Численное решение стохастических дифференциальных уравнений на примере задач диффузионной динамики (3 видео)

Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

Вычислительный центр им. РАН,

Свентокшиская Академия в Кельцах, Польша

АНАЛИЗ ЯВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Рассматриваются основные принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Анализируется проблема жесткости систем СДУ. Для одномерного СДУ Ито сравнивается точность аппроксимации существующих явных численных методов.

Анализ и синтез стохастических динамических систем часто связан с использованием численного решения СДУ. Для ряда задач таких, как фильтрация, идентификация, прогнозирование и оптимальное управление, интегрирование численного решения СДУ должно выполняться в реальном времени и, кроме того, с определенной точностью и устойчивостью. В связи с этим возникает ряд проблем. С одной стороны, очень не многие СДУ имеют аналитические решения (в основном это – линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным [1]), а с другой – физические особенности реальных динамических систем [2] приводят к проявлению жесткости, что неудовлетворительно влияет на получаемое численное решение. Поэтому особо важным этапов при проектировании стохастической динамической системы является выбор схемы численного решения СДУ.

2. Принципы построения численных методов решения

стохастических дифференциальных уравнений

В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения СДУ. Одной из возможностей является адаптация существующих для обыкновенных дифференциальных схем (ОДУ) схем с учетом свойств стохастических интегралов, другой – разработка специальных методов решения СДУ [3]. Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруямой в 1955г [3]. Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости ), но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т. п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 1).

По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в ряд в точке аппроксимации, т. е. использования производных различных порядков, как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии. В литературе этот подход получил название метода Тейлора [3]. Однако недостатком схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительные трудности можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта [4]) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы [5 – 7]).

Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.

Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера. Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени и также приводит к накоплению ошибки округления. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов (прежде всего это характерно для некорректных задач). Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т. п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.

Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Ваннером [8]. В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на заранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы не приемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теореме единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.

Итак, анализ принципов создания численных схем решения СДУ показал необходимость тщательного исследования существующих и, возможно, поиска новых методов, при решении конкретных задач.

3. Явные сильные численные схемы

Запишем СДУ в представлении Ито в общем виде

, , (3.1)

где — -мерный вектор состояния системы с начальным условиями ; —мерный процесс Винера; и — непрерывно дважды дифференцируемые функции дрейфа и диффузии; — мерный вектор параметров.

Получение сильного решения СДУ (3.1) является важным моментом во многих практических задачах, целью работы является сравнительный анализ существующих сильных явных численных методов решения СДУ.

Рассмотрим наиболее распространенный в финансовой литературе случай [9, 10] – случай одномерного уравнения (3.1), используя схемы: Эйлера, Мильштейна, Тейлора, Рунге-Кутта и двухшаговую [3]. В одномерном случае схема Эйлера имеет вид:

, (3.2)

где и ().

Схема Мильштейна, обладающая порядком сильной сходимости , представляется как

, (3.3)

схема Тейлора порядка :

(3.4)

а двухшаговая схема порядка :

, (3.5)

Схема Рунге-Кутта, где порядок сходимости , может быть задана как

(3.6)

, , ,

4. Сравнение схем по критерию абсолютной ошибки

Оценка качества аппроксимации той или иной численной схемы обычно связана с главной целью проводимого исследования или интерпретацией получаемого решения. Поскольку решение СДУ может быть решением в сильном или слабом смысле, то введение критерия качества аппроксимации должно учитывать этот факт. В работе рассматривается случай сильного решения СДУ, поэтому в такого критерия можно использовать критерий «абсолютной ошибки» или математическое ожидание абсолютного значения меры близости между результатом аппроксимации и аналитическое решением СДУ (3.1) на конце интервала интегрирования :

, (4.1)

где — оператор математического ожидания.

