Что такое график линейного уравнения (2 видео)

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание

Понятие функции
Понятие линейной функции
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
Решение задач на линейную функцию
Линейное уравнение с двумя переменными и его график
График линейного уравнения с двумя переменными
Линейные уравнения
Решение линейных уравнений.
Как решать линейные уравнения?
Пример линейного уравнения и его решение.
График линейного уравнения.
📽️ Видео

Видео:ГРАФИК ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 7 КЛАСС видеоурокСкачать

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0;
и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х	0	2	4
y	-2	-1	0

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Функция	Коэффициент «k»	Коэффициент «b»
y = 2x + 8	k = 2	b = 8
y = −x + 3	k = −1	b = 3
y = 1/8x − 1	k = 1/8	b = −1
y = 0,2x	k = 0,2	b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Видео:График линейного уравнения с двумя переменными. 6 класс.Скачать

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x=-b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /_k) и положительные значения на промежутке (- b /_k, +∞)
При k b /_k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /_k).
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k

Видео:7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 1 /₂x + 3, y = x + 3.

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /₂x + 3, y = -x + 3.

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /_k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /_k; 0)

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

Графиком $y = kx+ tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $frac$;0) и точка на оси Y (0; $frac$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$0x+2y = 4 Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, $c neq 0$

x, $y in Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейные уравнения

Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.

Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.

К примеру, линейным уравнением будет:

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Решение линейных уравнений.

Как решать линейные уравнения?

Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.

Пример линейного уравнения и его решение.

Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.

Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.

Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.

Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:

4х + 2 = 10, где х = 2.

График линейного уравнения.

При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.

Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.

Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.