Численные методы решения дифференциальных уравнений методы адамса

Кафедра вычислительной математики и программирования

Пояснительная записка к курсовому проекту

«Решение систем дифференциальных уравнений при

помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка»

1. Постановка задачи

2. Описание математических методов решения

3. Описание используемого метода

4. Описание блок-схемы

5. Описание программы

6. Анализ результатов

Бурное развитие в последнее десятилетие информационных технологий и компьютерной техники способствует возникновению всё более сложных математических задач, для решения которых без применения численных методов требуется значительное время. Очень часто перед специалистом возникают задачи, не требующие абсолютно точного решения; как правило, требуется найти приближенное решение с заданной погрешностью. Наряду с совершенствованием компьютерной техники происходит процесс совершенствования и численных методов программирования, позволяющих за минимальный отрезок времени получить решение поставленной задачи с заданной степенью точности.

Одной из таких задач является решение систем дифференциальных уравнений. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей и т. д. Ряд физических задач может быть сведён к решению дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений. Задача решения системы дифференциальных уравнений имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, она является вспомогательной задачей при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Поэтому для инженеров крайне важно грамотно находить решение этой задачи.

1. Постановка задачи

Необходимо решить с заданной степенью точности задачу Коши для системы дифференциальных уравнений на заданном интервале [a,b]. Добиться погрешности на втором конце не более 0,0001. Результат получить в виде таблицы значений приближенного и точного решений в точках заданного интервала. Построить графики полученных решений и сравнить их с точным решением.

– система дифференциальных уравнений вида:

– интервал, на котором ищется решение: [a,b]

– погрешность, с которой ищется решение: е

– формулировка задачи Коши в начальной точке заданного интервала: u(a)=u, v(a)=v

– количество узлов сетки, для которой формируется таблица значений приближенного и точного решений системы: nx

– шаг вывода на экран значений искомых функций в узлах заданной сетки: np

– таблица значений приближенного и точного решений в узлах заданной сетки;

– графики полученных и точных решений.

2. Описание математических методов решения задачи

Конкретная прикладная задача может привести к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе таких уравнений. Произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно привести к некоторой эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Среди таких систем выделяют класс систем, разрешённых относительно производной неизвестных функций:

(2.1)

Дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного уравнения в некоторой точке a должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции u1(a),…, um(a):

u1(a)=,…, um(a)= (2.2)

Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы. Если решение задачи определяется в интервале xÎ[a,b], то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Третий тип задач для систем дифференциальных уравнений – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций u1(x),…, um(x) в уравнения входят дополнительно n неизвестных параметров l₁ , l₂ , . l_n , которые называются собственными значениями. Для единственности решения на интервале [a,b] необходимо задать n + m граничных условий.

Рассмотрим подробнее задачу Коши. Воспользуемся компактной записью задачи (2.1), (2.2) в векторной форме:

(2.3)

Требуется найти на интервале [a,b].

Задачу Коши удобнее всего решать методом сеток. Метод сеток состоит в следующем :

1) Выбираем в области интегрирования упорядоченную систему точек a=x1

#pragma resource «*.dfm»

char *opz(char *); // ф-ия преобразования в обратную польскую запись;

double fpr(char *str,double u, double v,double x); // обратныйходпольской

int p=1,s=1,j=1,o=0; // записи;

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

void __fastcall TForm1::N5Click(TObject *Sender)

void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject *Sender)

void __fastcall TForm1::N7Click(TObject *Sender)

void __fastcall TForm1::N2Click(TObject *Sender) // очисткаформы

Видео:08 Методы АдамсаСкачать

Численные методы решения дифференциальных уравнений методы адамса

Автор: Дмитриева O.А.
Донецкий национальный технический университет
83000, Донецк, ул. Артема, 58
e-mail: dmitriv@r5.donntu.org
http://www.imamod.ru/magazin/pdf/12/1205-081r.pdf

В течение последних двух-трех десятилетий пиковая производительность параллельных вычислительных систем возросла на несколько порядков. Радикально изменились технологическая база и архитектура. Но главным препятствием к внедрению практически всех параллельных архитектур является отсутствие параллельных алгоритмов. Речь, в первую очередь, идет о больших системах дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных, являющихся основой больших современных научных и инженерных задач. Многие численные методы решения приходится пересматривать, а от некоторых полностью отказываться. В то же время, целый ряд вопросов, которые были несущественны или вообще не возникали при проведении последовательных вычислений, приобрели исключительную важность для эффективного и правильного использования вычислительных систем. Опыт эксплуатации параллельных систем показал [1]. что для эффективного их применения нужно радикально менять структуру численных методов. Эти обстоятельства послужили основой для адаптации известных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на параллельных системах с SIMD архитектурой.

Численное решение систем ОДУ методами Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона на решетке процессоров

Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных урав¬нений с постоянными коэффициентами

можно получить последовательно по шагам с помощью, например, следующих формул Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона [2]

где h — выбранный шаг интегрирования.

Приведенный метод в целом является явным. Сначала по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение х_k+1 (р) являющееся прогнозом для х_k+1. Затем х_k+1 (р) используется для расчета скорректированного значения х_k+1 (k) , вычисляемого по формуле Адамса-Моултона. Представляемый метод имеет четвертый порядок точности, хотя можно получить эти методы сколь угодно высокого порядка, используя все большее число предыдущих точек, а, следовательно, интерполяционный полином более высокой степени. При этом с ростом точности формулы становятся все более громоздкими, но принцип остается тем же. Многошаговые методы порождают проблему, которая не возникала при использовании одношаговых методов, поскольку для начала счета им необходимо несколько разгоночных значений. При этом, однако, существенно, чтобы эти стартовые значения были вычислены с той же степенью точности, с которой будет работать многошаговый метод. Для этой цели предполагается использование метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности, подробное описание реализации ко¬торого на параллельных архитектурах типа SIMD представлено в [3].

Модель, на которую ориентируется решение, имеет следующие особенности: используется вычислительная система SIMD структуры с квадратной сеткой, содержащей m*m процессорных элементов (ПЭ); каждый процессорный элемент может выполнить любую арифме¬тическую операцию за один такт; временные затраты, связанные с обращением к запоминаю¬щему устройству, отсутствуют. Для простоты изложения рассматривается случай, когда количество процессорных элементов в каждой строке совпадает с размерностью задачи. Для эффективной работы методов Адаме а в каждый процессорный элемент, имеющий индексы i,j, пересыпается элемент исходной матрицы матрицы А, приведенной предварительно к виду (3).

Таким преобразованием можно избавиться от сдвигов, необходимых на каждом шаге для подготовки систолического умножения матрицы на вектор. Подробно систолический алгоритм умножения рассмотрен в [3].

Из вектора неизвестных х формируется новая матрица U (см. (5)), элементы которой также пересылаются в соответствующие процессорные элементы. Таким образом, в каждом процессорном элементе с индексами i,j оказывается соответствующее значение g_i,j и элемент матрицы u_i,j. Первоначально выполняется умножение g_i,j*U_i,j во всех процессорных элементах. Затем осуществляется одиночный циклический сдвиг полученных значений и сложение содержимого процессорных элементов. Количество позиций, на которое производится очередной сдвиг, определяется элементами следующего ряда: 2 0 ,2 1 ,2 2 . 2 k-1 , где k — ближайшее целое сверху [log₂m]. Учитывая, что в процессорных элементах уже находятся рассчитанные ранее значения для предыдущих точек, произведем необходимые операции умножения и сложения.

Легко видеть, что на такой сетке в каждом ПЭ i-й строки получается новое значение x_i (p) на (n+1)-м шаге. Вычисление всех значений x_n+1 (p) определяется временем, затрачиваемым на одно умножение t_умн, суммой времен, необходимых для осуществления сдвигов и сложения сдваиванием , а также временами 4t_умн — умножение хранящихся значений на новые коэффициенты, 3t_сл — суммирование полученных результатов, 4t_умн+3t_сл — время для умножения на h/24 и суммирования со значением, полученным на предыдущем шаге. Всего получаем

Но необходимо учесть, что это время характеризует только нахождение значений век¬тора неизвестных прогнозируемых значений. При этом, получающиеся в сетке процессорных элементов значения расположены не в том порядке, как при изначальной засылке (5), а имен¬но в виде (6)

Для того, чтобы выполнить расчет скорректированных значений, нужно потратить какое-то время на переупорядочивание элементов, для приведения их к виду (5). На это потребуется m-1 циклических сдвигов по столбцам (в первом — 0, во втором — 1, . в m столбце необходимо выполнить 2 k-1 сдвигов). Итого дополнительно потребуется времени (m-1)*t_сдв. После этого для получения скорректированных значений нужно повторить ту же последовательность операций, но с другими значениями. Общее время, затрачиваемое на нахождение вектора неизвестных х_n+1 на решетке процессоров m*m, оценивается как

Для оценок качества рассмотренного алгоритма используются наиболее распространенные критерии [4]: коэффициент ускорения и коэффициент эффективности , где T_i(N) — время вычисления вектора x_n+1 на однопроцессорной ЭВМ с быстродействием арифметического процессора и объемом ОЗУ, равным суммарному объему всех ЗУ арифметических процессоров, и с необходимым числом внешних устройств, имеющих скорости обмена такие же, как в многопроцессорной вычислительной системе типа SIMD. При расчете значений вектора x_n+1 на однопроцессорной ЭВМ потребуется время, равное

Чтобы оценить параллелизм алгоритма, можно принять [4], что t_оп=t_умн=t_сл=10t_сдв. Тогда

Эффективность методов Адамса при решении на SIMD структуре

Полученные результаты значительно отличаются от характеристик потенциального параллелизма методов Адамса (ускорение ускорение примерно равно m 2 , эффективность — 1), поскольку при расчете этих характеристик не учитывались времена, затрачиваемые на сдвиги, хотя, как оказалось, эти времена существенно влияют на характеристики параллелизма (рис.1).

Реализация методов Адамса на линейке процессоров

Еще одним часто встречающимся способом коммутации параллельных вычислительных систем является линейка процессоров. Рассмотрим решение задачи (1) на модели SIMD-структуры, построенной из последовательно соединенных процессорных элементов (последний связан с первым) при условиях, оговоренных выше. Из всех рассмотренных способов первоначальной засылки значений в процессорные элементы оптимальным оказался способ, когда в 1-й процессорный элемент записываются значения i-й строки матрицы А: a_i1,a_i2. a_im и значения векторов неизвестных, полученных на предыдущих шагах, первоначально: x₍₀₎, x₍₁₎, x₍₂₎, x₍₃₎ , а на (n+1)-м шаге x_(n), x_(n-1), x_(n-2), x_(n-3). При таком подходе одновременно все процессоры могут начать проводить вычисления прогнозируемых значений по формулам (2). Через время m*t_умн+(m-1)t_сл+4t_умн+3t_сл+t_умн+t_сл=2m*t_оп+8t_оп в каждом i-м процессорном элементе получаем прогнозируемое значение x_n+1(i) (p) . Эти действия необходимо выполнить только один раз, перед началом основных вычислений и хранить в каждом i-м процессорном элементе получившиеся значения:

Теперь необходимо передать полученные прогнозируемые значения по типу «все-всем», так как в каждом процессорном элементе нам необходимо иметь значения векторов x_n+1 (p) . Время, затрачиваемое на обмены, определится, как (m-1)t_сдв, после чего в каждом ПЭ будут содержаться векторы прогнозируемых значений в виде (11) и потребуется еще время на переупорядочивание элементов и приведение их к виду (12). При этом значения, хранящиеся в первом ПЭ останутся без изменений, во втором на их переупорядочивание потребуется время (m-1)t_сдв, в третьем (m-2)t_сдв в последнем t_сдв. Учитывая, что все сдвиги могут выполняться одновременно, нужное расположение значений получается за время (m-1)t_сдв, тогда общее время, затрачиваемое на распространение «все-всем» осуществится за время 2(m-1)t_сдв.

Вторая группа сдвигов, потребовавшаяся на переупорядочивание значений, может быть исключена, если провести первоначальную перестановку элементов в строках, т.е. записать в каждый (i-Й процессорный элемент i-ю строку матрицы G(3). Тогда после получения в каждом ПЭ прогнозируемого значения, передача «все-всем» может быть осуществлена за время (m-1)t_сдв. Перед расчетом скорректированного значения х_n+1 (k) из ПЭ удаляются значения х_n-3 как уже не использующиеся. Для расчета скорректированного значения потребуется время m*t_умн+(m-1)t_сл+4t_умн+3t_сл+t_умн+t_сл=2m*t_оп+8t_оп , рассылка «все-всем» (m-1)t_сдв Приняв t_сдв=0,1*t_оп, можно сказать, что полный цикл расчета значений для одной точки закончится через

Ускорение определим как

И, хотя ускорение получилось меньше, чем на решетке процессоров, но, учитывая, что эффективность работы этого алгоритма , можно говорить, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методами Адаме а предпочтительнее проводить на линейке процессоров. Сравнительные оценки качества рассмотренных алгоритмов параллельного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений по критериям ускорения и эффективности приведены на рис. 1.

В представленной работе сделана попытка адаптации существующих алгоритмов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности к архитектурам многопроцессорных вычислительных структур типа SIMD. Предложены параллельные варианты реализации методов Адамеа-Башфорта и Адамса-Моултова на решетке и на линейке процессоров. Оценки эффективности использованных методов, реализованных на линейке, значительно превосходят те же показатели на решетчатых структурах, что, с одной стороны не согласовывается с теоретическими оценками, а, с другой стороны, еще раз доказывает, что в параллельных вычислительных структурах время обменов данными может составлять большую часть общего времени решения задачи. Поэтому подходить к выбору структуры вычислительной системы для решения каждой конкретной задачи необходимо не только с позиций наращивания количества процессорных элементов, но и оптимизации алгоритмов для сокращения количества обменов между ними.

1. Воеводин В.В. Информационная структура алгоритмов. -М.: Изд-во МГУ, 1997, 139с.

2. Ортега Дж„ Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ.; Под ред. Абрамова А.А.-М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986, 288 с.

3. Фельдман Л.П. Параллельные алгоритмы моделирования динамических систем, описываемых обык¬ новенными дифференциальными уравнениями. Научн. тр. ДонГТУ, Вып. 6, Донецк: ДонГТУ, 1999, 330с.

Видео:Численные методы. Метод Адамса.Скачать

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. Пример. Решить экстраполяционным методом Адамса уравнение:

Пример. Решить экстраполяционным методом Адамса уравнение:

(33)

с начальным условием y(1) = 2.70 на интервале [1; 2.25], принимая h = 0.25 . В качестве разгонных точек x₀, x₁, x₂, x₃ и соответствующих решений y₀, y₁, y₂, y₃ для реализации метода Адамса взять значения, полученные методом Эйлера в точках: x₁, x₂, x₃. Все вычисления вести с тремя верными в узком смысле знаками.

Решение. Вычислительная схема экстраполяционного метода Адамса определяется выражением:

(10)

Поскольку на основе разгонных данных для функции f (x_i, y_i) можно вычислить только конечные разности до третьего порядка включительно: Df_i; D 2 f_i; D 3 f_i, то для решения данной задачи формула (10) перепишется в виде:

Далее в соответствии с условием задачи по методу Эйлера на интервале
[1; 1.75] с шагом h = 0.25 необходимо найти приближённые значения решения y₁, y₂, y₃ данного уравнения. Для этого используется численная схема, определяемая уравнением:

, i = 0, 1, …, n

Очевидно, что для получения необходимых разгонных данных метода Адамса: y₁ » y(1.25); y₂ » y(1.5); y₃ » y(1.75) по методу Эйлера необходимо реализовать трёхшаговый вычислительный процесс.

Шаг 1:

В результате находим:

Шаг 2:

В результате находим:

Шаг 3:

В результате находим:

Таким образом, в качестве разгонных значений для метода Адамса имеем следующие приближённые значения решения:

Далее в соответствии с требованиями метода Адамса на основе полученных расходных данных вычислим приближённые значения функции:

f (x_i, y_i) = i = 0, 1, 2, 3;

Далее для реализации метода Адамса на основе имеющихся данных составим для функции f (x_i, y_i) таблицу конечных разностей:

Теперь по формуле при h = 0.25 и i = 3

получим:

и подставляя из таблицы 2 соответствующие значения функции f (x₃, y₃) = f₃ = — 1.19 и её конечных разностей: Df₂ = 0.15; D 2 f₁ = 0.07; D 3 f₀ = — 0.08; (которые в таблице 2 подчёркнуты) окончательно получим:

Далее на основе полученного приближённого значения y₄ = 1.39; вычисляем значение f (x₄, y₄) = f(2.00; 1.39) = f₄ = — 1.04; и конечные разности Df₃ = 0.15; D 2 f₂ = 0.00;
D 3 f₁ = — 0.07; (которые в таблице 2 обведены рамкой) окончательно получим при i = 4:

;

Этот вычислительный пошаговый процесс можно продолжать и далее…

Отметим, что для получения более точных результатов разгонные значения для метода Адамса целесообразно было бы получить более точным методом, например, методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Здесь мы использовали метод Эйлера исключительно из-за его просты.

§5. Метод Милначетвёртого порядка.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, используемым на практике, является метод Милна, в рамках которого имеется две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y(x) задачи Коши.

5.1 Первая формула Милна – формула предсказания.

Снова строим численный методы решения начальной задачи.

(34)

P₃(x _i—3 + qh) = f _i—3+ qD f _i—3 + + . (35)

При подстановке в выражение (34) полинома (35), зависящего от переменной , в интеграле формулы (34) необходимо сделать замену переменной:
x ® x _i—3 + qh; в соответствии с которой:

.

Поэтому в результате выражение (34) перепишется в следующем виде:

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции f (x, y):

;

,

получим первую явную формулу (предсказания) Милна четвёртого порядка:

, (36)

которая, очевидно, является экстраполяционной, поскольку делает предсказание решения y (x_i+1) на основе интерполяционного полинома, построенного по узлам
x_i–3, x _i–2, x_i–1, x_i. Далее в лекции, полученные по формуле предсказания (36) приближённые значения y_i для искомого решения y(x _i), будем обозначать как .

Оценка шаговой погрешности первой формулы Милна.

Главный член локальной погрешности формулы (36) можно найти при интегрировании первого из неучтённых в (35) слагаемого интерполяционного полинома Ньютона:

Считая значения четвёртых разностей примерно одинаковым в используемой области таблицы конечных разностей функции f_i, опустим индекс у функции f в записи ; в результате получим следующее приближённое представление решения в точке x _i+1 на основе первой формулы Милна:

(37)

5.2 Вторая формула Милна – формула уточнения.

и применим к интегралу простейшую формулу Симпсона:

, где x_iÎ(x_i-1, x_i+1).

В результате получим:

(38)

Отбрасывая в формуле (38) слагаемое , характеризующее ошибку квадратурной формулы Симпсона и заменяя значения решения y(x _i—1) и y(x _i) известными приближёнными значениями y _i—1 и y _i, а стоящее в правой части (38) в качестве аргумента функции f(x _i+1, y(x _i+1)) значение y(x_i+1) значением , полученным по первой (явной) формуле Милна (36), приходим ко второй интерполяционной (и неявной) формуле Милна – формуле уточнения.

(39)

Оценка шаговой погрешности второй формулы Милна.

Для вывода приближённой оценки шаговой погрешности метода Милна воспользуемся приближённым равенством, связывающим производные и конечные разности , где так же, как и в (37), — условная запись практически постоянных четвёртых разностей. Иногда в качестве величины в формуле берут максимальную четвёртую разность из четвёртых конечных разностей в используемой части таблицы конечных разностей.

Исходя из точного равенства (38), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (39) приближённого значения y_i+1 можно приближённо охарактеризовать величиной . Поэтому, сравнивая выражения (38) и (39), можем написать:

или (40)

Далее приравнивая правые части выражений (37) и (40):

» и

получим:

(41)

Следовательно, сравнивая выражения (40) и (41), окончательно получаем:

(42)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1), (2) методом Милна четвёртого порядка, определяемым формулами (36), (39), на каждом i — м шаге следует вычислять величину

(43)

и сравнивать её модуль с величиной e > 0 допустимой шаговой погрешности. Если
½d_i+1½ _i+1) — y М _i+1 = (y М _i+1 — y Б _i+1). (33)

для предиктор-корректорного метода Адамса четвёртого порядка

(28)

это характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычислительных затратах.

§6. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к задаче Коши для ОДУ первого порядка с использованием векторных обозначений.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных. Задача Коши для такой системы дифференциальных уравнений формулируется в следующем виде:

(45)

Введём следующие векторныеобозначения:

(46)

Используя введённые векторные обозначения (46) задача Коши (44), (45) для системы дифференциальных уравнений первого порядка (44) может быть переписана в виде:

, (47)

который имеет точно такую же форму, как и рассматриваемая выше задача Коши:

К полученному векторному дифференциальному уравнению (47) применимы все численные методы, изучавшиеся в рамках данной темы, поскольку все рассмотренные методы имеют линейную структуру (т.е. если реализацию какого-либо из рассмотренных методов решения задач Коши представить как действие соответствующего линейного оператора).

При таком подходе скалярными величинами в формулах, определяющих методы, являются только независимая переменная x и расчётный шаг h; всем остальным величинам соответствуют введённые выше векторные величины размерности n.

Следует лишь учесть, что в этом случае при контроле пошаговой или глобальной точности методов вместо модуля нужно использовать норму вектора (например, норму — максимум).

Заключение (план — аннотация лекции №24).

В лекции 24 рассмотрены приближённые методы решения задачи Коши, основанные на интегрировании ДУ и последующей замене подынтегральной функции интерполирующим полиномом соответствующего порядка, данные методы известные в литературе под общим названием многошаговых методов Адамса.

Дан вывод формул экстраполяционного метода Адамса, рассмотрен подход к оценке его точности. Приведён интерполяционный метод Адамса, рассмотрены его частные случаи. Рассмотрены предиктор-корректорные методы Адамса, дан метод осуществления пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, рассмотренным в лекции, является метод Милна, в рамках которого получены две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y(x) задачи Коши. Обсуждается роль первой и второй формулы Милна в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Дана оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

Сформулирована задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциального уравнения второго порядка. Дана схема сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Приведены примеры решения типовых задач.

1. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

2. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.: МЭСИ М., 2003. – 102 стр.

3. Приклонский В.И. Численные методы. Лекционный курс, читаемый в МГУ. Адрес в Интернете ttp://afrodita.phys.msu.ru/download/priklonsky/lections/

Вопросы по теме

«Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений».

1. Основные определения и постановка задачи Коши для ОДУ: Определение ОДУ; уравнение, разрешённое относительно производной; начальная задача; начальные условия; геометрическая интерпретация задачи Коши; Классификация приближенных методов. Теорема об эквивалентности задачи Коши соответствующему интегральному уравнению. Метод последовательных приближений Пикара, его основные свойства.

2. Метод Эйлера. Общая характеристика метода Эйлера в классе численных методов решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода Эйлера — метод ломаных. Квадратурный подход к выводу метода Эйлера. Модификации метода Эйлера (неявный или обратный метод Эйлера, метод трапеций, Метод Хьюна). Исправленный метод Эйлера, его достоинства и недостатки.

3. Методы решения задачи Коши с помощью формулы Тейлора.Исправленный метод Эйлера, его достоинства и недостатки. Методы Рунге-Куттакак способ модификации исправленного метода Эйлера.Вывод формул семейства методов Рунге-Кутта первого и второго порядка. Геометрическая интерпретация метода Рунге-Кутта второго порядка. Формулы для семейства методов Рунге-Кутта четвёртого порядка. Рекомендации по использованию методов Рунге-Кутта. Свойства сходимости и точности методов Рунге-Кутта.

4. Многошаговые методы Адамса.Экстраполяционный метод Адамса, подходы к оценке его точности. Интерполяционный метод Адамса и его частные случаи. Предиктор-корректорные методы Адамса, осуществление пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

5. Метод Милна. Первая и вторая формула Милна, их роль в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

6. Разностные аппроксимации задачи Коши. Разностный способ решения задачи Коши. Разностные схемы на основе аппроксимации первой производной. Понятие устойчивости вычислительного процесса и сходимости разностной схемы. Локальные и глобальные ошибки вычислительных процессов решения начальных задач для ОДУ. Связь локальной и глобальной ошибки. Оценка глобальной ошибки численной схемы решения задачи Коши для ОДУ на основе метода Эйлера.

7. Задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Сведение дифференциальных уравнений высших порядков к соответствующим задачам Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Дата добавления: 2015-09-14 ; просмотров: 10280 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

📽️ Видео

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Метод ЭйлераСкачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать

7.4 Многошаговые методыСкачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Методы Адамса. Метод Эйлера. Симметричная схема. Разностная схема. Численные методы. Лекция №10Скачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Численные методы. Лекция 12: Методы АдамсаСкачать

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Часть 1Скачать

Лекция 13, Численные методы решения ОДУСкачать

Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать

3_05. Многошаговые алгоритмы решения ОДУСкачать

Численные методы. Лекция 15: оценка погрешности явного метода АдамсаСкачать

Лекция 6. Вложенные методы Рунге-Кутты и методы Адамса. 26.03.2020Скачать

6.4 Явные методы Рунге-КуттыСкачать