Заменим теоретическое значение критерия «абсолютной ошибки» (4.1) его статистическим аналогом, основываясь на моделировании Монте-Карло. Для этого предположим, что имеются по траекторий аналитического и численного решения процесса, описываемого СДУ, на конце интервала интегрирования . Обозначим их соответственно как и , тогда статистический аналог критерия (4.1) есть

(4.2)

Сравним вышеописанные схемы по критерию абсолютной ошибки. В качестве первого тестового примера исследуем линейное СДУ с постоянными однородными коэффициентами

, (4.3)

аналитическое решение которого имеет вид

Вторым тестовым примером является нелинейное СДУ Ито вида

с дифференцируемой функцией и общим решением

, где .

В частности, для уравнения

(4.4)

аналитическое решение есть

Выполним вычислительные эксперименты с использованием компьютера типа IBM PC с процессором AMD Athlon (TM) XP 3000+ для тестовых уравнений (4.3) и (4.4), используя численные схемы (3.2) – (3.6) и исследуя зависимость между длиной шага интегрирования , количеством траекторий и точностью аппроксимации (4.2). Результаты вычислений приведены в таблицах 1 – 3, проанализируем их, используя усредняющий критерий (4.2).

Для первого и второго тестовых уравнений (см. табл.1 и табл.2) при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем.

Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ [11] (см. табл.3). Удалось рассчитать значение абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы.

Таблица 1. Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.3) (, , , )

Длина шага интегрирования,

Содержание

Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений Мухаметова Гульнара Зуфаровна
Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных
Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами
Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных
Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ
💡 Видео

Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений Мухаметова Гульнара Зуфаровна

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Мухаметова Гульнара Зуфаровна. Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений : Дис. . канд. физ.-мат. наук : 05.13.18 : Уфа, 2004 100 c. РГБ ОД, 61:05-1/463

Содержание к диссертации

Глава 1. Математическое моделирование фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений 11

1.1. Основные обозначения и сведения 11

1.2. Постановка задачи фильтрации диффузионных процессов 21

1.3. Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных 26

1.4. Одномерные линейные стохастические дифференциальные уравнения и их детерминированные аналоги 29

1.5. Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами 35

1.6. Явные формулы для решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом 41

1.7. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных 45

1.8. Построение решений задачи фильтрации диффузионных процессов с использованием решений систем дифференциальных уравнений в частных производных 62

Глава 2. Разработка математического аппарата для решения задачи фильтрации диффузионных процессов 70

2.1. Некоторые сведения о симметричных интегралах 70

2.2. Симметричные интегралы и замена переменных 71

2.3. Замена переменных в расширенных симметричных интегралах 73

2.4. Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации 84

Введение к работе

Многие математические и технические задачи допускают следующую математическую постановку в терминах теории случайных процессов. На некотором вероятностном пространстве (ГІ, F, Р) задан частично наблюдаемый случайный процесс Zt = (Xt,Yt), t > 0, у которого наблюдаться может лишь вторая компонента Yt, t > 0. В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях Y^j = <Y_s , 0 . Эта задача оценивания (иначе — задача фильтрации) Xt по У[о,*] и является предметом рассмотрения настоящей работы.

Хорошо известно, что если EXf ,s F^).

В общем случае эта оценка нелинейно зависит от наблюдений и называется фильтром. Формула Байеса для условного математического ожидания дана в [50] для случая, когда Xt и наблюдаемый «шум» независимы, однако она полезна только для случая фиксированного t. Когда наблюдения поступают непрерывно (как это и происходит в большинстве приложений), то требуется оценка, которую можно непрерывно корректировать, чтобы учитывать новые данные. Формула Байеса не позволяет проводить рекурсивных вычислений подобного рода, так как оценку в момент времени t нельзя эффективно использовать для вычисления оценки в момент t—h. Практический метод, который является также и математически более приемлимым, состоит в том, чтобы вывести стохастическое дифференциальное уравнение для вычисления фильтра и использовать стохастическое исчисление Ито.

В 40-х годах XX века японский математик К.Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (см. [45]), за которыми впоследствии укрепилось название «стохастические уравнения Ито». В дальнейшем теория уравнений Ито бурно развивалась и продолжает развиваться в настоящее время. С ее современным состоянием можно ознакомиться по монографиям И.И.Гихмана, А.В.Скорохода [5], К.Ито, Г.Маккина [12], Н.В.Крылова [17], Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева [20], С.Ватанабе, Н.Икеды [1] и др.

Первоначально уравнения Ито предназначались для описания на вероятностном языке диффузии в газах и жидкостях (первые варианты такого описания были получены в работах Л.Башелье [37], А.Эйнштейна, М.Смолуховского [35], Н.Винера [63], И.И.Гихмана [4], [5] и др.) Однако впоследствии оказалось, что они являются очень удобным аппаратом для решения многих других физических и инженерных задач. В частности, эти уравнения с успехом применяются в теории управления динамическими системами по неполным данным (см., например, [14], [19], [33]).

Одним из важнейших этапов управления по неполным данным и является «фильтрация» — выделение полезной информации из комбинации » сигнал»+» шум». Эта задача принадлежит к числу классических задач статистики случайных процессов. Первые замечательные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А.Н.Колмогоровым [15] и Н.Винером [64]. После появления работы Р.Калмана и Р.Бьюси [51] в 60-70-х годах XX века бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито.

Значительные результаты этой теории были получены Р.Ш.Липшером и А.Н.Ширяевым. В монографии [20] этих авторов подробно рассмотрены вопросы оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерполяции, экстраполяции, последовательного оценивания,

различения гипотез и т. п.) для случая непрерывного времени. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для условно-гауссовских процессов (в, ) получена замкнутая система уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удается эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Помимо фильтрации, в [20] изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации. Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез).

Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации, применимый к процессам, которые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, так называемый метод Калмана-Бьюси (см. [20]).

Известно (см. [30]), что решение задачи фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к совершенно новому типу, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных.

Как выяснилось, теория фильтрации не обладает монополией на использование уравнений такого типа. Они возникают во многих областях

знания: физике, химии, биологии и других.

Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в монографии Б.Л.Розовского [30]. Общий метод решения таких уравнений был предложен Ф.С.Насыровым [27]. Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов [26], которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоновича. Ф.С.Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения Ито в частных производных к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных. Ранее в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны (см. [1]).

В настоящей работе для решения задачи фильтрации диффузионных процессов применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стилтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича.

Цель и задачи исследований. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В работе решались следующие задачи.

1. Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.

Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе диссертации в п. 1.1-1.3 даются основные сведения о теории стохастических дифференциальных уравнений, рассматривается математическая модель фильтрации диффузионных процессов и дается постановка задачи фильтрации.

В п. 1.4-1.5 дается вывод формул для явных решений стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных в одномерном случае.

В п. 1.6 выводятся явные формулы для решения линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом.

В п. 1.7 рассматриваются нелинейных стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и строится явное решение для одного случая.

Основной результат работы приведен в п. 1.8, где строятся явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов.

Во второй главе разрабатывается математический аппарат, используемый для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В п. 2.1 даются основные сведения о симметричных интегралах. В п. 2.2-2.3 показаны некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах. В п. 2.4 дано решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

На защиту выносятся следующие результаты:

Аналитический метод построения явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и способ получения явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

Некоторые способы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.

Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации полезного сигнала на фоне шума.

Методы исследований. Методы исследования опираются на методы теории стохастических дифференциальных уравнений; теории вероятностей; теории случайных процессов; теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, а также на аппарат теории локальных времен.

Научная новизна результатов. Новым является аналитический метод и полученное с его помощью решение задачи фильтрации диффузионных процессов, путем сведения решения данной задачи к некоторой системе (неслучайных) дифференциальных уравнений. Данный метод также применим для решения других видов стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.

Новыми являются формулы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, позволяющие в некоторых случаях упростить уравнение для фильтрационной плотности распределения диффузионного процесса.

Новым является решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации полезного сигнала на фоне шума.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое и практическое значение. Полученные результаты теории фильтрации могут найти широкое применение к разнообразным задачам статистики случайных процессов. В частности, к таким задачам, как задача фильтрации полезного сигнала на фоне шума, задача линейного оценивания и задача управления. Методы и результаты диссертации также могут быть использованы в теории стохастических дифференциальных уравнений, в теории симметричных интегралов, а так же в других областях знания, где стоит задача выделения полезного сигнала на фоне шума.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в девяти публикациях, среди которых четыре статьи автора ([66], [69], [70], [71]), четыре публикации тезисов докладов ([65], [67], [68], [73]) и одна статья в соавторстве ([72]).

Апробация работы. По основным результатам были сделаны доклады:

На Международной Молодежной научной школе-конференции (Казань, 2002).

На Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, МГУ, 2003).

На Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2004).

На Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи, 2004).

На математических семинарах УГАТУ, БГПИ, ВолГУ, РГСУ.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных

Стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных называются уравнения вида А(и,ш) = О, где A(.,cv) — интегро-дифференциальный оператор, содержащий частные производные, а си -переменная, символизирующая случай. Будем исследовать эволюционные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и их потраекторные аналоги, т. е. уравнения вида где L и M — интегро-дифференциальные операторы (по х), v(t) — либо стандартный (возможно, многомерный) винеровский процесс, либо произвольная непрерывная функция неограниченной вариации, а само равенство (1.2.2) понимается в смысле стохастического дифференциального исчисления Ито. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных возникают во многих задачах из различных областей естествознания, более того, к ним приводят важные задачи теории случайных процессов. Приведем некоторые из них.

Уравнение фильтрации. Пусть наблюдается смесь «сигнал» (х()) плюс «шум» (w(t)). Задачей фильтрации называют задачу, состоящую в оценке ненаблюдаемого сигнала x(t) или некоторой функции от него по наблюденной траектории y(s) = x(s) + w(s) при s t.

Видео:Численное решение дифференциальных уравнений (задачи Коши)Скачать

Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами

Таким образом, найдены некоторые способы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.

Рассмотрим задачу фильтрации в следующей постановке. Пусть Y(t) = X(t) + w(t), где X(t) — полезный сигнал (гладкая функция), w(t) — так называемый «шум», например, некоторый случайный процесс, обладающий локальным временем. Надо оценить значения X(t) по наблюдаемым значениям Y(t). В некоторых случаях бывает полезным узнать, обладает ли выходной сигнал X(t) + w(t) локальным временем, поскольку локальное время может дать дополнительную информацию о поведении выходного сигнала.

Пусть (s), s Є [0,1], — вещественнозначная борелевская функция. Ниже удобно интерпретировать переменную s как время. Обозначим через т(-) произвольную меру на сг-алгебре /3([0,1]). Рассмотрим (см. [25]) функцию распределения: Определение 2.4.1. Если при каждом t мера $f(-) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега А(-), то производная Радона — Никодима a(t,u) = (и) называется локальным временем функции v(s). Локальное время a(t,и), если оно существует, при каждом фиксированном t есть плотность времени пребывания. Это означает, что при каждом х Є R справедливо следующее равенство: Из определения локального времени следует, что для любой ограниченной (или знакопостоянной) борелевской функции f(s,u) справедливо равенство Так как функция a(t,u) при каждом t определяется с точностью до множества нулевой лебеговой меры, то естественным является вопрос о выборе «хорошего» варианта (версии) локального времени. Оказывается, можно всегда считать, что локальное время a(t, и) измеримо как функция двух переменных и является при каждом и неубывающей непрерывной справа функцией по t; меру на сг-алгебре борелевских множеств /3([0,1]) отрезка [0,1], которую она порождает, мы будем обозначать a(dt,u).

Известно, что локальные времена содержат ценную информацию о поведении исходной функции.

