Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у‘ = f(x, y) на отрезке [ a, b] при заданном начальном условии у0 = f(x0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.
Метод Пикара
Пример 5.1.
Решить задачу Коши для ДУ 
на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Пикара с шагом h.
В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.
Решение.
1. Вводим данные (рис. 5.1)
h = 0,1 
Рис.5.1.Задание исходных данных
2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).
f derive(y) = 
Рис.5.2.Функция, возвращающая значение первой производной функции
3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом
Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –
Производная функции по у; a,b – концы отрезка; h – шаг; у0 –
начальное значение переменной у.
4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).
fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)= 
Рис. 5.3.Задание функции, возвращающей решение ДУ
методом Пикара (файл fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =
| 7,78457519486·10 -11 |
| 5,3 |
| 5,46340155616 |
| 5,62650688007 |
| 5,78947945853 |
| 5,95251650231 |
| 6,11584391144 |
| 6,27971330675 |
| 6,44440084325 |
| 6,61020759752 |
| 6,77746140952 |
| 6,94652015221 |
Рис. 5.4.Нахождение численного решения ДУ методом Пикара
Метод Эйлера и его модификации
Пример 5.2.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h/2.
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.
а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3
h = 0,1 n = 10
y0 = y0 xi = a + ih h2 = 0,05
Рис5.5.Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением
уравнения методом Эйлера с шагом h и h/2 и графической
визуализацией метода Эйлера.
1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.
Рис.5.6.Листинг программы, реализующий метод Эйлера
2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).
ES h = eyler(f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, 
, y0)
Рис. 5.7.Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера
Примечание
Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.
Рис. 5.8.Решение ДУ усовершенствованным методом
Эйлера с шагами h и h/2
Видео:Численные методы. Метод Адамса.Скачать
5.3. Метод Рунге – Кутты
На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.
Пример 5.3.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h.
В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).
a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1
Рис.5.9.Задание исходных данных
2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a, b – концы отрезка; h – шаг; y0 – начальное значение функции.
3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Рис. 5.10.Листинг функции, возвращающей численное
решение ДУ методом Рунге–Кутты
Метод Адамса
Пример 5.4.
Решить задачу Коши для ДУ на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ у(1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h.
В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.
Решение.
1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).
Рис. 5.11.Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты
2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a, b – концы отрезка; y1 – начальное значение функции; h – шаг.
Рис. 5.12.Функция, возвращающая численное решение
ДУ методом Адамса
3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.
Рис. 5.13.Визуализация решения ДУ разными методами
Вопросы по теме
1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?
2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.
3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от
формы представления решения?
4. В чем заключается суть принципа сжимающих
5. Рекуррентная формула метода Пикара.
6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?
7. Применение, каких формул позволяет получить значения
искомой функции по методу Эйлера?
8. Графическая интерпретация метода Эйлера и
усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?
9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?
Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать
10. Как определить количество верных цифр в числе,
являющемся решением ДУ методом Эйлера,
усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–
Задание к лабораторной работе № 5
Задание 5.1.
Решить задачу Коши для ДУ y’ = f(x, y) на отрезке [a, b] при заданном НУ у(а) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):
1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h/2;
2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h;
3) методом Адамса;
4) методом Пикара.
Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.
Таблица 5.1.Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы
| № | f(x, y) | [a, b] | y0 | h |
| 3х 2 + 0,1ху | [0; 1] | у(0) = 0,2 | 0,1 | |
| 0,185(x 2 + cos(0,7x)) + 1,843y | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | |
 | [1,6; 2,6] | у(1,6) = 4,6 | 0,1 | |
 | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 1,1 | 0,1 | |
 | [1,4; 2,4] | у(1,4) = 2,5 | 0,1 | |
 | [1,7; 2,7] | у(1,7) = 5,3 | 0,1 | |
 | [2,6; 4,6] | у(2,6) = 3,5 | 0,2 | |
 | [2; 3] | у(2) = 2,3 | 0,1 | |
| 1,6 + 0,5y 2 | [0; 1] | у(0) = 0,3 | 0,1 | |
 | [1,8; 2,8] | у(1,8) = 2,6 | 0,1 | |
 | [2,1; 3,1] | у(2,1) = 2,5 | 0,1 | |
| e 2x + 0,25y 2 | [0; 0,5] | у(0) = 2,6 | 0,05 | |
 | [- 2; -1] | у(-2) = 3 | 0,1 | |
| 0,133·(x 2 + sin(2x)) + 0,872y | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | |
| sin(x + y) +1,5 | [1,5; 2,5] | у(1,5) = 4,5 | 0,1 | |
 | [0,4; 1,4] | у(0,4) = 0,8 | 0,1 | |
| 2,5x + cos(y + 0,6) | [1; 3] | у(1) = 1,5 | 0,2 | |
| cos(1,5y +x) 2 + 1,4 | [1; 2] | у(1) = 1,5 | 0,1 | |
 | [1,5; 2] | у(1,5) = 2,1 | 0,05 | |
| cos y + 3x | [0; 2] | у(0) = 1,3 | 0,1 | |
| cos(1,5x – y 2 ) – 1,3 | [-1; 1] | у(-1) = 0,2 | 0,2 | |
 | [1,6; 2,6] | у(1,6) = 4,6 | 0,1 | |
| e -(y – 1) + 2x | [0; 0,5] | у(0) = 0,3 | 0,05 | |
| 1 + 2y sin x – y 2 | [1; 2] | у(1) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
| 0,166(x 2 + sin(1,1x)) + 0,883y | [0,2; 1,2] | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | |
 | [1,7; 2,7] | у(1,7) = 5,6 | 0,1 | |
| | [1,4; 2,4] | у(1,4) = 2,5 | 0,1 | |
 | [0,6; 1,6] | у(0,6) = 0,8 | 0,1 | |
 | [1; 2] | у(1) = 5,9 | 0,1 | |
| 1 + 0,8y sin x — 2y 2 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0,5; 1,5] | у(0,5) = 1,8 | 0,1 | |
 | [1,2; 2,2] | у(1,2) = 1,8 | 0,1 | |
| 1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
 | [0; 1] | у(0) = 0 | 0,1 | |
| 0,2x 2 + y 2 | [0; 1] | у(0) = 0,8 | 0,1 | |
| x 2 + y | [0; 1] | у(0) = 0,4 | 0,1 | |
| xy + 0,1y 2 | [0; 1] | у(0) = 0,5 | 0,1 |
Литература
Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в
пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.
Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.
Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.
Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. — 384 с.
Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.
Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.
ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.
Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976
Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983
Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976
Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981
Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982
Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979
Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.
Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с
программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
http://www.open-mechanics.com/journals — Процессы и аппараты пищевых производств
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm — Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины
http://elibrary.ru/defaultx.asp — научная электронная библиотека «Elibrary»
Содержание
1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
1.2. Погрешность округленного числа
Видео:Метод ЭйлераСкачать
1.3. Погрешности арифметических действий
1.4. Погрешности элементарных функций
1.5. Способ границ
1.6. Обратная задача теории погрешностей
1.7. Вопросы по теме
1.8. Задания к лабораторной работе №1
2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения
1.2. Метод касательных
1.3. Метод простой итерации
1.4. Вопросы по теме
1.5. Задания к лабораторной работе №2
3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем
3.1. Метод Ньютона
3.2. Вопросы по теме
3.3. Задание к лабораторной работе №3
4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование
4.1. Метод прямоугольников
4.2. Метод Симпсона
4.3. Метод трапеций
4.4. Метод Монте – Карло
4.5. Вопросы по теме
4.6. Задание к лабораторной работе №4
5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Лабораторная работа по выч. математике №4 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса»
CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
Лабораторная работа по выч. математике №4
«Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Выполнил: Припадчев Артём
Задание: составить подпрограмму для решения ОДУ первого порядка используя многошаговый метод Адамса. Разгонные точки вычислить методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Вычисление правых частей реализовать отдельной подпрограммой. Найти решение заданного уравнения с точностью e, контролируя точность на каждом шаге вычислений, построить график решения.
Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка — широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.
В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 xi]
тогда можно переписать так:
Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений 
При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.
Алгоритм Рунге-Кутты третьего порядка — РК3 (погрешность порядка h3):
(6.8)
Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка — РК4 (погрешность порядка h4):
(6.9)
Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.
Рассмотренный ранее метод Рунге-Кутты использует значение функции на одном предшествующем шаге, поэтому они относятся к так называемым одношаговым методам. Точность вычислений можно увеличить, если использовать при нахождении решения в некотором узле xi информацию о значениях функции, полученных в нескольких (k) предыдущих узлах сетки интегрирования (xi-1, xi-2 … xi-k).
Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени (k-1) — 
, который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению (6.3). Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:
,
Видео:Метод Пикара последовательных приближений для решения дифференциальных уравненийСкачать
где лl – квадратурные коэффициенты.
Очевидно, что при k=1 в качестве частного случая получается формула Эйлера. Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.
🔥 Видео
Вычислительная математика 12 Численные методы решения ОДУ для задачи КошиСкачать
Численные методы решения ОДУСкачать
Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать
Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать
6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать
Численные методы решения ОДУСкачать
Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать
6.4 Явные методы Рунге-КуттыСкачать
Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать
3_11. Алгоритм Рунге-КуттыСкачать
Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядкаСкачать
