПодставив в данное уравнение найденные значения Что такое интегральная кривая уравненияполучим — Что такое интегральная кривая уравнения

    Задача:

    Найти совпадающие решения двух дифференциальных уравнений (не решая самих уравнений):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

    Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. К составлению и интегрированию дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук (физики, химии, биологии и т. п.).

    Пример:

    Найти такую кривую, чтобы тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке численно равнялся ординате точки касания.

    — уравнение искомой кривой. Как известно, tg а = у'(х) и, значит, определяющее свойство кривой есть

    — дифференциальное уравнение первого порядка. Нетрудно видеть, что функция

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Есть решение этого уравнения. Оно также имеет очевидное решение у = 0. Кроме того, решениями будут функции

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — произвольная постоянная, так что уравнение имеет бесконечное множество решений.

    Пример:

    Найти закон прямолинейного движения материальной точки, движущейся с постоянным ускорением а.

    Требуется найти формулу Что такое интегральная кривая уравнениявыражающую пройденный путь как функцию времени. По условию имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — дифференциальное уравнение второго порядка. Последовательно находим:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Произвольные постоянные можно определить, если положить

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В самом деле, полагая t = to в первом из соотношений (*), получаем Что такое интегральная кривая уравнения= Что такое интегральная кривая уравненияИз второго соотношения (*) при t = tо имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя найденные значения C1 и С2 в выражение для функции s(t), приходим к известному закону движения материальной точки с постоянным ускорением:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Видео:Найти все интегральные кривые уравненияСкачать

    Найти все интегральные кривые уравнения

    Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши

    Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если в этом уравнении удается выразить производную у’ через х и у, то получаем уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    разрешенное относительно производной. Здесь f — заданная функция своих аргументов.

    Наряду с уравнением (1) рассматривают эквивалентное ему дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    или уравнение более общего вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    получаемое из (1′) путем умножения на некоторую функцию Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравненияизвестные функции своих аргументов).

    Два дифференциальных уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    называются эквивалентными в некоторой области D изменения величин х, у, у’, если всякое решение Что такое интегральная кривая уравненияодного из этих уравнений является решением другого уравнения и наоборот. При преобразовании дифференциальных уравнений надо следить затем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентным исходному.

    Если дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество его решений оказывается бесконечным. Впрочем, дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    имеет только одно решение

    y = х,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    вообще не имеет действительных решений.

    Чтобы выделить определенное решение уравнения (1), надо задать начальное условие, которое заключается в том, что при некотором значении Xо независимой переменной х заранее дано значение Yo искомой функции у(х):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Геометрически это означает, что задается точка Что такое интегральная кривая уравнениячерез которую должна проходить искомая интегральная кривая.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Задачу отыскания решения у(х) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называют задачей Коши (начальной задачей) для уравнения (1).

    Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения у’ = f(x, у)

    Теорема:

    Существования и единственности решения. Пусть имеем дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и пусть функция f(x,y) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Выберем произвольную точку Что такое интегральная кривая уравненияЕсли существует окрестность Что такое интегральная кривая уравненияэтой точки, в которой функция f(x,y)

    1) непрерывна по совокупности аргументов;

    2) имеет ограниченную частную производную Что такое интегральная кривая уравнениято найдется интервал Что такое интегральная кривая уравненияна котором существует, и притом единственная, функция Что такое интегральная кривая уравненияявляющаяся решением уравнения (1) и принимающая при X = Xo значение Yо (рис. 1)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Геометрически это означает, что через точку Что такое интегральная кривая уравненияпроходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1).

    Теорема 1 имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения Что такое интегральная кривая уравненияуравнения (1) лишь в достаточно малой окрестности точки х0. Из теоремы 1 вытекает, что уравнение (1) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку (Xo, Yо); другое решение, когда график проходит через точку (Xо, Y1 ) и т. д.).

    Пример:

    у’ = х + у

    f(x,y) = x + у

    определена и непрерывна во всех точках плоскости хОу и имеет всюду Что такое интегральная кривая уравненияВ силу теоремы 1 через каждую точку (Xо, Yо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    определена и непрерывна на всей плоскости хОу. Здесь

    Что такое интегральная кривая уравнения

    так что второе условие теоремы 1 нарушается в точках оси Ох. Нетрудно проверить, что функция

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — любая постоянная, является решением данного уравнения. Кроме того, уравнение имеет очевидное решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если искать решения этого уравнения, соответствующие условию у(0) = 0, то таких решений найдется бесчисленное множество, а частности, следующие (рис. 2):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Таким образом, через каждую точку оси Ох проходят по крайней мере две интегральные кривые и, следовательно, в точках Этой оси нарушается единственность.

    Если взять точку М1 (1,1), то в достаточно малой ее окрестности выполнены все условия теоремы 1. Следовательно, через данную точку в малом квадрате Что такое интегральная кривая уравненияпроходит единственная интегральная кривая

    Что такое интегральная кривая уравнения

    уравнения Что такое интегральная кривая уравненияЕсли квадрат Что такое интегральная кривая уравнениявзять достаточно большим (подумайте, каким), то в нем единственность решения уже не будет иметь места. Это подтверждает локальный характер теоремы 1.

    Теорема 1 дает достаточные условия существования единственного решения уравнения у’ = f(x,y). Это означает, что может существовать единственное решение у = у(х) уравнения у’ = f(x, у), удовлетворяющее условию Что такое интегральная кривая уравненияхотя в точке (Xo, Yо) не выполняются условия 1) или 2) теоремы или оба вместе.

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В точках оси Ох функции Что такое интегральная кривая уравненияразрывны, причем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Но через каждую точку (Хо, 0) оси Ох проходит единственная интегральная кривая

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Замечание:

    Если отказаться от ограниченности Что такое интегральная кривая уравнениято получается следующая теорема существования решения.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Теорема:

    Если функция f(x, у) непрерывна в некоторой окрестности точки (х0, уо), то уравнение у’ = f(x, у) имеет в этой окрестности по крайней мере одно решение Что такое интегральная кривая уравненияпринимающее при х = х0 значение у0.

    Задача:

    Найти интегральную кривую уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    проходящую через точку О (0,0).