Решение задачи возмущения для случайного процесса броуновского движения vt = v(t,u)) приведено в работе П.-А.Мейера ([60]): пусть wt -случайный процесс, согласованный с сг-алгебрами броуновского движения vt, у которого почти все траектории являются функциями ограниченной вариации, тогда процесс vt + Wt обладает локальным временем; в данной работе используется техника стохастического интегрирования. В настоящей работе решена задача возмущения в более общей постановке.

Видео:6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать

Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных

Теперь дадим строгую математическую формулировку задачи фильтрации диффузионных процессов. Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс — это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени. Теория случайных процессов — это новейший раздел теории вероятностей, активно развивающийся начиная с 20-30-х годов XX века.

В 1829 году ботаник Р.Броун, наблюдая под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыль, обнаружил, что частицы пыли находятся в непрерывном беспорядочном движении. Закономерности, связанные с броуновским движением, были обоснованы теоретически А.Эйнштейном в 1905 году. Позднее Н.Винер построил строгую математическую модель, описывающую броуновское движение, которое называют еще и винеровским процессом. За пять лет до Эйнштейна в 1900 году Л.Башелье предпринял попытку описать стоимость акций как случайный процесс. Хотя его рассуждения не обладали математической строгостью и содержали ошибочное допущение, что цены акций могут быть отрицательными, он был первым, кто заметил, что при малых промежутках времени приращения цен акций ведут себя как некоторая случайная величина. И это позволило через 65 лет П.Самуэльсону для описания эволюции стоимости акций ввести так называемое геометрическое (он также писал «экономическое») броуновское движение.

Видео:Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в ExcelСкачать

Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации

Определение 2.4.1. Если при каждом t мера $f(-) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега А(-), то производная Радона — Никодима a(t,u) = (и) называется локальным временем функции v(s).

Локальное время a(t,и), если оно существует, при каждом фиксированном t есть плотность времени пребывания. Это означает, что при каждом х Є R справедливо следующее равенство: $Дж) = J a ujdu.

Видео:5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ

Кузнецова И.Ю.

Аспирант, Южный федеральный университет

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ

Анностация

В данной статье описан один из наиболее популярных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. В статье даны определение основной концепции, описание простейшего численного метода, а также понятие сходимости решений стохастических дифференциальных уравнений. Решениями являются непрерывные вероятностные процессы, что может быть использовано при прогнозировании процесса потребления энергоресурсов.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, численные методы, сходимость, порядок аппроксимации.

Kuznetsova I.Y.

Postgraduate student, Southern Federal University.

NUMERICAL SOLUTION OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION BY EULER-MARUYAMA METHOD

Abstract

In the article described one of the most popular numerical methods for solving stochastic differential equations. It includes a review of fundamental concepts, a description of elementary numerical methods and the concepts of convergence and order for stochastic differential equation solvers. The solutions will be continuous stochastic processes that can be used for prediction process of energy consumption.

Keywords: stochastic differential equations; numerical methods; convergence; order for solvers.

СДУ стали стандартными моделями финансовых величин, таких как цены активов, процентная ставка, и их деривативов. В отличие от детерминированных моделей, таких как обыкновенные дифференциальные уравнения, которые имеют единственное решение для каждого соответствующего начального условия, СДУ имеют решения, являющиеся стохастическими процессами с непрерывным временем. Методы численного решения СДУ основаны схожей технике решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но обобщены для обеспечения стохастической динамики.

Простейшим эффективным численным методом аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Метод Эйлера-Маруяма является аналогом метода Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику потребления электроэнергии в ВУЗе [2,3]:

(1)

с начальным условием

(2)

где — потребление энергоресурсов (электроэнергии), — данные по потреблению в начальный момент времени — функция, учитывающая сезонные изменения, σ — коэффициент, учитывающий изменения, носящие случайных характер, — винеровский процесс.

Зафиксируем равномерную сетку

где T — длина рассматриваемого временного промежутка, n — количество месяцев в рассматриваемом промежутке времени, Δt — шаг по времени.

Также введем следующие обозначения:

Проинтегрируем исходное уравнение (1) на промежутке . Получим

(3)

Переходя к конечным разностям из (3) и определения стохастического интеграла, имеем,

(4)

где — приращение винеровского процесса, которое, исходя из свойств винеровского процесса, можно записать в виде:

(5)

то есть ξ_i — случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Найдем порядок сходимости метода Эйлера-Маруямы для (1).

Говорят, что численное решение с шагом по времени сильно сходится к точному решению в момент времени T, если

В дальнейшем мы будем определять скорость сильной сходимости приближенного решения через понятие порядка. Решение СДУ сходится сильно с порядком m, если математическое ожидание ошибки имеет m-ый порядок от шага, то есть для любого момента времени T,

для достаточно малого размера шага . Это определение обобщает стандартные критерии сходимости для обыкновенных дифференциальных уравнений, и сводится к обычному определению, когда стохастическая часть уравнения обращается в нуль.

Воспользуемся разложением Тейлора-Ито на , которое для поставленной задачи запишется в виде:

(6)

Вычислив повторные интегралы, разложение (6) можно записать в виде:

Откуда получим, что

(9)

где — точное решение СДУ (1), а — численное решение СДУ (1) по методу Эйлера-Маруямы (4) в точке .

Хотя метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, метод Эйлера-Маруямы для стохастических дифференциальных уравнений имеет порядок 0,5. Этот факт доказан Гикхманом и Скороходовым в 1972 году.

На основании данных по потреблению электроэнергии за 2010-2011гг. общежитиями студенческого городка ЮФУ в г. Таганроге и предложенной модели (1) были получены следующие прогнозные значения потребления электроэнергии на 2012 год, которые были сравнены с данными по потреблению электроэнергии за тот же период.

При применении метода Эйлера-Маруямы (4) к модельному уравнению (1) были получены следующие результаты:

Рис. 1 – График потребления электроэнергии на 2012 г.

——— — прогнозные данные на 2012 г. по потреблению электроэнергии,

полученные с помощью метода Эйлера-Маруямы (2.27);

– – – – – – — реальные данные по потреблению электроэнергии за 2012 г.

Определение качества модели проводилось по следующим параметрам:

(10)

где — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (1), в i-ый момент времени.

где — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), n — длительность периода прогнозирования в месяцах.

где — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, n— длительность периода прогнозирования в месяцах.

Средняя относительная ошибка прогноза:

где — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (2.24), в i-ый момент времени,

где n — длительность периода прогнозирования в месяцах.

где — фактическое значение потребления электроэнергии в ш-ый момент времени, — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (1), в i-ый момент времени,

Полученные результаты представленным в таблице 1.

Метод Эйлера-Маруямы
Среднеквадратичное отклонение (нормированное)	0,167
Средний процент ошибки	10,2%
Средняя относительная ошибка прогноза	18,3%
Коэффициент детерминации	0,61
Индекс Тейла	0,123

На основании полученных результатов можно сделать вывод о применимости рассматриваемой модели (1) к прогнозированию потребления электроэнергии.

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений играют важную роль при анализе случайных процессов. Несмотря на то, что скорость сходимости к сильному решению для метода Эйлера-Маруямы составляет всего 0,5, его популярность в сфере финансов обусловлена тем, что он «прост» в построении разностной схемы и не требует большого объема вычислительных ресурсов. Это позволяет применять его для определения качества построенных моделей. Применение численных методов более высоких порядков ведет к резкому возрастанию необходимых вычислительных ресурсов, при этом точность прогноза может изменяться незначительно.

Литература

Андерсон Т. – Статистический анализ временных рядов, М.: «Мир», 1980.
Кузнецова И.Ю. Математическая модель прогнозирования энергопотребления // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — №4 — С. 121-125.
Кузнецова И.Ю. Математическая модель энергопотребления применительно к ВУЗу // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — Т.121 №8 — С. 183-186.
Кузнецова И.Ю.Численное решение стохастических дифференциальных уравнений в финансах // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — №4 — С. 175-184.
Turner Wayne C., Doty S., Energy management handbook // Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. — 6th ed., 2007. — 924 p.