Видео:Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ численные методы решения — методы решения уравнений гиперболич. типа на основе вычислительных алгоритмов.
Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют тонные аналитич. решения только в редких случаях. Наиболее распространенными являются численные методы. Они находят широкое применение при решениях задач механики сплошной среды и, в частности, уравнений газовой динамики (см. Газовой динамики численные методы), к-рые по своей структуре являются квазилинейными.
Численные методы решения уравнений гиперболического типа можно разделить на две группы: 1) методы с явным выделением особенностей решения; 2) методы сквозного счета, в к-рых особенности решения явно не выделяются, а получаются в процессе счета как области с резким изменением решений.
К первой группе относится, напр., метод характеристик, к-рый используется только для решения уравнений гиперболич. типа (он нашел широкое применение при решении задач газовой динамики).
Методы второй группы дают собственно разностные схемы. Пусть, напр., имеется гиперболич. уравнение
где А есть (m × m)-матрица, имеющая m разлинных действительных собственных значений, w = w(x, t) -вектор-функция с m компонентами. Матрица А может быть либо функцией от х, t, и тогда (1) есть линейная гиперболич. система, либо зависеть также от w = w(x, t) (квазилинейная система). Пусть, в последнем случае, система уравнений (1) приводима к дивергентному виду
где F есть вектор-функция от w, х, t такая, что А = dF/dw, ψ — вектор-функция от w, х, t. В наиболее важном случае A, F и ψ зависят только от w. Для системы уравнений (1) может быть поставлена задача Коши:
с соответствующими краевыми условиями.
Как правило, основой построения разностных схем является аппроксимация соответствующего дифференциальному уравнению интегрального закона сохранения с помощью некоторых квадратурных формул на контуре интегрирования разностной ячейки. В случае гладких решений аппроксимация интегрального закона сохранения равносильна прямой аппроксимации соответствующего дифференциального уравнения. Разностные схемы должны удовлетворять требованиям аппроксимации и устойчивости. Эти требования независимы и в определенном смысле вступают в противоречие одно с другим. Для случая дивергентных систем дифференциальных уравнений существенным является условие дивергентности (или консервативности) разностной схемы. Кроме того, разностные схемы должны удовлетворять еще ряду необходимых требований — диссипативности, экономичности и т. д. Двухслойная явная разностная схема для линейного уравнения типа (1) имеет вид:
где Λ — финитный оператор, т. е. представляется в виде:
Вα есть (m × m)-матрицы с коэффициентами, зависящими от τ, h, х, t; t = nτ, x = jh; τ, h — шаги разностной сетки по осям t и х соответственно; числа q1 и q2 не зависят от τ, h; א = τ/h, Т1 — оператор сдвига по х.
Условия аппроксимации приводят к соотношениям:
I — единичная матрица.
Неявная разностная схема может быть записана в виде:
где Λ1 и Λ0 — финитные операторы:
В k α есть (m × m)-матрицы, зависящие от τ, h, х, t, причем оператор Λ1 содержит по крайней мере две ненулевые матрицы В 1 α. Оператор Λ1 предполагается обратимым, но его обратный не является финитным.
По свойствам аппроксимации разностные схемы можно подразделить на два класса: условно аппроксимирующие и абсолютно аппроксимирующие. Условно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при τ, h, стремящихся к нулю при нек-рой зависимости между τ и h : τ = φ(h). Абсолютно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при стремлении τ, h к нулю по любому закону.
В случае условной аппроксимации разностное уравнение может аппроксимировать различные дифференциальные уравнения при различных законах предельного перехода. Так, напр., для уравнения
рассмотрим две разностные схемы:
При законе предельного перехода
разностная схема (3) аппроксимирует уравнение (2), а при законе предельного перехода
Разностная схема (4) аппроксимирует уравнение (2) абсолютно.
Аналогично, разностные схемы подразделяются на условно устойчивые и абсолютно устойчивые. Так, разностная схема (4) устойчива, если выполнено следующее условие (условие Куранта):
т. е. условно устойчива. С другой стороны, неявная разностная схема
устойчива при любых соотношениях между τ и h, т. е. абсолютно устойчива.