    Задача:

    Найти решение задачи Коши

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Определение:

    Общим решением дифференциального уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    в некоторой области Что такое интегральная кривая уравнениясуществования и единственности решения задачи Коши называется однопараметрическое семейство S функций Что такое интегральная кривая уравнениязависящих от переменной х и одной произвольной постоянной С (параметра), такое, что

    1) при любом допустимом значении постоянной С функция Что такое интегральная кривая уравненияявляется решением уравнения (1):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    2) каково бы ни было начальное условие Что такое интегральная кривая уравненияможно подобрать такое значение С0 постоянной С, что решение Что такое интегральная кривая уравнениябудет удовлетворять начальному условию

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При этом предполагается, что точка (Хо, Уо) принадлежит области Что такое интегральная кривая уравнениясуществования и единственности решения задачи Коши.

    Пример:

    Показать, что общим решением дифференциального уравнения

    у’ = 1

    у = х + С,

    где С — произвольная постоянная.

    В данном случае f(x, у) = 1, и условия теоремы 1 выполняются всюду. Следовательно, через каждую точку (Хо, Уо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

    Проверим, что функция

    у = х + С

    удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в определении общего решения. Действительно, при любом С имеем

    у’ = (х + С)’ = 1,

    так что у = х + С есть решение данного уравнения. Потребовав, чтобы при Х = Хо решение принимало значение Уо, приходим к соотношению Уо = Хо + Со. откуда

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Решение у = х + Уо — Хо, или

    Что такое интегральная кривая уравнения

    удовлетворяет поставленному начальному условию.

    Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, получаемое из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной С (включая Что такое интегральная кривая уравнения). Таким образом, общее решение этого дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

    В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

    Что такое интегральная кривая уравнения

    неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение (2) называют общим интегралом дифференциального уравнения (1).

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где Что такое интегральная кривая уравнения— некоторое конкретное значение постоянной С, называется частным интегралом.

    Замечание:

    Название происходит от того, что для простейшего дифференциального уравнения вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    его общее решение действительно записывается при помощи обычного неопределенного интеграла

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Общий интеграл уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    имеет следующий вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В дальнейшем для краткости мы будем иногда говорить, что решение уравнения проходит через некоторую точку Что такое интегральная кривая уравненияесли точка Что такое интегральная кривая уравнениялежит на графике этого решения.

    Определение:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    дифференциального уравнения (1) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку Что такое интегральная кривая уравнениякроме этого решения проходит и другое решение уравнения (1), не совпадающее с Что такое интегральная кривая уравненияв сколь угодно малой окрестности точки Что такое интегральная кривая уравнения.

    График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения. Геометрически это — огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемых его общим интегралом.

    Если для дифференциального уравнения (1) в некоторой области D на плоскости хОу выполнены условия теоремы 1, то через каждую точку Что такое интегральная кривая уравненияпроходит единственная интегральная кривая Что такое интегральная кривая уравненияуравнения. Эта кривая входит в однопараметрическое семейство кривых

    Что такое интегральная кривая уравнения

    образующих общий интеграл уравнения (1), и получается из этого семейства при конкретном значении параметра С, т.е. является частным интегралом уравнения (1). Никаких других решений, проходящих через точку Что такое интегральная кривая уравнения, здесь быть не может. Следовательно, для существования особого решения у уравнения (1) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы 1. В частности, если правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматриваемой области D, то особые решения могут проходить только через те точки, где производная Что такое интегральная кривая уравнениястановится бесконечной.

    Напомним, что огибающей семейства кривых Что такое интегральная кривая уравненияназывается такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из этого семейства.

    Например, для уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    функция Что такое интегральная кривая уравнениянепрерывна всюду, но производная Что такое интегральная кривая уравненияобращается в бесконечность при у = 0, т. е. на оси Ох плоскости хОу. Уравнение (3) имеет общее решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — семейство кубических парабол — и очевидное решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    проходящее через те точки, где производная Что такое интегральная кривая уравненияне ограничена. Решение Что такое интегральная кривая уравнения— особое, так как через каждую его точку проходит и кубическая парабола, и сама эта прямая у = 0 (см. рис. 2). Таким образом, в каждой точке решения Что такое интегральная кривая уравнениянарушается свойство единственности. Особое решение Что такое интегральная кривая уравненияне получается из решения Что такое интегральная кривая уравненияни при каком числовом значении параметра С (включая Что такое интегральная кривая уравнения).

    Из теоремы 1 можно вывести только необходимые условия для особого решения. Множество тех точек, где производная Что такое интегральная кривая уравненияне ограничена, если оно является кривой, может и не быть особым решением уже потому, что эта кривая, вообще говоря, не является интегральной кривой уравнения (1). Если, например, вместо уравнения (3) взять уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    то в точках прямой у = 0 по-прежнему нарушается условие ограниченности производной Что такое интегральная кривая уравнения, но эта прямая, очевидно, не является интегральной кривой уравнения (4).

    Итак, чтобы найти особые решения уравнения (1), надо

    1) найти множество точек, где производная Что такое интегральная кривая уравненияобращается в бесконечность;

    2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они интегральными кривыми уравнения (1);

    3) если это интегральные кривые, проверить, нарушается ли в каждой их точке свойство единственности.

    При выполнении всех этих условий найденная кривая представляет собой особое решение уравнения (1).

    Задача:

    Найти особые решения уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Видео:1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

    1. Что такое дифференциальное уравнение?

    Приближенные методы интегрирования уравнения у’ = f(x, у)

    Метод изоклин

    Пусть имеем дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где функция f(x, у) в некоторой области D на плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы 1. Это уравнение определяет в каждой точке (х, у) области D значение у’, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Говорят, что уравнение (1) определяет в области D поле направлений. Чтобы его построить, надо в каждой точке Что такое интегральная кривая уравненияпредставить с помощью некоторого отрезка направление касательной к интегральной кривой в этой точке, определяемое значением Что такое интегральная кривая уравнения

    Совокупность этих отрезков дает геометрическую картину поля направлений. Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь сформулирована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. Такое истолкование дифференциального уравнения и его интегрирования дает графический способ решения уравнения.

    Для построения интегральных кривых пользуются изоклинами. Изоклиной называется множество всех точек плоскости хОу, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление (у’ = const).

    Из этого определения следует, что семейство изоклин дифференциального уравнения (1) задается уравнением

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где к — числовой параметр. Если придать параметру к близкие числовые значения, можно найти достаточно густую сеть изоклин и приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения.

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    по способу изоклин.

    Семейство изоклин данного уравнения определяется уравнением

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Полагая к = 0, + 1, — 1,…, получаем изоклины

    Что такое интегральная кривая уравнения

    по которым строим интегральные кривые уравнения (рис. 4).

    Что такое интегральная кривая уравнения

    определяет множество возможных точек экстремума интегральных кривых (прямая x = 0 в примере 1).

    Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление вогнутости и точки перегиба этих кривых (если такие точки существуют). Для этого находят у» в силу уравнения (1):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Знак правой части определяет знак у», т. е. направление вогнутости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

    Что такое интегральная кривая уравнения

    есть множество всех возможных точек перегиба интегральных кривых.

    В примере 1 имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    поэтому все интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, и точек перегиба интегральных кривых нет.

    Метод последовательных приближений

    Пусть имеем дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где функция f(x, у) в некоторой области D изменения х, у удовлетворяет условиям теоремы 1, и пусть точка Что такое интегральная кривая уравнения. Решение задачи Коши

    Что такое интегральная кривая уравнения

    равносильно решению некоторого интегрального уравнения, т. е. уравнения, в которое неизвестная функция входит под знаком интеграла. В самом деле, пусть

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — решение уравнения (2), заданное в некоторой окрестности Что такое интегральная кривая уравненияточки Что такое интегральная кривая уравненияи удовлетворяющее начальному условию (3). Тогда при Что такое интегральная кривая уравненияимеет место тождество

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Проинтегрируем это тождество по х

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Отсюда учитывая (3), получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    так что решение у(х) задачи Коши удовлетворяет интефальному уравнению

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Обратно: если непрерывная функция Что такое интегральная кривая уравненияудовлетворяет интегральному уравнению (4), то, как легко проверить, у(х) является решением задачи Коши (2)-(3).

    Решение Что такое интегральная кривая уравненияинтегрального уравнения (4) для всех х, достаточно близких к Что такое интегральная кривая уравнения, может быть построено методом последовательных приближений по формуле

    Что такое интегральная кривая уравнения

    причем в качестве Что такое интегральная кривая уравненияможно взять любую непрерывную на отрезке Что такое интегральная кривая уравненияфункцию, в частности, Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Методом последовательных приближений решить задачу Коши

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Сводим данную задачу к интегральному уравнению

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Выбирая за нулевое приближение функцию

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Легко видеть, что функция Что такое интегральная кривая уравненияесть решение задачи.

    Видео:Практика 1 ИзоклиныСкачать

    Практика 1  Изоклины

    Численные методы решения задачи Коши Метод Эйлера

    Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    удовлетворяющее начальному условию

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике Что такое интегральная кривая уравненияфункция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши (1)-(2) существует, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.

    Численное решение задачи (1)-(2) состоит в построении таблицы приближенных значений Что такое интегральная кривая уравнениярешения задачи в точках Что такое интегральная кривая уравненияЧаще всего выбирают Что такое интегральная кривая уравненияТочки Хк называют узлами сетки, а величину h > 0 — шагом сетки. Так как по определению производная Что такое интегральная кривая уравненияесть предел разностного отношения Что такое интегральная кривая уравнениято, заменяя производную этим отношением, вместо дифференциального уравнения (1) получим разностное уравнение (разностную схему Эйлера)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Отсюда последовательно находим значения Что такое интегральная кривая уравненияучитывая, что Что такое интегральная кривая уравнения— заданная величина.

    В результате вместо решения у = у(х) мы находим функцию

    Что такое интегральная кривая уравнения

    дискретного аргумента Что такое интегральная кривая уравнения(сеточную функцию), дающую приближенное решение задачи (1)-(2). Геометрически искомая интегральная кривая у = у(х), проходящая через точку Что такое интегральная кривая уравнениязаменяется ломаной Эйлера Что такое интегральная кривая уравненияс вершинами в точках Что такое интегральная кривая уравнения(см. рис. 5).

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Метод Эйлера относится к группе одно-шаговых методов, в которых для вычисления точки Что такое интегральная кривая уравнениятребуется знание только предыдущей вычисленной точки Что такое интегральная кривая уравненияДля оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение у = у(х) в окрестности узла Что такое интегральная кривая уравненияпо формуле Тейлора

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Сравнение формул (4) и (5) показывает, что они совпадают до членов первого порядка по h включительно, а погрешность формулы (4) равна Что такое интегральная кривая уравненияПоэтому говорят, что метод Эйлера имеет первый порядок.

    Пример:

    Методом Эйлера решить задачу Коши

    Что такое интегральная кривая уравнения

    на отрезке |0; 0,5] с шагом h = 0,1.

    В данном случае Что такое интегральная кривая уравненияПользуясь формулой (4),

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и т. д. Результаты вычислений сведем в таблицу

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Замечание:

    Если рассмотреть задачу Коши

    Что такое интегральная кривая уравнения

    на любом отрезке [0, a] с любым шагом h > 0, то получим Что такое интегральная кривая уравнениятак что в этом случае ломаная Эйлера «распрямляется» и совпадает с прямой у = х + 1 — точным решением поставленной задачи Коши.

    Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

    Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

    Понятие о методе Рунге—Кутта

    Метод Эйлера весьма прост, но имеет низкую точность. Точность решения можно повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма распространенными на практике являются схемы Рунге—Кутта.

    Пусть опять требуется решить задачу Коши (1)-(2). Будем строить таблицу приближенных значений Что такое интегральная кривая уравнениярешения у = у(х) уравнения (1) в точках Что такое интегральная кривая уравнения(узлах сетки).

    Рассмотрим схему равноотстоящих узлов Что такое интегральная кривая уравненияшаг сетки. В методе Рунге—Кутта величины Что такое интегральная кривая уравнениявычисляются по следующей схеме

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Видео:Построить интегральную кривуюСкачать

    Построить интегральную кривую

    Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

    В общем случае, даже зная, что решение уравнения существует, отыскать его довольно трудно. Однако существуют некоторые виды дифференциальных уравнений, методы получения решений которых особенно просты (при помощи интегралов от элементарных функций). Рассмотрим некоторые из них.

    Уравнения с разделяющимися переменными

    Что такое интегральная кривая уравнения

    называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Здесь f1(y), f2(x) — известные непрерывные функции своих аргументов.

    Покажем, как найти решение этого уравнения. Пусть Что такое интегральная кривая уравнения— первообразные функции Что такое интегральная кривая уравнениясоответственно. Равенство (1) равносильно тому, что дифференциалы этих функций должны совпадать

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Отсюда следует, что

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — произвольная постоянная.

    Разрешая последнее уравнение (2) относительно у, получим функцию (может быть, и не одну)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    которая обращает уравнение (1) в тождество и значит, является его решением.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — уравнение с разделенными переменными. Записав его в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и интегрируя обе части, найдем общий интеграл данного уравнения:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на Что такое интегральная кривая уравненияоно приводится к уравнению с разделенными переменными

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Деля обе част уравнения на Что такое интегральная кривая уравненияприведем его к виду

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Интегрируя обе части полученного равенства, найдем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Заметим, что деление на Что такое интегральная кривая уравненияможет привести к потере решений, обращающих в нуль произведение Что такое интегральная кривая уравнения.

    Например, разделяя переменные в уравнении

    Что такое интегральная кривая уравнения

    а после интегрирования —

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    (здесь С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но Что такое интегральная кривая уравненияПри делении на у потеряно решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    которое может быть включено в общее решение у = Сх, если постоянной С разрешить принимать значение С = 0.

    Если считать переменные х и у равноправными, то уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    теряющее смысл при х = 0, надо дополнить уравнением

    Что такое интегральная кривая уравнения

    которое имеет очевидное решение х = 0.

    В общем случае наряду с дифференциальным уравнением

    Что такое интегральная кривая уравнения

    следует рассматривать уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравненияиспользуя уравнение (4′) там, где уравнение (4) не имеет смысла, а уравнение (4′) имеет смысл.

    Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где f(x) — непрерывная функция своего аргумента, a, b, с — постоянные числа, подстановкой z = ах + by + с преобразуется в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    После интегрирования получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Заменяя в последнем соотношении z на ах + by + с, найдем общий интеграл уравнения (5).

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Положим z = x + y, тогда

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Интегрируя, находим или

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя вместо z величину х + у, получаем общее решение данного уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный момент Что такое интегральная кривая уравненияимелось Что такое интегральная кривая уравнениявещества.

    Дифференциальное уравнение процесса

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Здесь к > 0 — постоянная распада — предполагается известной, знак «-» указывает на уменьшение х при возрастании t. Разделяя переменные в уравнении (») и интегрируя, получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Учитывая начальное условие Что такое интегральная кривая уравнениянаходим, что Что такое интегральная кривая уравненияпоэтому

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Любой процесс (не только радиоактивный распад), при котором скорость распада пропорциональна количеству еще не прореагировавшего вещества, описывается уравнением (*). Уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (*), описывает лавинообразный процесс размножения, например «размножение» нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение бактерий в предположении, что скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения (»»»), удовлетворяющее условию Что такое интегральная кривая уравненияимеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и в отличие от решения уравнения (**) возрастает с возрастанием t. Уравнения (*) и (***) можно объединить в одно

    Что такое интегральная кривая уравнения

    которое дает простейшую математическую модель динамики популяций (совокупности особей того или иного вида растительных или животных Организмов). Пусть y(t) — число членов популяции в момент времени t. Если предположить, что скорость изменения популяции пропорциональна величине популяции, то мы приходим к уравнению (****). Положим k=m-n, где m — коэффициент относительной скорости рождаемости, a n — коэффициент относительной скорости умирания. Тогда к > 0 при m > n и k Что такое интегральная кривая уравнения

    при к Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнение динамики популяции в этой модели имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Это так называемое логистическое уравнение — фундаментальное уравнение в демографии и в математической теории экологии. Оно применяется в математической теории распространения слухов, болезней и других проблемах физиологии и социологии. Разделяя переменные в последнем уравнении, получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и выражая у через t, окончательно получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Считая, что Что такое интегральная кривая уравнениянайдем уравнение логистической кривой

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При а > 0 и А > 0 получаем, что Что такое интегральная кривая уравненияЛогистическая кривая содержит два параметра А и а. Для их определения надо иметь два дополнительных значения y(t) при каких-то t1 и t2.

    Уравнения, однородные относительно x и у

    Функция f(x, у) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Например, для функции

    Что такое интегральная кривая уравнения

    так что Что такое интегральная кривая уравнения— однородная функция относительно переменных x и у второго измерения.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    так что Что такое интегральная кривая уравненияесть однородная функция нулевого измерения. Дифференциальное уравнение первого порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    называется однородным относительно х и у, если функция f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно переменных х и у.

    Пусть имеем дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    однородное относительно переменных х и у. Положив Что такое интегральная кривая уравненияв тождестве f(tx, ty) = f(x, у), получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Обозначая Что такое интегральная кривая уравнениявидим, что однородное относительно переменных х и у дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При произвольной непрерывной функции Что такое интегральная кривая уравненияпеременные не разделяются. Введем новую искомую функцию Что такое интегральная кривая уравненияформулой Что такое интегральная кривая уравненияПодставляя выражение Что такое интегральная кривая уравненияв уравнение (6), получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Деля обе части последнего равенства на Что такое интегральная кривая уравненияи интегрируя, находим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Заменяя здесь и на его значение Что такое интегральная кривая уравненияполучаем общий интеграл уравнения (6).

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Положим Что такое интегральная кривая уравненияи уравнение преобразуется к виду

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Интегрируя, найдем Что такое интегральная кривая уравненияили

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельно падающих на него лучей в одну точку.

    Прежде всего, зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для поверхности вращения все нормали к поверхности проходят через ось вращения.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси Ох и чтобы точкой, в которой собирались бы отраженные лучи, явилось бы начало координат. Найдем форму сечения зеркала плоскостью хОу. Пусть уравнение сечения есть Что такое интегральная кривая уравнения(рис.6). В точке М (х,у) падения луча L на зеркало проведем касательную BN к сечению и обозначим ее угол с осью Ох через а. Пусть N — точка пересечения этой касательной с осью Ох. По закону отражения углы NMO и BML равны. Нетрудно видеть, что угол МОР равен 2а. Так как Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнениято во всякой точке кривой Что такое интегральная кривая уравнениявыполняется соотношение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход луча. Разрешая это уравнение относительно производной, получаем два однородных уравнения:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Первое из них путем замены Что такое интегральная кривая уравненияпреобразуется к виду

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Потенцируя последнее соотношение и заменяя и через Что такое интегральная кривая уравненияпосле несложных преобразований имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Полученное уравнение в плоскости хОу определяет семейство парабол, симметричных относительно оси Ох. фокусы всех этих парабол совпадают с началом координат. Фиксируя С и вращая параболу вокруг оси Ох, получаем параболоид вращения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Таким образом, зеркало в виде параболоида вращения решает поставленную задачу. Это свойство используется в прожекторах.

    Замечание:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    то уравнение (6) имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и интегрируется разделением переменных. Его общее решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если Что такое интегральная кривая уравненияи обращается в нуль при значении Что такое интегральная кривая уравнениято существует также решение Что такое интегральная кривая уравненияили

    Что такое интегральная кривая уравнения

    (прямая, проходящая через начало координат).

    Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где Что такое интегральная кривая уравнения— постоянные числа, при Что такое интегральная кривая уравненияявляется однородным. Пусть теперь по крайней мере одно из чисел Что такое интегральная кривая уравненияотлично от нуля. Здесь следует различать два случая.

    1. Определитель Что такое интегральная кривая уравненияотличен от нуля. Введем новые переменные Что такое интегральная кривая уравненияпо формулам

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где h и k — пока не определенные постоянные. Тогда Что такое интегральная кривая уравненияУравнение (7) преобразуется при этом в уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если выбрать h и k как решения системы линейных алгебраических уравнений

    Что такое интегральная кривая уравнения

    то получим однородное относительно Что такое интегральная кривая уравненияуравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Заменяя в его общем интеграле Что такое интегральная кривая уравнениянайдем общий интеграл уравнения (7).

    2. Определитель Что такое интегральная кривая уравненияравен нулю. Система (8) в общем случае не имеет решения и изложенный выше метод неприменим. Но в этом случае Что такое интегральная кривая уравненият. е. уравнение (7) имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. Аналогичными приемами интегрируется уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где f(w) — непрерывная функция своего аргумента.

    Видео:Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

    Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

    Линейные дифференциальные уравнения

    Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. В общем случае оно имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где коэффициенты уравнения А(х) и В(х) и его правая часть f(x) считаются известными функциями, заданными на некотором интервале Что такое интегральная кривая уравнения

    Если Что такое интегральная кривая уравнениято это уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Считая Что такое интегральная кривая уравненияи деля обе части уравнения (9) на А(х), приведем (9) к виду

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Теорема:

    Если функции р(х) и q(x) непрерывны на отрезке Что такое интегральная кривая уравнениято уравнение (10) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию Что такое интегральная кривая уравненияточка Что такое интегральная кривая уравненияпринадлежит полосе Что такое интегральная кривая уравнения

    Разрешая уравнение (10) относительно у’, приведем его к виду

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где правая часть

    Что такое интегральная кривая уравнения

    удовлетворяет всем условиям теоремы 1: она непрерывна по совокупности переменных х и у и имеет ограниченную частную производную

    Что такое интегральная кривая уравнения

    в указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения.

    Линейное однородное уравнение, соответствующее уравнению (10), имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Оно интегрируется разделением переменных:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При делении на у потеряно решение Что такое интегральная кривая уравненияоднако оно может быть включено в найденное семейство решений (12), если считать, что С может принимать значение, равное нулю. Формула (12) дает общее решение уравнения (11) в указанной выше полосе Что такое интегральная кривая уравнения

    Для интегрирования неоднородного линейного уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    может быть применен так называемый метод вариации постоянной. Он основан на том, что общее решение уравнения (10) равно сумме общего решения уравнения (11) и какого-либо частного решения уравнения (10)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя в левую часть (11) вместо у сумму Что такое интегральная кривая уравненияполучим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    С другой стороны, разность двух частных решений Что такое интегральная кривая уравненияуравнения (10) является решением однородного уравнения (11)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Поэтому сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    общее решение которого имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — произвольная постоянная. Решение неоднородного уравнения (10) ищем в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С(х) — новая неизвестная функция.

    Вычисляя производную Что такое интегральная кривая уравненияи подставляя значения Что такое интегральная кривая уравненияи у в исходное уравнение (10), получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — новая произвольная постоянная интегрирования. Следовательно,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Это есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10).

    В формуле (14) общего решения неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Здесь Что такое интегральная кривая уравненияпоэтому общее решение уравнения (10) можно записать в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где роль произвольной постоянной играет начальное значение Что такое интегральная кривая уравненияискомой функции у(х).

    Формула (15) является общим решением уравнения (10) в форме Коши. Отсюда следует, что если р(х) и q(х) определены и непрерывны в интервале Что такое интегральная кривая уравнениято и решение у(х) уравнения (10) с любыми начальными данными Что такое интегральная кривая уравнениябудет непрерывным и даже непрерывно дифференцируемым при всех конечных значениях х, так что интегральная кривая, проходящая через любую точку Что такое интегральная кривая уравнениябудет гладкой кривой в интервале Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    соответствующее данному, проинтегрируем, разделяя переменные:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Решение исходного уравнения будем искать в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С(х) — неизвестная функция. Находя Что такое интегральная кривая уравненияи подставляя Что такое интегральная кривая уравненияи у в (*), последовательно получаем:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — постоянная интегрирования. Из формулы (**) находим общее решение уравнения (*)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Частное решение Что такое интегральная кривая уравнениянеоднородного уравнения (*) легко усматривается. Вообще, если удается «угадать» частное решение линейного неоднородного уравнения, то разыскание его общего решения значительно упрощается.

    Пример:

    Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока при замыкании цепи постоянного электрического тока.

    Если R — сопротивление цепи, Е — внешняя ЭДС, то сила тока I = I(t) постепенно возрастает от значения, равного нулю, до конечного стационарного значения Что такое интегральная кривая уравнения

    Пусть L — коэффициент самоиндукции цепи, роль которой такова, что при всяком изменении силы тока в цепи появляется электродвижущая сила, равная Что такое интегральная кривая уравненияи направленная противоположно внешней ЭДС. На основании закона Ома, по которому в каждый момент t произведение силы тока на сопротивление равно фактически действующей ЭДС, получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнение (*) есть линейное неоднородное уравнение относительно I(t). Нетрудно видеть, что его частным решением является функция

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Общее решение соответствующего однородного уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    откуда общее решение неоднородного уравнения (*):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При t = 0 имеем I(0) = 0, поэтому Что такое интегральная кривая уравнениятак что окончательно

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Отсюда видно, что сила тока при включении асимптотически приближается при Что такое интегральная кривая уравненияк своему стационарному значению Что такое интегральная кривая уравнения

    Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    может быть проинтегрировано также следующим приемом. Будем искать решение у(х) уравнения (10) в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где Что такое интегральная кривая уравнения— неизвестные функции, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у(х) в форме (16) в уравнение (10), после элементарных преобразований получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Выберем в качестве v(x) любое частное решение Что такое интегральная кривая уравненияуравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Тогда в силу (17) для u(х) получим уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    которое без труда интегрируется в квадратурах. Зная Что такое интегральная кривая уравнения, найдем решение у(х) уравнения (10).

    Пример:

    Найти общее решение уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Будем искать решение у(х) данного линейного неоднородного уравнения в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя Что такое интегральная кривая уравненияв исходное уравнение, получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Определим функцию v(x) как решение уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Разделяя переменные, найдем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Выберем любое частное решение, например, отвечающее С = 1. Тогда из (17′) получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    откуда Что такое интегральная кривая уравнения

    Для общего решения исходного уравнения получаем выражение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносится на линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка.

    Уравнение Бернулли

    Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К числу таких уравнений относится уравнение Бернулли

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнение это предложено Я. Бернулли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бернулли в 1697 г.

    При а = 1 получаем однородное линейное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При а = 0 — неоднородное линейное уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Поэтому будем предполагать, что Что такое интегральная кривая уравнения(для а нецелого считаем, что у > 0).

    Подстановкой Что такое интегральная кривая уравненияуравнение Бернулли приводится к линейному уравнению относительно функции z(x).

    Однако уравнение Бернулли можно проинтегрировать сразу методом вариации постоянной. Это делается так. Сначала интегрируем уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Его общее решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Решение уравнения Бернулли будем искать в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С(х) — новая неизвестная функция. Подставляя это выражение для у(х) в уравнение Бернулли, получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — уравнение с разделяющимися переменными относительно С(х). Интегрируя это уравнение,находим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — постоянная интегрирования. Тогда из формулы (*) получаем общий интеграл уравнения Бернулли

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Замечание:

    При а > 0 уравнение Бернулли имеет очевидное решение Что такое интегральная кривая уравнения

    Для интегрирования уравнения Бернулли

    Что такое интегральная кривая уравнения

    можно также воспользоваться подстановкой

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где в качестве v(x) берется любое нетривиальное решение уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    а функция u(х) определяется как решение уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Найти решение уравнения Бернулли

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Ищем решение у(х) уравнения в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя Что такое интегральная кривая уравненияв исходное уравнение, получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Выберем в качестве v(x) какое-нибудь ненулевое решение уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и проинтегрируем его,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Поскольку нас интересует какое угодно частное решение, положим С = 1, т.е. возьмем Что такое интегральная кривая уравненияТогда для и(х) получим уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    интегрируя которое, найдем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Общее решение у(х) исходного уравнения определится формулой

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнения в полных дифференциалах

    Что такое интегральная кривая уравнения

    называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(х, у) двух независимых переменных х и у, т. е.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В этом случае u(х, у) = С будет общим интегралом дифференциального уравнения (18).

    Будем предполагать, что функции М(х, у) и N(x, у) имеют непрерывные частные производные соответственно по у и по x в некоторой односвязной области D на плоскости хОу.

    Теорема:

    Для того чтобы левая часть М(х, у) dx + N(x, у) dy уравнения (18) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) двух независимых переменных х и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Необходимость:

    Предположим, что левая часть уравнения (18) есть полный дифференциал некоторой функции u(х, у), т. е.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    тогда Что такое интегральная кривая уравненияДифференцируем первое соотношение по у, а второе по х:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Отсюда, в силу равенства смешанных производных, вытекает тождество

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Необходимость (19) доказана.

    Достаточность:

    Покажем, что условие (19) является и достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдем функцию u(х, у) такую, что du = M(x, у) dx + N(x, у) dy, или, что то же,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Найдем сначала функцию u(х, у), удовлетворяющую первому условию (20). Интегрируя это равенство по х (считаем у постоянной), получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где Что такое интегральная кривая уравнения— произвольная функция от у.

    Подберем Что такое интегральная кривая уравнениятак, чтобы частная производная по у от функции и, определяемой формулой (21), была равна N(x,y). Такой выбор функции Что такое интегральная кривая уравненияпри условии (19) всегда возможен. В самом деле, из (21) имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Приравняв правую часть полученного равенства к N(x, у), найдем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Левая часть последнего равенства не зависит от x. Убедимся в том, что при условии (20) в его правую часть также не входит х. Для этого покажем, что частная производная по x от правой части (22) тождественно равна нулю. Имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Теперь, интегрируя равенство (22) по у, получим, что

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — постоянная интегрирования. Подставляя найденное значение для Что такое интегральная кривая уравненияв формулу (21), получим искомую функцию

    Что такое интегральная кривая уравнения

    полный дифференциал которой, как нетрудно проверить, равен

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Приведенный прием построения функции u(х, у) составляет метод интегрирования уравнения (18), левая часть которого есть полный дифференциал.

    Пример:

    Проверить, что уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    является уравнением в полных дифференциалах, и проинтегрировать его.

    В данном случае

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Следовательно, уравнение (*) есть уравнение в полных дифференциалах. Теперь находим и (см. (21)):

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Находя Что такое интегральная кривая уравненияот функции и из (**) и приравнивая Что такое интегральная кривая уравненияфункции Что такое интегральная кривая уравненияполучаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    откуда Что такое интегральная кривая уравненияи, следовательно,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставив найденное выражение для Что такое интегральная кривая уравненияi в (**), найдем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — общий интеграл исходного уравнения.

    Иногда можно найти такую функцию Что такое интегральная кривая уравнениячто

    Что такое интегральная кривая уравнения

    будет полным дифференциалом, хотя М dx + N dy может им и не быть. Такую функцию Что такое интегральная кривая уравненияназывают интегрирующим множителем. Можно показать, что для уравнения первого порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    при определенных условиях на функции М(х, y) и N(x, у) интегрирующий множитель всегда существует, но отыскание его из условия

    Что такое интегральная кривая уравнения

    в общем случае сводится к интегрированию уравнения в частных производных, что составляет, как правило, задачу еще более трудную.

    Задача:

    Найти интегрирующий множитель для линейного дифференциального уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Указание. Искать множитель в виде Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнение Риккати

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где q(x), р(х), г(х) — известные функции, называется уравнением Риккати. Если р, q, г — постоянные, то оно интегрируется разделением переменных:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В случае, когда Что такое интегральная кривая уравненияуравнение (1) оказывается линейным, в случае Что такое интегральная кривая уравнения— уравнением Бернулли. В общем случае уравнение (1) не интегрируется в квадратурах.

    Укажем некоторые свойства уравнения Риккати.

    Теорема:

    Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его общее решение может быть получено с помощью квадратур.

    Пусть известно частное решение Что такое интегральная кривая уравненияуравнения (1), тогда

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Полагая Что такое интегральная кривая уравненияновая искомая функция, в силу тождества (2) получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — уравнение Бернулли, которое интегрируется в квадратурах.

    Пример:

    Проинтегрировать уравнение Риккати

    Что такое интегральная кривая уравнения

    если известно его частное решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    для функции z(x) получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    решением исходного уравнения будет функция

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Частным случаем уравнения (1) является специальное уравнение Риккати:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где a, b, а — постоянные. При а = 0 имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и уравнение интегрируется разделением переменных.

    При а = -2 получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Полагая Что такое интегральная кривая уравнения— новая неизвестная функция, находим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Это уравнение однородное относительно х, z. Оно интегрируется в квадратурах.

    Кроме а = 0 и а = -2 существует еще бесконечное множество других значений а, при которых уравнение Риккати (3) интегрируется в квадратурах. Они задаются формулой

    Что такое интегральная кривая уравнения

    При всех других значениях а решение уравнения Риккати (3) не выражается в квадратурах.

    Замечание. Если же положить в уравнении (3)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где u = u(x) — новая неизвестная функция, то придем к уравнению второго порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    решение которого может быть выражено в функциях Бесселя.

    Видео:Простейшие интегральные уравненияСкачать

    Простейшие интегральные уравнения

    Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

    Рассмотрим теперь общий случай уравнения первого порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    не разрешенного относительно производной.

    Уравнения, относящиеся к этому классу, весьма разнообразны, и поэтому в общем случае становится невозможным делать выводы о существовании и единственности решения, даже накладывая достаточно сильные ограничения на участвующие в уравнении функции (ограниченность, гладкость, монотонность и т. п.). Например, уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    вообще не имеет действительных решений. Для уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    решения суть прямые Что такое интегральная кривая уравнениятак что через каждую точку плоскости хОу проходят две взаимно перпендикулярные интегральные линии. Поле интегральных кривых уравнения Что такое интегральная кривая уравненияполучается наложением полей уравнений Что такое интегральная кривая уравненияЕсли уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    удается разрешить относительно производной у’, то получаются уравнения вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    которые иногда могут быть проинтегрированы изложенными выше методами.

    Введем понятие общего решения (интеграла) для уравнения (1). Допустим, что это уравнение в окрестности точки Что такое интегральная кривая уравненияможет быть разрешено относительно производной, т. е. распадается на уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и пусть каждое из этих уравнений имеет общее решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    или общий интеграл

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Совокупность общих решений (2) (или общих интегралов (3)) будем называть общим решением (общим интегралом) уравнения (1). Так, уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    распадается на два:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Их общие решения у = х + С, у = -х + С в совокупности составляют общее решение исходного уравнения Что такое интегральная кривая уравнения. Общий интеграл этого уравнения часто записывают в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Однако не всегда уравнение (1) легко разрешимо относительно у’ и еще реже полученные после этого уравнения Что такое интегральная кривая уравненияинтегрируются в квадратурах. Рассмотрим некоторые методы интегрирования уравнения (1).

    Пусть уравнение (1) имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    причем существует по крайней мере один действительный корень Что такое интегральная кривая уравненияэтого уравнения. Так как это уравнение не содержит Что такое интегральная кривая уравнения— постоянная. Интегрируя уравнение Что такое интегральная кривая уравненияполучаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Но Что такое интегральная кривая уравненияявляется корнем уравнения; следовательно,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — интеграл рассматриваемого уравнения.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    2. Пусть уравнение (1) имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то бывает целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (5) двумя:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Следовательно, искомые интегральные кривые определяются уравнениями в параметрической форме

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Полагаем, Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и параметрические уравнения искомых интегральных кривых:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если уравнение (5) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр берут у’. Действительно, если Что такое интегральная кривая уравнениято, полагая у’ = р, получаем Что такое интегральная кривая уравнениятак что

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Параметрические уравнения интефальных кривых:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Исключая параметр р, получаем общий интеграл

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Разрешим уравнение относительно у:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Положим у’ = р, тогда

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Таким образом, находим параметрические уравнения интегральных кривых

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Параметр р здесь легко исключить. В самом деле, из первого уравнения системы находим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Первую часть второго уравнения преобразуем следующим образом:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — общее решение данного дифференциального уравнения.

    3. Пусть уравнение (1) имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (6) двумя:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Следовательно, интегральные кривые уравнения (6) определяются в параметрической форме уравнениями

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если уравнение (6) легко разрешимо относительно х:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    то в качестве параметра удобно выбрать Что такое интегральная кривая уравненияоткуда

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Пример:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Положим у’ = р. Тогда

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В параметрической форме семейство интегральных кривых данного уравнения определяют уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнение Лагранжа

    Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    линейное относительно х и у. Здесь Что такое интегральная кривая уравнения— известные функции.

    Введя параметр Что такое интегральная кривая уравненияполучаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — соотношение, связывающее переменные х, у и параметр р. Чтобы получить второе соотношение, нужное для определения х и у как функций параметра р, продифференцируем (8) по х:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Уравнение (10) линейно относительно х и Что такое интегральная кривая уравненияи, следовательно, легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив общее решение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    уравнения (10) и присоединив к нему уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    получим параметрические уравнения искомых интегральных кривых.

    При переходе от уравнения (9) к (10) пришлось делить на Что такое интегральная кривая уравнения. При этом теряются решения, для которых р постоянно, а значит,

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (9) удовлетворяется лишь в том случае, если р является корнем уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Итак, если уравнение Что такое интегральная кривая уравненияимеет действительные корни Что такое интегральная кривая уравнениято к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить решения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — это прямые линии.

    Уравнение Клеро

    Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Полагая у’ = р, получаем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Дифференцируя по х, имеем

    Что такое интегральная кривая уравнения

    откуда или Что такое интегральная кривая уравненияи, значит, р = С, или

    Что такое интегральная кривая уравнения

    В первом случае, исключая р, найдем семейство прямых

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — общее решение уравнения Клеро. Оно находится без квадратур и представляет собой однопараметрическое семейство прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Можно показать, что, как правило, интегральная кривая (12) является огибающей найденного семейства прямых.

    Пример:

    Решить уравнение Клеро

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Общее решение данного уравнения видно сразу:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Другое (особое) решение определяется уравнениями

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения

    Исключая параметр р, находим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    — огибающую прямых Что такое интегральная кривая уравнения

    Для уравнения вида

    Что такое интегральная кривая уравнения

    через некоторую точку Что такое интегральная кривая уравнениявообще говоря, проходит не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение Что такое интегральная кривая уравненияотносительно у’, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и если каждое из уравнений Что такое интегральная кривая уравненияв окрестности точки Что такое интегральная кривая уравненияудовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Поэтому свойство единственности решения уравнения Что такое интегральная кривая уравнения, удовлетворяющего условию Что такое интегральная кривая уравненияобычно понимается в том смысле, что через данную точку Что такое интегральная кривая уравненияпо данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения Что такое интегральная кривая уравнения.

    Например, для решений уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    свойство единственности в этом смысле всюду выполнено, поскольку через каждую точку Что такое интегральная кривая уравненияплоскости хОу проходят две интегральные кривые, но по различным направлениям. Для уравнения Клеро

    Что такое интегральная кривая уравнения

    (см. пример 4) через точку (0,0) проходят также две интегральные линии: прямая

    Что такое интегральная кривая уравнения

    входящая в общее решение этого уравнения, и парабола

    Что такое интегральная кривая уравнения

    причем эти линии имеют в точке (0,0) одно и то же направление:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Таким образом, в точке (0,0) свойство единственности нарушается.

    Теорема:

    Пусть имеем уравнение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и пусть в некоторой окрестности точки Что такое интегральная кривая уравнения— один из действительных корней уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    функция Что такое интегральная кривая уравненияудовлетворяет условиям:

    1) Что такое интегральная кривая уравнениянепрерывна по всем аргументам;

    2) производная Что такое интегральная кривая уравнениясуществует и отлична от нуля;

    3) существует ограниченная производная Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Тогда найдется отрезок Что такое интегральная кривая уравненияна котором существует единственное решение у = у(х) уравнения Что такое интегральная кривая уравненияудовлетворяющее условию Что такое интегральная кривая уравнениядля которого Что такое интегральная кривая уравнения

    Геометрические вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Ортогональные траектории

    Общее решение Что такое интегральная кривая уравнениядифференциального уравнения 1-го порядка определяет семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра С.

    Поставим теперь в некотором смысле обратную задачу: дано однопараметрическое семейство кривых

    Что такое интегральная кривая уравнения

    и требуется составить дифференциальное уравнение, для которого Что такое интегральная кривая уравнениябудет общим решением.

    Итак, пусть дано соотношение

    Что такое интегральная кривая уравнения

    где С — параметр. Дифференцируя (1) по х, получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Если правая часть (2) уже не содержит С, то формула (2) будет представлять дифференциальное уравнение семейства кривых (1). Например, если Что такое интегральная кривая уравнениябудет дифференциальным уравнением семейства прямых у = х + С.

    Пусть теперь правая часть (2) содержит С. Разрешая соотношение (1) относительно С, определим С как функцию х и у:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Подставляя это выражение для С в формулу (2), получим дифференциальное уравнение 1-го порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Нетрудно убедиться в том, что Что такое интегральная кривая уравненияпредставляет собой общее решение уравнения (4).

    Если соотношение между величинами х, у и С задано в виде

    Что такое интегральная кривая уравнения

    то, дифференцируя его по х, получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Исключая С из соотношений (5) и (6), приходим к уравнению

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Можно показать, что (5) является общим интегралом уравнения (7).

    Ортогональные траектории

    В ряде прикладных вопросов встречается следующая задача. Дано семейство кривых

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Требуется найти такое семейство

    Что такое интегральная кривая уравнения

    чтобы каждая кривая семейства Ф(х, у, С) = 0, проходящая через точку (х, у), пересекалась в этой точке кривой семейства Что такое интегральная кривая уравненияпод прямым углом, т. е. чтобы касательные к кривым семейства Что такое интегральная кривая уравненияв точке (х, у) были ортогональны (рис.8). Семейство Что такое интегральная кривая уравненияназывается семейством ортогональных траекторий к Что такое интегральная кривая уравнения(и наоборот). Если, например, кривые семейства Ф = 0 — силовые линии некоторого силового поля, то ортогональные траектории — эквипотенциальные линии.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Аналитически это означает следующее. Если

    Что такое интегральная кривая уравнения

    есть дифференциальное уравнение семейства

    Что такое интегральная кривая уравнения

    то дифференциальное уравнение траекторий, ортогональных к семейству Ф = 0, имеет вид

    Что такое интегральная кривая уравнения

    (угловые коэффициенты касательных к кривым семейств Что такое интегральная кривая уравненияв каждой точке должны быть связаны условием ортогональности Что такое интегральная кривая уравнения

    Таким образом, чтобы найти ортогональные траектории к семейству Что такое интегральная кривая уравнения0, надо составить дифференциальное уравнение Что такое интегральная кривая уравненияэтого семейства и заменить в нем Что такое интегральная кривая уравненияИнтегрируя полученное таким образом уравнение, найдем семейство ортогональных траекторий.

    Пример:

    Найти ортогональные траектории семейства

    Что такое интегральная кривая уравнения

    окружностей с центром в начале координат.

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Составляем дифференциальное уравнение семейства (8). Дифференцируя (8) по х, получим

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Это дифференциальное уравнение данного семейства. Заменив в нем Что такое интегральная кривая уравнениянайдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Интегрируя последнее уравнение, получаем, что искомыми ортогональными траекториями будут полупрямые (рис. 9)

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

    Дифференциальные уравнения. 11 класс.

    Дополнение к дифференциальным уравнениям первого порядка

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения

    Решение заданий и задач по предметам:

    Дополнительные лекции по высшей математике:

    Что такое интегральная кривая уравнения

    Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения Что такое интегральная кривая уравнения

    Образовательный сайт для студентов и школьников

    Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

    © Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

    🎦 Видео

    13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

    13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

    Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

    Общее и частное решение дифференциального уравнения

    Семинар 1 изоклиныСкачать

    Семинар 1 изоклины

    Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

    Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

    Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

    Как написать уравнения касательной и нормали | Математика

    Качественные свойства интегральных кривых уравнения НьютонаСкачать

    Качественные свойства интегральных кривых уравнения Ньютона

    Огибающая семейства кривых | Дифференциальные уравненияСкачать

    Огибающая семейства кривых | Дифференциальные уравнения

    Мат. анализ. Практика 5.1: изоклины. Филиппов 8, 17, 19, 24, 30Скачать

    Мат. анализ. Практика 5.1: изоклины. Филиппов 8, 17, 19, 24, 30

    Как распознать талантливого математикаСкачать

    Как распознать талантливого математика
    Поделиться или сохранить к себе: