Численные методы решения уравнений газовой динамики

ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной ортонормированной системе координат:

m = 1 — одномерный случай, m = 2 — двумерный случай, m = 3 — трехмерный случай, ρ — плотность газа, р — давление газа, u = — скорость газа, Т — температура газа, Е = ε + 1/2u 2 — полная энергия массы газа, ε — удельная внутренняя энергия, λ -коэффициент вязкости сжатия, μ — коэффициент вязкости сдвига, א — коэффициент теплопроводности, δ βk — символ Кронекера.

Следует различать два основных класса задач газовой динамики:

задача Коши для ограниченной или бесконечной области (нестационарные задачи газовой динамики);

стационарные краевые задачи газовой динамики для конечной или бесконечной области.

В свою очередь эти задачи могут подразделяться на ряд классов в зависимости от физия, свойств теяения газа. По этому принципу можно различать:

течения идеального газа (λ = μ = א = 0);

течения вязкого несжимаемого газа (λ ≠ 0, μ ≠ 0, א = 0, ω = 0, ω — коэффициент сжимаемости, ω = 1/с 2 , с — скорость звука), описываемые уравнениями Навье-Стокса;

течения вязкого сжимаемого теплопроводящего газа (λ ≠ 0, μ ≠ 0, א ≠ 0, ω ≠ 0).

Численные методы решения задач газовой динамики развивались исторически почти независимо по указанным классам задач. Ныне создано большое количество разностных схем различного порядка аппроксимации. Наметились общие принципы построения численных методов, приемлемые для всех задан газовой динамики в целом, хотя и не доказанные математически строго. Эти принципы заключаются в следующем.

1) Представления обобщенного решения уравнений идеального газа как предела соответствующих решений с физическими или искусственными диссипативными членами при стремлении последних к нулю. Искусственные диссипативные члены могут вводиться непосредственно в уравнения газовой динамики или же неявно определяться самой структурой разностной схемы (аппроксимационная вязкость).

2) Расщепления (декомпозиции) интегральных законов сохранения и самих дифференциальных уравнений геометрически, аналитически и по физич. процессам (метод слабой аппроксимации, см. Дробных шагов метод).

3) Представления стационарного решения как предела решений нестационарных задач (метод установления). При этом в качестве вспомогательных нестационарных задач используются уравнения как гиперболического, так и параболического типов.

4) Аппроксимация уравнений не типа Коши-Ковалевской уравнениями типа Коши-Ковалевской при стремлении соответствующего малого параметра к нулю (уравнения Навье-Стокса, уравнения фильтрации).

5) Построение подвижных разностных сеток как регулярного, так и нерегулярного типов.

6) Разделение в разностной схеме задач аппроксимации во внутренних регулярных и граничных точках.

7) Представление сложной системы линейных или нелинейных алгебраич. уравнений в виде рекуррентных соотношений (метод приближенной или точной факторизации).

8) Метод продолжения краевой задачи за границу и включения ее в краевую задачу с простой областью (метод фиктивных областей).

Совокупность этих представлений и методов позволяет в конечном итоге свести алгоритм решения сложных задач газовой динамики к алгоритмам решений простых задач стандартной структуры (модульный анализ алгоритмов). Такой подход пока строго не обоснован, однако практически он себя оправдал и находит все большее распространение.

Численные методы задач газовой динамики можно разделить на два больших класса: методы с явным выделением особенностей (ударные волны, контактные границы, центрированные волны разрежения) и так наз. методы сквозного счета, в к-рых особенности явно не выделяются.

Методы 1-го класса основаны на представлении обобщенного решения уравнений газовой динамики как совокупности классич. решений, определенных в некоторых областях, покрывающих фазовое пространство и примыкающих друг к другу через общие границы (линии разрывов) с соблюдением условий примыкания (условия динамич. совместности). В каждой области можно применять разностную схему, пригодную для классич. решений, а условия примыкания должны разрешаться с помощью системы, вообще говоря, нелинейных алгебраич. уравнений. Одним из наиболее распространенных методов дискретного представления классич. решений является метод характеристик. Этот метод используется только для решения задач газовой динамики, описываемых гиперболич. уравнениями, и основан он на свойстве гиперболич. системы уравнений иметь, напр., в случае двух неизвестных функций и двух независимых переменных семейство характеристик, к-рые образуют характеристич. сетку, строящуюся в процессе счета. Метод характеристик появился в газовой динамике сравнительно давно и с успехом применялся для расчета одномерных нестационарных течений с небольшим количеством особенностей, а также расчета двумерных стационарных течений в области гиперболичности уравнений. В расчетах используются также и модификации метода характеристик, в к-рых расчет ведется по слоям, ограниченным фиксированными линиями. В случае двух независимых переменных (одномерные нестационарные задачи или двумерные стационарные задачи, сверхзвуковое обтекание) метод характеристик дает возможность избежать интерполяций и тем самым эффектов сглаживания и аппроксимационной вязкости. Он позволяет точно определять место возникновения ударных волн внутри поля течения как результат пересечения характеристик одного семейства. При большом количестве неизвестных и независимых переменных начинают появляться недостатки этого метода: возникает аппроксимационная вязкость, при наличии большого числа особенностей алгоритм становится логически сложным. Существенным недостатком метода характеристик является также ограничение на шаг сетки, связанное с критерием устойчивости Куранта, и нестрогое выполнение законов сохранения. Поэтому методом характеристик целесообразно рассчитывать задачи, в к-рых число разрывов невелико. Для метода характеристик доказана сходимость его решения к решению исходной дифференциальной задачи в случае достаточно гладких течений. С развитием ЭВМ, способных решать сложные логические задачи, метод характеристик будет использоваться более эффективно.

Наряду с методом характеристик для указанных задач газовой динамики широко используется метод интегральных соотношений, применимый к уравнениям различных типов. Метод интегральных соотношений строится на основе законов сохранения и сводится в конечном итоге к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Основой для построения разностных схем задач газовой динамики является аппроксимация законов сохранения на заданной подвижной или неподвижной сетке, к-рая приводит к сложной системе нелинейных соотношений явного (явные разностные схемы) или неявного (неявные разностные схемы) типа (см. Гиперболического типа уравнение; численные методы решения).

Так, для уравнений одномерной газовой динамики в лагранжевых координатах можно построить общую разностную схему в виде:

где w n _j = w(x_j, t_n) = w(jh, nτ). Для замыкания соотношений (*) следует связать величины с величинами w n _j, w n+1 _j. Это делается различными способами, к-рые приводят или к явным разностным схемам, если выражены через w n _j, или к неявным вероятностным схемам, если выражены через w n _j, w n+1 _j и нелинейным соотношениям, если применяется один целый шаг, и линейным, если применяется два или несколько дробных шагов (метод предикатор-корректор).

Решение получающейся при этом системы уравнений может быть сильно упрощено, если применить методы расщепления либо аналитические (метод предикатор-корректор), либо по физич. процессам, либо геометрические. Последние применяются при сведении многомерных задач к задачам меньшей размерности (метод дробных шагов или метод расщепления). Метод расщепления позволяет получить экономичные абсолютно аппроксимирующие схемы, в к-рых число операций на вычисление искомых функций в одной точке не возрастает с числом точек (см. Разностная схема). Одной из модификаций метода расщепления является метод «частиц в ячейках», в к-ром расщепление не связано с понижением размерности операторов.

Указанная общая методика приводит к разностным схемам сквозного счета, как в случае идеального газа так и в случае диссипативного процесса Разностные схемы сквозного счета, вводя аппроксимационную вязкость, сглаживают особенности в переходных областях ширины 0(h) и преобразуют ударные волны в ударные переходы, контактные разрывы в контактные полосы. Аппроксимационная вязкость разностных схем объединяет в себе диссипативные свойства уравнений газовой динамики и диссипативные свойства самой разностной схемы. Структура аппроксимационной вязкости определяется дифференциальным приближением схем, к-рое отличается от исходной системы уравнений членами порядка O(τ γ ), где γ — порядок аппроксимации схемы. Во многих случаях представляется важным насколько разностная схема и ее дифференциальное приближение сохраняют групповые свойства исходной системы дифференциальных уравнений. Сохранение разностной схемой групповых свойств имеет большое значение в практич. счете, особенно в задачах газовой динамики, где, напр., неинвариантность первого дифференциального приближения относительно преобразования Галилея приводит к неприятным счетным эффектам (неустойчивость, немонотонность профилей и т. д.).

Известные разностные схемы сквозного счета имеют на гладких решениях локальную точность, как правило, не выше 3-го порядка и глобальную точность не выше 1-го порядка (учитывая невысокую точность разностной схемы вблизи особенностей). Разностные схемы для уравнений газовой динамики должны удовлетворять, кроме независимых требований аппроксимации и устойчивости, еще ряду практически необходимых требований — дивергентности, экономичности, полной консервативности и т. д. Для многомерных задач строить экономичные разностные схемы позволяет идея расщепления. Дивергентность или консервативность разностной схемы означает выполнение в разностных уравнениях разностных аналогов основных законов сохранения (массы, импульса, полной энергии). Свойство полной консервативности требует выполнения разностных аналогов законов сохранения не только массы, импульса и полной энергии, но и различных видов энергии (кинетической, потенциальной, магнитной).

Рассмотрим несколько конкретных разностных схем вида (*). Полагая в формуле (*)

получим явную разностную схему 1-го порядка аппроксимации:

f n _j = f(w n _j). Указанная схема является условно аппроксимирующей при τ/h = const (при τ/h 2 = const схема аппроксимирует систему уравнении дивергентной и условно устойчивой. Условие устойчивости имеет вид: сτ/h ≤ 1, где с — скорость звука.

Полагая в формуле (*)

получим абсолютно аппроксимирующую явную разностную схему 2-го порядка аппроксимации:

Видео:10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Лекция № 5. Характеристический анализ уравнений Эйлера. Инварианты Римана. Волны Римана.

Запись уравнений Эйлера в примитивных переменных. Характеристический анализ уравнений Эйлера. Собственные числа матрицы системы, их связь со структурой решения задачи Римана. Матрицы левых и правых собственных векторов. Условия совместности вдоль характеристик. Инварианты Римана, их физическая интерпретация. Понятие автомодельного решения. Построение автомодельных решений уравнений Эйлера. Волны Римана. Пример характеристического анализа течения за фронтом одномерной пульсирующей волны детонации.

Видео:Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Лекция № 6. Задача Римана для системы уравнений Эйлера.

Постановка задачи Римана для уравнений Эйлера. Структура решения. Соотношения на ударных волнах и волнах разрежения в переменных p и v. Поиск давления и скорости на контактном разрыве на (p-v)-диаграмме на примере задачи Сода [16]. Распределения плотности, скорости и давления в точном решении Сода.

Видео:5.1 Численные методы решения уравнений F(x)=0Скачать

Лекция № 7. Программа для решения задачи Римана. Численный поток С.К. Годунова. Метод Harten-Lax-Van Leer (HLL).

Обсуждаются детали устройства программы для построения точного решения задачи Римана. Основные элементы – цикл по значениям автомодельной переменной; функция расчета давления и скорости на контактном разрыве; функция определения начального приближения для давления в итерационном методе поиска давления на контактном разрыве; функция отбора области, куда попадает автомодельная переменная. Все следует книгам E.F. Тоrо [5, p. 152 – 162] и С.К. Годунова с соавторами [17, стр. 105 – 117]. Пример построения точного решения для задачи Сода [16]. Численный поток С.К. Годунова. Идея и построение численного потока HLL [5, p. 315 – 344; 18; 19]. Различные варианты выбора скоростей левой и правой волны, связь пока HLL с другими методами. Пример соотнесения результатов, полученных методом Годунова и HLL, на примере задачи о взаимодействии ударной волны с облаком частиц [20].

Видео:Численное решение уравнений, урок 1/5. Локализация корняСкачать

Лекция № 8. Метод Harten-Lax-Van Leer-Contact (HLLC).

Общепринятные тестовые задачи Римана для проверки разностных схем решения уравнений Эйлера [5, p. 334]. Интерпретация потока HLL через соотношения Ренкина-Гюгонио для правой и левой волн. Достоинства и недостатки численного потока HLL. Численный поток HLLC. Сравнение результатов решения некоторых тестовых задач методом Годунова, HLL и HLLC. Пример соотнесения результатов, полученных методом HLL и HLLC, на примере задачи о высокоскоростном соударении двух металлических пластин [21]. Задача Shu-Osher о взаимодействии ударной волны с синусоидальным возмущением плотности [12].

Видео:2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать

Лекция № 9. Метод конечных объемов для решения трехмерных уравнений Эйлера на неструктурированных сетках.

Краткая классификация типов расчетных сеток. Метод конечных объемов для решения трехмерных уравнений Эйлера на произвольных неструктурированных сеток. Применение теоремы Остроградского-Гаусса при конструировании метода. Инвариантность уравнений Эйлера относительно вращений. Лекция прерывается из-за технических сложностей.

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Лекция № 10. Подходы к построению схем повышенного порядка точности для нелинейных систем уравнений гиперболического типа

Краткое повторение предыдущей лекции. Схема интегрирования по времени. Метод конечного объема для структурированных сеток. Пример расчета теста Сода в трехмерной области на неструктурированной сетке. Плюсы и минусы схем первого и второго порядка точности на примере уравнения переноса (напоминание). Понятие монотонности разностных схем (напоминание). Один из самых первых подходов к построению монотонных схем для решения уравнений Эйлера – гибридные схемы Р.П. Федоренко [22]. 1970-ые – история создания MUSCL-схем, восполнение сеточных функций по Колгану [23, 24].

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Лекция № 11. Детонационная волна в газе.

Последние лекции по курсу затрагивают специфику моделирования течений с химическими реакциями. По какой-то причине записи лекции № 11 на youtube-канале МФТИ не появилось. Лекция во многом повторяла прошлогоднюю обзорную лекцию по курсу:

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Лекция № 12. Моделирование течений с химическими реакциями.

Одномерная система уравнений Эйлера для многокомпонентной смеси с моделью кинетики химических реакций. Случай двухкомпонентной смеси с одностадийной моделью кинетики. Принцип расщепления по физическим процессам как конструктивный способ построения вычислительного алгоритма для расчета течений с химическими реакциями.

Видео:Численные методы (1 урок)(Решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Python)Скачать

Численное решение многомерных задач газовой динамики, Годунов С.К., 1976

Численное решение многомерных задач газовой динамики, Годунов С.К., 1976.

Монография посвящена описанию эффективного метода численного интегрирования квазилинейных систем уравнений гиперболического типа и изложению результатов решения широкого класса задач газовой динамики, аэродинамики и ряда других разделов механики сплошных сред, которые были получены при помощи этого метода.
Одним из существенных требований, предъявляемых к современным численным методам, является адаптируемость алгоритмов к особенностям рассчитываемых течений. Отсюда возникает необходимость использования нерегулярных подвижных сеток, выделения поверхностей разрыва, удовлетворения граничным условиям различных типов и т. и. Все эти вопросы, вместе с традиционными требованиями, предъявляемыми к разностным схемам, освещаются в предлагаемой монографии.
Монография предназначена для широкого круга научных работников, студентов и аспирантов, специализирующихся в области численных методов и их применения к задачам механики сплошных сред.

Разностная схема.

Кусочно-постоянная аппроксимация начальных данных. Построение решения с помощью распадов разрывов. Усреднение и законы сохранения. Разностные формулы. Построение той же схемы с помощью соотношений на характеристиках.
Для того чтобы практически реализовать численные методы расчета процессов, описываемых теми или иными диофференциальyыми уравнениями, необходимо перейти от функций с непрерывными аргументами к некоторым дискретным наборам чисел, их заменяющих.
Эту дискретизацию будем осуществлять так. Представим себе, что среда, процессы в которой мы предполагаем рассчитывать, разделена на ряд слоев по координате а* при помощи точек хj, называемых узлами разностной сетки (j — целочисленный индекс). Чтобы пока не останавливаться на вопросе о граничных условиях, будем считать, что начальные данные заданы на всей оси х и разностная сетка всю ее заполняет (т.е. содержит бесконечное счетное множество узлов).
Для простоты будем считать, что расстояния между соседними узлами одинаковы: Xj—Xj_1 = h. Величина h называется шагом сетки по координате х. Будем предполагать, что в начальный момент времени t—О внутри каждого слоя величины и, р постоянны. Их значения в слое между узлами xj_1 и Xj обозначим ui-1/2, присвоив слою «полуцелый» индекс i—1/2. Таким образом, в качестве начальных данных мы имеем некоторую кусочно-постоянную функцию. На границе между каждыми двумя соседними слоями возникает распад разрыва, которым мы уже

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Предисловие.
Список основных обозначений.
Часть первая. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА.
Глава I. Построение разностных схем для линейных гиперболических систем уравнений.
Глава II. Квазилинейные гиперболические системы с двумя переменными.
Глава III. Построение разностных схем для решения многомерных задач.
Глава IV. Решение газодинамических задач в произвольных криволинейных координатах.
Часть вторая. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МЕТОДА.
Глава V. Задачи нестационарной газовой динамики.
Глава VII. Стационарные сверхзвуковые течения.
Заключение.
Литература.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Численное решение многомерных задач газовой динамики, Годунов С.К., 1976 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

💡 Видео

Метод хордСкачать

Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать

Лекция 13, Численные методы решения ОДУСкачать

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Численные методы решения нелинейного уравнени Теория Шаговый Метод половинного деления Метод НьютонаСкачать

15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

Метод касательных (метод Ньютона)Скачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать