Что может произойти с одз при переходе от уравнения вида к совокупности уравнения

Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Область допустимых значений (ОДЗ): теория, примеры, решения

Любое выражение с переменной имеет свою область допустимых значений, где оно существует. ОДЗ необходимо всегда учитывать при решении. При его отсутствии можно получить неверный результат.

В данной статье будет показано, как правильно находить ОДЗ, использовать на примерах. Также будет рассмотрена важность указания ОДЗ при решении.

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Допустимые и недопустимые значения переменных

Данное определение связано с допустимыми значениями переменной. При введении определения посмотрим, к какому результату приведет.

Начиная с 7 класса, мы начинаем работать с числами и числовыми выражениями. Начальные определения с переменными переходят к значению выражений с выбранными переменными.

Когда имеются выражения с выбранными переменными, то некоторые из них могут не удовлетворять. Например, выражение вида 1 : а , если а = 0 , тогда оно не имеет смысла, так как делить на ноль нельзя. То есть выражение должно иметь такие значения, которые подойдут в любом случае и дадут ответ. Иначе говоря, имеют смысл с имеющимися переменными.

Если имеется выражение с переменными, то оно имеет смысл только тогда, когда при их подстановке значение может быть вычислено.

Если имеется выражение с переменными, то оно не имеет смысл, когда при их подстановке значение не может быть вычислено.

То есть отсюда следует полное определение

Существующими допустимыми переменными называют такие значения, при которых выражение имеет смысл. А если смысла не имеет, значит они считаются недопустимыми.

Для уточнения вышесказанного: если переменных более одной, тогда может быть и пара подходящих значений.

Для примера рассмотрим выражение вида 1 x — y + z , где имеются три переменные. Иначе можно записать, как x = 0 , y = 1 , z = 2 , другая же запись имеет вид ( 0 , 1 , 2 ) . Данные значения называют допустимыми, значит, можно найти значение выражения. Получим, что 1 0 — 1 + 2 = 1 1 = 1 . Отсюда видим, что ( 1 , 1 , 2 ) недопустимы. Подстановка дает в результате деление на ноль, то есть 1 1 — 2 + 1 = 1 0 .

Видео:Одз не нужно. Равносильный переход в иррациональных уравнениях.Скачать

Что такое ОДЗ?

Область допустимых значений – важный элемент при вычислении алгебраических выражений. Поэтому стоит обратить на это внимание при расчетах.

Область ОДЗ – это множество значений, допустимых для данного выражения.

Рассмотрим на примере выражения.

Если имеем выражение вида 5 z — 3 , тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 3 ) ∪ ( 3 , + ∞ ) . Эта область допустимых значений, удовлетворяющая переменной z для заданного выражения.

Если имеется выражения вида z x — y , тогда видно, что x ≠ y , z принимает любое значение. Это и называют ОДЗ выражения. Его необходимо учитывать, чтобы не получить при подстановке деление на ноль.

Область допустимых значений и область определения имеет один и тот же смысл. Только второй из них используется для выражений, а первый – для уравнений или неравенств. При помощи ОДЗ выражение или неравенство имеет смысл. Область определения функции совпадает с областью допустимых значений переменной х к выражению f ( x ) .

Видео:Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать

Как найти ОДЗ? Примеры, решения

Найти ОДЗ означает найти все допустимые значения, подходящие для заданной функции или неравенства. При невыполнении этих условий можно получить неверный результат. Для нахождения ОДЗ зачастую необходимо пройти через преобразования в заданном выражении.

Существуют выражения, где их вычисление невозможно:

• если имеется деление на ноль;
• извлечение корня из отрицательного числа;
• наличие отрицательного целого показателя – только для положительных чисел;
• вычисление логарифма отрицательного числа;
• область определения тангенса π 2 + π · k , k ∈ Z и котангенса π · k , k ∈ Z ;
• нахождение значения арксинуса и арккосинуса числа при значении, не принадлежащем [ — 1 ; 1 ] .

Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ.

Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .

Решение

В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число.

Ответ: x и y – любые значения.

Найти ОДЗ выражения 1 3 — x + 1 0 .

Решение

Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ.

Ответ: ∅ .

Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 — 5 · x .

Решение

Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений.

Ответ: множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 .

Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 — 1 + log x + 8 ( x 2 + 3 ) .

Решение

По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 — 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид:

x + 1 — 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1

Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

Ответ: [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Видео:Равносильность уравнений и неравенств. Видеоурок 7. Алгебра 10 классСкачать

Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?

При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного.

• могут не влиять на ОДЗ;
• могут привести в расширению или дополнению ОДЗ;
• могут сузить ОДЗ.

Рассмотрим на примере.

Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется.

Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой.

Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения.

Если имеется x — 1 · x — 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства ( x − 1 ) · ( x − 3 ) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После преобразования x — 1 · x — 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x — 1 ≥ 0 , x — 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞ ) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .

Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ.

Рассмотрим пример выражения x — 1 · x — 3 , когда х = — 1 . При подстановке получим, что — 1 — 1 · — 1 — 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x — 1 · x — 3 , тогда при вычислении получим, что 2 — 1 · 2 — 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят.

Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ.

Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится ( − ∞ 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью.

При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе.

Если имеется выражение вида ln x + ln ( x + 3 ) , его заменяют на ln ( x · ( x + 3 ) ) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с ( 0 , + ∞ ) до ( − ∞ , − 3 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Поэтому для определения ОДЗ ln ( x · ( x + 3 ) ) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть ( 0 , + ∞ ) множества.

При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Что может произойти с одз при переходе от уравнения вида к совокупности уравнения

OBRAZOVALKA.COM — образовательный портал
Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .

На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.

Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.

Видео:Рациональные уравнения. ОГЭ номер 21 | ЕГЭ номер 13 | Математика | TutorOnlineСкачать

Примеры неравносильных преобразований

Примеры неравносильных преобразований

Рассмотрим несколько преобразований, приводящих к следствию (чтобы такого рода преобразования стали равносильными, в большинстве случаев надо просто учесть ОДЗ в решаемой задаче).

1.Возведение уравнения вида f(x)=g(x) в чётную степень приводит, вообще говоря, к следствию:

(в последнем уравнении f (х) и g (x) могут иметь разные знаки).

2.Умножение уравнения вида на функцию, стоящую в знаменателе, приводит, вообще говоря, к следствию (снимается ограничение

3.Взаимное уничтожение одного и того же слагаемого-функции в обеих частях уравнения приводит, вообще говоря, к следствию (из-за возможного расширения ОДЗ):

4.Переход от уравнения вида к совокупности уравнений приводит, вообще говоря, к следствию:

5.Возведение иррациональных уравнений вида в чётную степень 2n с целью избавления от радикалов приводит, вообще говоря, к следствию (снимаются ограничения

6.В следующей цепочке преобразований происходит постепенное расширение ОДЗ, что, вообще говоря, может привести к появлению посторонних корней.

7.Применение операции взятия синуса к обеим частям уравнения приводит к следствию:

Например,

Замечание 1. Понятия равносильности, следствия распространяются на неравенства, системы и совокупности уравнений и неравенств.

Замечание 2. Некорректное использование в процессе решения уравнения соотношения, эквивалентного данному уравнению, вопреки расхожему мнению, может повлечь появление посторонних корней.

Пример №143.

Найти все решения иррационального уравнения вида

где f(х), g(x),h(х) — рациональные функции, определённые при всех действительных x.

Решение:

Обозначим Тогда уравнение (1) примет вид

Уравнение (3) преобразуем с учётом уравнения (1), записанного в виде равенства (2), и получим равенство

Воспользовавшись формулами сокращенного умножения, разложим левую часть последнего равенства в произведение

что эквивалентно совокупности двух уравнений

причём второе из уравнений приводится к эквивалентному виду

что, в свою очередь, равносильно системе А(х)=В(х) = -С(х). (7)

Если система уравнений (7) имеет корни, не совпадающие с корнями данного уравнения (2), то это — посторонние корни; если же эта система не имеет корней, то посторонних корней нет.

Проанализируем, за счёт чего здесь возникли посторонние корни. В самом деле, при переходе от уравнения (2) к равенству (5) предполагается, что А + В — С = 0 . Поэтому, строго говоря, уравнение (5), а также совокупность (6) необходимо дополнить этим условием. Например, совокупность (6) на самом деле должна иметь вид

Другими словами, при правильном решении дополнительных корней появиться не может. Рассмотрим конкретный пример.

Пример №144.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение — иррациональное, определённое при всех действительных значениях x . Введём обозначения

и перепишем исходное уравнение в виде A(х) + В(х) = С(х), который после возведения в куб эквивалентен уравнению

Заменяя А + В на С (в этот момент возможно возникновение посторонних корней), получаем

Возвращаясь в последнем уравнении к переменной x, имеем

Осталось решить это уравнение. Приведём подобные члены, уединив кубический корень

и после этого возведём в куб

У этого кубического уравнения два корня: —1 и 0. Проверка (которую сделать необходимо!) показывает, что x = 0 — посторонний корень, поскольку не удовлетворяет исходному уравнению. Заметим, что он удовлетворяет системе (7), которая в данном примере имеет вид

Ответ:

Пример №145.

Равносильны ли уравнения

Решение:

Заметим, что пара чисел удовлетворяет первому из уравнений, но не может быть решением второго уравнения, поскольку не принадлежит его ОДЗ. С другой стороны, пара чисел удовлетворяет второму уравнению, так как в этом случае tgx = tgy = 1, но в то же время эта пара, очевидно, не является решением первого уравнения. Данное наблюдение позволяет утверждать, что данные два уравнения не сравнимы между собой (в том числе не являются равносильными).

Пример №146.

При каких значениях параметра а неравенство

является следствием неравенства

Решение:

Решением второго из неравенств является интервал (1,3). Так как при любом значении параметра число а лежит на числовой прямой левее числа а + 2, то решением первого неравенства является объединение двух промежутков Чтобы выполнялось условие задачи, множество должно содержать внутри себя интервал (1, 3). Возможны два случая.

1) Интервал (1, 3 ) целиком принадлежит интервалу

Чтобы это выполнялось, необходимо потребовать .

2) Интервал (1, 3) целиком принадлежит интервалу

В этом случае должно выполняться условие . Объединяя полученные значения параметра, приходим к ответу.

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Как с помощью ОДЗ уравнения легко решить задание из ВсОШ для 11 классаСкачать

Презентация по математике на тему «Равносильность уравнений» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Столичный центр образовательных технологий г. Москва

Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца

от 3 170 руб. 1900 руб.

Количество часов 300 ч. / 600 ч.

Успеть записаться со скидкой

Форма обучения дистанционная

Видеолекции для
профессионалов

• Свидетельства для портфолио
• Вечный доступ за 120 рублей
• 311 видеолекции для каждого

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Равносильность уравнений ОГАПОУ «Белгородский техникум промышленности и сферы услуг» Преподаватель математики Веревкина А.А.

Система основных понятий Неизвестное – буква для обозначения какой-либо неизвестной величины Уравнение – два выражения с неизвестными, соединенные знаком равенства Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения – множество значений, которые могут принимать неизвестные, входящие в уравнения

Система основных понятий Решение уравнения – набор значений неизвестных (из ОДЗ), при подстановке которых уравнение превращается в верное числовое равенство Решить уравнение (найти корни уравнения) – найти, описать все решения уравнения Может оказаться, что уравнение решений не имеет, т.е. множество решений пусто

Язык теории множеств Уравнение будем обозначать буквой Е Множество решений уравнения R(E) Область допустимых значений (ОДЗ) D(E) R(E)  D(E) – корни уравнения должны входить в его ОДЗ

Язык теории множеств Если уравнение Е не имеет решений, то R(E)= — пустое множество Если уравнение Е имеет единственное решение, то множество R(E) состоит из одного элемента Уравнение Е2 является следствием уравнения Е1, если R(E2)  R(E1), т.е. каждое решение уравнения Е1 является решением уравнения Е2

Язык теории множеств Уравнение Е2 равносильно уравнению Е1, если R(E2)=R(E1), т.е. множества решений Е1 и Е2 совпадают Уравнения Е1 и Е2 равносильны, если каждое решение уравнения Е1 является решением уравнения Е2 и каждое решение уравнения Е2 является решением уравнения Е1

Язык теории множеств Обычный путь решения уравнения состоит в построении цепочки следствий, последнее уравнение которой мы решать умеем. После этого либо выполняют проверку, либо выясняют, будут ли уравнения цепочки равносильны друг другу.

Язык теории множеств Если при переходе от уравнения Е1 к уравнению Е2 оказалось, что множество R(E2) больше множества R(E1), т.е. R(E1)  R(E2), то говорят, что появились «посторонние корни», которые надо отсеять. Например:

Язык теории множеств Если при переходе от уравнения Е1 к уравнению Е2 оказалось, что не все элементы множества R(E1) вошли в R(E2), то говорят, что произошла «потеря корней». Например:

Язык теории множеств Следствия можно записывать с помощью логического знака следствия (импликации): Е1  Е2 означает, что R(E1)  R(E2) Равносильность уравнений записывается с помощью знака эквивалентности (равносильности): Е1  Е2 означает, что R(E1) = R(E2)

Язык теории множеств Система уравнений – это набор нескольких уравнений вместе с задачей нахождения решений, которые удовлетворяют каждому из уравнений Обозначение: Решение системы Е — множество всех общих решений уравнений Е1 и Е2 (пересечение), т.е. R(E) = R(E1)  R(E2)

Язык теории множеств Совокупность уравнений – набор нескольких уравнений вместе с задачей нахождения решений, которые удовлетворяют хотя бы одному из уравнений Обозначение: Решение совокупности Е — это объединение решений уравнений Е1 и Е2, т.е. R(E) = R(E1)  R(E2)

Язык теории множеств Совокупность уравнений часто появляется при необходимости разбить ОДЗ уравнения на более мелкие части: если D(E) = D1  D2 то уравнение Е равносильно совокупности уравнений, запись которых совпадает с записью уравнения Е, но которые имеют областями допустимых значений множества D1 и D2

Решение упражнений Определите, при каких значениях х имеет смысл выражение

Подведем итоги Что означает решить уравнение? Можно ли утверждать, что уравнение решено, если определено, что у него нет корней? Что означает, что одно уравнение является следствием другого? Какие уравнения называют равносильными? Какая разница между системой уравнений и совокупностью уравнений? Что может произойти, если переписать уравнение, изменив его область допустимых значений?

Домашнее задание: Стр. 228-231 «Учебник. Математика» М.И. Башмаков, — М., «Академия», 2014 Стр. 283 №12.1 (8,9) «Задачник. Математика» М.И. Башмаков, — М., «Академия», 2014

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 714 человек из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 852 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

• Сейчас обучается 46 человек из 20 регионов

• Для всех учеников 1-11 классов
  и дошкольников
• Интересные задания
  по 16 предметам

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Видео:ЕГЭ ПРОФИЛЬ. Подробно про ОДЗ и равносильный переход при решении уравнений с логарифмамиСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 854 632 материала в базе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

• 03.12.2016
• 425
• 1

• 03.12.2016
• 353
• 0

• 03.12.2016
• 331
• 0

• 03.12.2016
• 1013
• 0

• 03.12.2016
• 525
• 2

• 03.12.2016
• 397
• 0

• 03.12.2016
• 2666
• 28

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 03.12.2016 1516
• PPTX 117.6 кбайт
• 19 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Веревкина Ася Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 77252
• Всего материалов: 42

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Как решать Иррациональные Уравнения через ОДЗСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тысячи учителей в Австралии вышли на забастовку

Время чтения: 2 минуты

В Госдуму внесли законопроект о возможности повторной сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

25% школ выбрали компьютерный формат проведения ВПР

Время чтения: 1 минута

Онлайн-тренинг «Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Время чтения: 3 минуты

ФИПИ опубликовал открытые варианты заданий ЕГЭ 2022 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📹 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

11 класс, 26 урок, Равносильность уравненийСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

8 класс, 38 урок, Иррациональные уравненияСкачать

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: ОДЗ ИЛИ НЕ ОДЗ?Скачать

Алгебра 8. Урок 1 - Рациональное выражение и его ОДЗСкачать

Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№19 - Равносильные уравнения и неравенства.)Скачать