Явные разностные схемы просты в реализации, но являются или условно устойчивыми или условно аппроксимирующими. В случае абсолютно аппроксимирующей разностной схемы условие устойчивости явной схемы имеет, как правило, вид
τ ≤ const ⋅ h β (β ≥ 1),
что приводит к излишне мелкому шагу τ и неоправданному увеличению объема вычислений. Абсолютно устойчивые и абсолютно аппроксимирующие схемы находятся только в классе неявных схем.
Неявные разностные схемы более сложны в реализации при переходе с одного временного слоя на другой, но зато шаг τ может быть выбран сколь угодно большим и тем самым может определяться исключительно требованием точности.
Теоремы сходимости для разностных схем, аппроксимирующих линейные дифференциальные уравнения, позволяют сводить исследование сходимости разностной схемы к исследованию ее устойчивости.
Исследование аппроксимации разностной схемы соответствующего гиперболич. уравнения сравнительно просто в случае гладких решений, носит локальный характер и по существу сводится к разложению в ряд Тейлора; в случае же разрывных решений это — сложная задача, сводящаяся к проверке интегральных законов сохранения. Исследование устойчивости является значительно более сложной задачей.
Для разностных схем, аппроксимирующих гиперболич. уравнения с постоянными коэффициентами, устойчивость исследуется методом Фурье, а именно, оценивается норма образа Фурье оператора шага разностной схемы. Так как спектральный радиус матрицы образа Фурье оператора шага не превосходит нормы матрицы, то отсюда следует необходимый критерий устойчивости: для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектральный радиус образа Фурье оператора шага не превосходил величины 1 + O(τ), где τ — шаг разностной схемы по оси t. Это условие является необходимым и для разностных схем с переменными коэффициентами и при ряде дополнительных ограничений является достаточным условием устойчивости разностной схемы. Для исследования устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами, а также для нек-рых нелинейных уравнений применяются: метод мажорантных или априорных оценок; локальный алгебраич. метод.
Метод априорных оценок аналогичен соответствующему методу для дифференциальных уравнений, но в разностном случае его реализация встречает большие трудности, что связано со спецификой разностного анализа, в к-ром, в отличие от априорных оценок в теории дифференциальных уравнений, многие соотношения принимают громоздкий вид.
Простейшей мажорантной оценкой является оценка для разностных схем с положительными коэффициентами.
Напр., пусть для уравнения (2) с а = а(х) рассматривается разностная схема:
Тогда при условии
Отсюда следует равномерная устойчивость схемы (5) в пространстве С. Оценка переносится на разностные схемы, аппроксимирующие гиперболич. системы уравнений в инвариантах.
Весьма важный, хотя и ограниченный класс разностных схем составляют разностные схемы с положительными коэффициентами и матрицами (так наз. мажорантные схемы). Если коэффициенты таких разностных схем есть симметричные, положительные матрицы, липшиц-непрерывные по х, то такие схемы устойчивы в пространстве L2. Как правило, это разностные схемы первого порядка аппроксимации, в к-рых производные аппроксимируются односторонними разностями. При аппроксимациях более высокого порядка, когда берутся центральные разности, как правило, положительные коэффициенты не получаются. В этом случае используют априорные оценки более общего типа в пространствах W p 2.
Пусть, напр., (1) — система уравнений акустики, где
причем функции а(х, t), u(х, t), v(x, t) периодичны по х с периодом 2π. Априорная оценка для разностной схемы
Приведенная оценка доказывает устойчивость разностной схемы (6) и аналогична энергетич. неравенству для системы уравнений акустики.
В основе локально алгебраич. метода лежит изучение свойств локального разностного оператора, получаемого из соответствующего разностного оператора с неременными коэффициентами «замораживанием» коэффициентов. Тем самым анализ устойчивости разностного оператора с переменными коэффициентами заменяется анализом целого семейства операторов с постоянными коэффициентами. Локальный критерий устойчивости является обобщением метода «замораживания» коэффициентов, используемого в теории дифференциальных уравнений.
К локальному критерию устойчивости примыкает диссипативный критерий устойчивости. Разностная схема наз. диссипативной порядка ν (ν — четное число), если существует такое δ > 0, что
где ρ — максимальное по модулю собственное число матрицы перехода (образ Фурье оператора шага) разностной схемы, k — дуальное переменное. Тогда, если разностная схема имеет порядок аппроксимации 2r + 1 (2r + 2), r = 0, 1, 2, . и является диссипативной порядка 2r + 2(2r + 4), то для гиперболических систем дифференциальных уравнений 1-го порядка с эрмитовыми матрицами разностная схема будет устойчива в L2.
При исследовании устойчивости разностных схем для нелинейных гиперболич. уравнений (в частности, уравнений газовой динамики) применяется метод дифференциального приближения, к-рый заменяет анализ разностной схемы анализом ее дифференциального приближения.
Например, дифференциальное приближение разностной схемы (4) для уравнения (2) строится следующим образом: разложение в (4) функции
в ряды Тейлора относительно точки x = jh, t = nτ по параметрам τ и h приводит к Г-форме дифференциального представления разностной схемы:
Исключение в (7) производных
приводит к П-форме дифференциального представления разностной схемы (4):
где Cl — некоторые коэффициенты, зависящие от τ, h, а; причем Cl = O(τ l-1 , h l-1 ). Исключение в (7) и (8) членов порядка О(τ 2 , h 2 ) приводит соответственно к Г-форме первого дифференциального приближения разностной схемы (4):
и к П-форме первого дифференциального приближения разностной схемы (4):
В линейном случае для ряда разностных схем показано, что из корректности первого дифференциального приближения следует устойчивость соответствующей разностной схемы. Так, в рассмотренном выше случае разностной схемы (4) корректность уравнения (9) означает, что C2 ≥ 0, т. е. выполнено необходимое и достаточное условие аτ/h ≤ 1 устойчивости схемы (4). Члены с четными производными в уравнении (8) ответственны за диссипативные свойства разностной схемы, а с нечетными производными — за дисперсионные свойства разностной схемы.
Под диссипацией разностной схемы (4) понимается величина
— множитель усиления схемы; под дисперсией разностной схемы (4) — величина
Диссипативные члены в (8) определяют свойства аппроксимационной вязкости схемы (т. е. некоторого механизма сглаживания в разностной схеме). На вид диссипативных членов влияют как искусственные диссипативные члены, вводимые в исходное дифференциальное уравнение, так и структура самой разностной схемы. Первое дифференциальное приближение дает главный член аппроксимационной вязкости. Метод дифференциального приближения широко используется при исследовании разностных схем для нелинейных уравнений и позволяет объяснить эффекты неустойчивости разностных схем, наблюдаемые в конкретных расчетах и не улавливаемые локально методом Фурье.
Основой построения разностных схем в многомерных случаях являются методы расщепления (слабой аппроксимации) и дробных шагов, позволяющие сводить интегрирование исходного многомерного уравнения к интегрированию уравнений более простой структуры (см. Дробных шагов метод).
Получают развитие методы решения гиперболич. уравнений, основанные на методе конечных элементов, к-рый можно рассматривать как разностный метод на специальной нерегулярной сетке.
Лит.: [1] Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы, М., 1973; [2] Рихтмайер Р., Мор-тон К., Разностные методы решения краевых задач, пер. с англ., М., 1972; [3] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений. М., 1968; [4] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [5] Яненко Н. Н., Шокин Ю. И., «Сиб. матем. ж.», 1969, т. 10, № 5, с. 1173-87; [6] Сердюкова С. И., «Докл. АН СССР», 1973, т. 208, № 1, С. 52-55.
Ю. И. Шопин, Н. Н. Яненко.
- Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.
Видео:численные методы решения квазилинейных уравнений гиперболического типаСкачать
Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа
Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет
NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 77
CC BY-NC
Видео:Метод ЭйлераСкачать
Аннотация
В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.
Видео:2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать
Ключевые слова
Видео:3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристикСкачать
Текст научной работы
Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению
где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид
которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].
В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:
Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.
Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик
где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=frac<e^>>0
. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.
Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:
📸 Видео
Численные методы для систем уравнений гиперболического типаСкачать
Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать
МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать
6-2. Метод сетокСкачать
5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать
Лекция 13, Численные методы решения ОДУСкачать
Вычислительная математика 24 Квазилинейные уравнения гиперболического типаСкачать
Классические точные аналитические методы решения уравнений гиперболического и параболического типаСкачать
Численные методы. Лекция 9: численные методы решения дифференциальных уравненийСкачать
Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать
Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать
Разностные схемы для численного решения уравнений гиперболического типаСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать