Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Дипломная работа: Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

1.2 Волновые функции в импульсном представлении

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

2.2 Преобразование Фурье

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operatormethod)

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

4. Программная реализация численных методов средствами Java

4.1 Обзор языка программирования Java

4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе

Видео:4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать

4.2 Решение систем нелинейных уравнений. Методы

Список использованных источников

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и «необычным» математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(1.1)

где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора Численное решение нелинейного уравнения шредингераопределяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы Численное решение нелинейного уравнения шредингерав потенциальном поле U(r) оператор Численное решение нелинейного уравнения шредингерадействителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(1.2)

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции Численное решение нелинейного уравнения шредингерав любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

Численное решение нелинейного уравнения шредингераHЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера,(1.3)

то переход к классическому уравнению Гамильтона—Якоби для функции действия S

Численное решение нелинейного уравнения шредингераHЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера(1.4)

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию Численное решение нелинейного уравнения шредингераоператоров правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при Численное решение нелинейного уравнения шредингераволновой функцией

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,(1.5)

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию Численное решение нелинейного уравнения шредингера*, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию Численное решение нелинейного уравнения шредингераи вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,(1.6)

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора Численное решение нелинейного уравнения шредингера, получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

Численное решение нелинейного уравнения шредингера, (1.7)

где Численное решение нелинейного уравнения шредингера Численное решение нелинейного уравнения шредингераявляется плотностью вероятности, а вектор

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(1.8)

Видео:Урок 455. Уравнение ШрёдингераСкачать

Урок 455. Уравнение Шрёдингера

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию Численное решение нелинейного уравнения шредингеравсегда можно представить в виде

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

где Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингера— действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,

а плотность тока вероятности

Численное решение нелинейного уравнения шредингера.(1.9)

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций Численное решение нелинейного уравнения шредингера, у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции Численное решение нелинейного уравнения шредингерасостояние системы можно описать двумя вещественными функциями Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингера, удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию Численное решение нелинейного уравнения шредингераи отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера,

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид

Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера. [1]

1.2 Волновые функции в импульсном представлении.

Фурье-образ Численное решение нелинейного уравнения шредингераволновой функции Численное решение нелинейного уравнения шредингерахарактеризует распределение импульсов в квантовом состоянии Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Требуется вывести интегральное уравнение для Численное решение нелинейного уравнения шредингерас Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингераимеются два взаимно обратных соотношения.

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(2.1)

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(2.2)

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения Численное решение нелинейного уравнения шредингераи применить к нему операцию Численное решение нелинейного уравнения шредингера, то с учетом определения 3-мерной Численное решение нелинейного уравнения шредингера-функции,

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,(2.3)

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(2.4)

Предполагая, что волновая функция Численное решение нелинейного уравнения шредингераудовлетворяет уравнению Шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(2.5)

Подставляя сюда вместо Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингерасоответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной Численное решение нелинейного уравнения шредингерак интегрированию по переменной Численное решение нелинейного уравнения шредингера, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Интеграл по Численное решение нелинейного уравнения шредингераобращается в нуль при любом значении Численное решение нелинейного уравнения шредингералишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

Численное решение нелинейного уравнения шредингера.(2.6)

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала Численное решение нелинейного уравнения шредингерав качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал Численное решение нелинейного уравнения шредингерадолжен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как Численное решение нелинейного уравнения шредингера, где Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Необходимо отметить, что из условия нормировки

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(2.7)

Численное решение нелинейного уравнения шредингера.(2.8)

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции Численное решение нелинейного уравнения шредингера:

Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Если здесь сначала выполнить интегрирование по Численное решение нелинейного уравнения шредингера, то мы без труда получим соотношение (2.8).[2]

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.1)

где Численное решение нелинейного уравнения шредингераоператор полной энергии системы. Для одномерного случая

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.2)

где Численное решение нелинейного уравнения шредингера— волновая функция системы в момент времени Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера— оператор эволюции (пропагатор).

Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Так, в случае дискретного спектра Численное решение нелинейного уравнения шредингеравыражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера(3.3)

Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.

Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,(3.4)

здесь Численное решение нелинейного уравнения шредингераномер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Кроме того, для оценки действия оператора Численное решение нелинейного уравнения шредингерана функцию Численное решение нелинейного уравнения шредингеранужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.5)

дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)[3]

Видео:Пример. Численное решение радиального уравнения Шредингера (одноточечная разностная схема)Скачать

Пример. Численное решение радиального уравнения Шредингера (одноточечная разностная схема)

2.2 Преобразование Фурье

Начнем с комплексного ряда Фурье

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Рассмотрим случай LЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера.Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингера=g(y).Так как Численное решение нелинейного уравнения шредингеравозрастает каждый раз на единицу ,то

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингерагде Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера(4.1)

Величина Численное решение нелинейного уравнения шредингераназывается преобразованием Фурье от Численное решение нелинейного уравнения шредингераи наоборот. Положение множителя Численное решение нелинейного уравнения шредингерадовольно произвольно; часто величины Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингераопределяют более симметрично:

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера Численное решение нелинейного уравнения шредингера(4.2)

Выражения (4.1) или (4.2) можно скомбинировать следующим образом:

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(4.3)

Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции Численное решение нелинейного уравнения шредингераэто позволяет сделать интересный вывод об интеграле Численное решение нелинейного уравнения шредингеракак функции Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Он равен нулю всюду, кроме точки Численное решение нелинейного уравнения шредингера, а интеграл от него по любому промежутку ,включающему Численное решение нелинейного уравнения шредингера, равен единице, т.е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Обычно определяют Численное решение нелинейного уравнения шредингера Численное решение нелинейного уравнения шредингера(Дирака) Численное решение нелинейного уравнения шредингераследующим образом:

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера(4.4)

Из этих уравнений следует, что

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(4.5)

для любой функции Численное решение нелинейного уравнения шредингера, в случае если интервал интегрирования включает точку Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Проделанные выше операции над интегралами Фурье показали, что

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(4.6)

Это интегральное представление Численное решение нелинейного уравнения шредингерафункции.

Дельта – функцию можно использовать, чтобы выразить важный интеграл Численное решение нелинейного уравнения шредингерачерез преобразование Фурье (4.1) от Численное решение нелинейного уравнения шредингера:

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(4.7)

Это равенство называется теоремой Парсеваля. Она полезна для понимания физической интерпретации преобразования Фурье для Численное решение нелинейного уравнения шредингера, если известен физический смысл Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Предположим, что Численное решение нелинейного уравнения шредингерачетная функция. Тогда

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Заметим теперь, что Численное решение нелинейного уравнения шредингера— также четная функция. Поэтому

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(4.9)

Функция Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера,определенные теперь только для положительных Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингера, называются косинус — преобразованиями Фурье по отношению друг к другу.

Рассматривая преобразования Фурье нечетной функции, получаем аналогичные соотношения Фурье между синус — преобразованиями Фурье:

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера(4.10)

Если нужно, можно симметризовать выражения, поставив множитель Численное решение нелинейного уравнения шредингераперед каждым интегралом (4.7)-(4.10). [4]

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split-operator method)

Рассмотрим более подробно другой метод аппроксимации оператора эволюции, в котором отсутствуют недостатки, свойственные рассмотренной выше схеме. Здесь оператор эволюции аппроксимируется симметричным расщеплением оператора кинетической энергии (split-operator method)

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(5.1)

Основная погрешность данной аппроксимации связана с некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии. Вычисление действия такого оператора на волновую функцию включает следующие шаги. Преобразованная в импульсное представление волновая функция умножается на Численное решение нелинейного уравнения шредингераи преобразуется обратно в координатное представление, где умножается на Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Полученный результат снова преобразуется в импульсное представление, умножается на Численное решение нелинейного уравнения шредингерапреобразуется обратно в координатное представление. На этом один шаг по времени завершается. Переход от одного представления к

другому осуществляется посредством преобразования Фурье.

В данной курсовой работе используется Гауссов волновой пакет вида Численное решение нелинейного уравнения шредингера, а также ступенчатый потенциал. Сначала преобразуем нашу волновую функцию из координатного представления в импульсное

Численное решение нелинейного уравнения шредингера,(5.2)

затем умножим полученный результат на Численное решение нелинейного уравнения шредингера. На этом завершается половина временного шага. Полученный результат снова преобразуется в координатное представление

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(5.3)

и умножается на Численное решение нелинейного уравнения шредингера. После чего вновь преобразуется в импульсное представление

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(5.4)

и умножается на Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Завершается шаг по времени еще одним преобразованием полученной волновой функции в координатное представление

Численное решение нелинейного уравнения шредингера.(5.5)

Один шаг по времени завершен.

В данной работе этот метод реализован в среде Java, ниже приведены программный блок и полученные графики поведения волновой функции в различные моменты времени.

Важная особенность этого метода заключается в том, что действие каждого из операторов оценивается в их соответствующем локальном представлении.

С методической точки зрения ценность нестационарного подхода состоит в существенно большей наглядности и информативности результатов, по сравнению с результатами решения стационарного уравнения Шредингера. Круг задач, которые могут быть рассмотрены на основе решения нестационарного уравнения Шредингера очень разнообразен.

Видео:Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"Скачать

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"

Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим задачу о движении частицы в поле потенциального барьера. Хотя стационарный подход позволяет определить коэффициенты прохождения и отражения частицы он, однако, не позволяет рассмотреть реальную пространственно-временную картину движения частицы через потенциальный барьер, которая является существенно нестационарной. Рассмотрение задачи на основе решения нестационарного уравнения Шредингера позволяет не только сопоставить классический и квантовый подход к проблеме, но и получить ответы на ряд вопросов, представляющих значительный практический интерес (например, длительность процесса туннелирования, скорости прошедших и отраженных частиц и т.д.). Ниже мы приводим результаты решения нестационарного уравнения Шредингера для данной задачи. Начальное состояние частицы задано в виде пакета гауссовой формы, движущегося в направлении области действия потенциала. На графиках представлена временная картина туннелирования такого пакета через потенциальный барьер прямоугольной формы в виде «мгновенных снимков» волнового пакета в разные моменты времени. Как видно, при попадании пакета в область действия потенциала его форма нарушается в результате формирования отраженного волнового пакета и его интерференции с падающим на препятствие пакетом. Через некоторое время формируются два пакета: отраженный и прошедший через препятствие. Движение падающего и отраженного пакета можно сопоставить с движение классической частицы, положение которой совпадает с максимумом в распределении вероятности. В случае протяженного потенциала отраженный пакет «отстает» от отраженной от барьера классической частицы. Физически это связано с тем, что пакет частично проникает в классически запрещенную область, в то время как в классике отражение происходит строго в точке скачка потенциала. Образование же прошедшего пакета представляет собой сугубо квантовый эффект не имеющий классических аналогий.[3]

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x).

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.1)

Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках xmin , xmax потенциал становится бесконечно большим. Это означает, что в точках xmin , xmax расположены вертикальные стенки, а между ними находится яма конечной глубины.

Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение Шредингера (3.1) в виде:

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.2)

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.3)

С математической точки зрения задача состоит в отыскании собственных функций оператораЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера, отвечающим граничным условиям

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.4)

и соответствующих собственных значений энергии E.

Так как Численное решение нелинейного уравнения шредингерапри Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингерапри Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера, то можно ожидать, что собственному решению данной задачи соответствует собственная функция, осциллирующая в классически разрешенной области движения Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингераи экспоненциально затухающим в запрещенных областях, где Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера,Численное решение нелинейного уравнения шредингера, при Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера. Так как все состояния частицы в потенциальной яме оказываются связанными (т.е. локализованными в конечной области пространства), спектр энергий является дискретным. Частица, находящаяся в потенциальной яме конечных размеров Численное решение нелинейного уравнения шредингерапри Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингерапри Численное решение нелинейного уравнения шредингера, имеет дискретный спектр при Численное решение нелинейного уравнения шредингераи непрерывный спектр при Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

Традиционно для решении задачи о нахождении собственных значений уравнения Шредингера используется метод пристрелки. Идея метода пристрелки состоит в следующем. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Проинтегрируем уравнение Шредингера каким-либо известным численным методом на интервале Численное решение нелинейного уравнения шредингера. По ходу интегрирования от Численное решение нелинейного уравнения шредингерав сторону больших значений Численное решение нелинейного уравнения шредингерасначала вычисляется решение Численное решение нелинейного уравнения шредингера, экспоненциально нарастающее в пределах классически запрещенной области. После перехода через точку поворота Численное решение нелинейного уравнения шредингера, ограничивающую слева область движения разрешенную классической механикой, решение уравнения становится осциллирующим. Если продолжить интегрирование далее за правую точку поворота Численное решение нелинейного уравнения шредингера, то решение становится численно неустойчивым. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие Численное решение нелинейного уравнения шредингера, решение в области Численное решение нелинейного уравнения шредингеравсегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Отмеченное обстоятельство является общим правилом: интегрирование по направлению вовнутрь области, запрещенной классической механикой, будет неточным. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение Численное решение нелинейного уравнения шредингера, интегрируя уравнение (3.1) от Численное решение нелинейного уравнения шредингерав сторону уменьшенияЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера. Критерием совпадения данного значения энергии является совпадение значений функций Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингерав некоторой промежуточной точке Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Обычно в качестве данной точки выбирают левую точку поворота Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Так как функции Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингераявляются решениями однородного уравнения (3.1), их всегда можно нормировать так, чтобы в точке Численное решение нелинейного уравнения шредингеравыполнялось условие Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Помимо совпадения значений функций в точке Численное решение нелинейного уравнения шредингерадля обеспечения гладкости сшивки решений потребуем совпадения значений их производных Численное решение нелинейного уравнения шредингера

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.5)

Используя в (17) простейшие левую и правую конечно-разностные аппроксимации производных функций Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингерав точке Численное решение нелинейного уравнения шредингера, находим эквивалентное условие гладкости сшивки решений:

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.6)

Число Численное решение нелинейного уравнения шредингераявляется масштабирующим множителем, который выбирается из условия Численное решение нелинейного уравнения шредингераЕсли точки поворота отсутствуют, т.е. Численное решение нелинейного уравнения шредингераE>0, то в качестве Численное решение нелинейного уравнения шредингераможно выбрать любую точку отрезка Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота и, соответственно, три или более однородных решений, общее решение получается сшивкой отдельных кусков. В описанном ниже документе, для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка мы используем метод Нумерова. Для получения вычислительной схемы аппроксимируем вторую производную трехточечной разностной формулой:

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.7)

Из уравнения (3.1) имеем

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.8)

Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.9)

Разрешив (3.9) относительно Численное решение нелинейного уравнения шредингераили Численное решение нелинейного уравнения шредингера, найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по Численное решение нелинейного уравнения шредингераc локальной погрешностью Численное решение нелинейного уравнения шредингера. Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции Численное решение нелинейного уравнения шредингеравычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния Численное решение нелинейного уравнения шредингера— ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии — модуль минимального значения потенциала Численное решение нелинейного уравнения шредингера. В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид

Численное решение нелинейного уравнения шредингера(3.10)

Численное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингераЧисленное решение нелинейного уравнения шредингера(3.11)

Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий:

1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

2. Задать значение Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1).

4. Задать Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

5. Задать начальное значение энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

6. Задать конечное значение энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

7. Задать шаг изменения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингераслева направо на отрезке Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингерасправа налево на отрезке Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

10. Вычислить значения переменной Численное решение нелинейного уравнения шредингерадля значения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

11. Увеличить текущее значение энергии на Численное решение нелинейного уравнения шредингера: Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингераслева направо на отрезке Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингерасправа налево на отрезке Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

14. Вычислить значения переменной Численное решение нелинейного уравнения шредингерадля значения энергии Численное решение нелинейного уравнения шредингера.

15. Сравнить знаки Численное решение нелинейного уравнения шредингера, Численное решение нелинейного уравнения шредингера

16. Если Численное решение нелинейного уравнения шредингераи Численное решение нелинейного уравнения шредингера, увеличить текущее значение энергии на Численное решение нелинейного уравнения шредингераи повторить действия, описанные в пп. 8-17.

17. Если Численное решение нелинейного уравнения шредингера, уточнить методом линейной интерполяции.

18. Если Численное решение нелинейного уравнения шредингера, повторить действия, описанные в пп. 8-18.

19. Если Численное решение нелинейного уравнения шредингера, закончить вычисления.[5]

4. Программная реализация численных методов средствами Java

4.1 Обзор языка программирования Java

Java связан с C++, который является прямым потомком С. Многое в характере Java унаследовано от этих двух языков. От С Java получил его синтаксис. На многие из объектно-ориентированных свойств Java повлиял C++. Некоторые из определяющих характеристик Java происходят от его предшественников. Кроме того, создание Java глубоко внедрилось в процессы усовершенствования и адаптации, которые проявились в языках машинного программирования в течение последних трех десятилетий. Каждое новшество в проекте языка управлялось потребностью решить фундаментальную проблему, с которой не справились предшествующие языки. Java не является исключением.

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Internet помог катапультировать Java на передний край программирования, aJava, в свою очередь, имел глубокое влияние на Internet. Этому есть простое объяснение: Java разворачивает вселенную объектов, которые могут свободно перемещаться в киберпространстве. В сети две очень широких категории объектов передаются между сервером и вашим персональным компьютером — пассивная информация и динамические, активные программы. Например, когда вы читаете вашу электронную почту, то рассматриваете пассивные данные. Даже, когда вы загружаете программу, ее код — это все еще только пассивные данные до тех пор, пока вы их не начнете выполнять. Однако на ваш компьютер может быть передан объект второго типа — динамическая, самовыполняющаяся программа. Такая программа — активный агент на компьютере клиента, все же инициализируется сервером. Например, сервер мог бы предоставить (клиенту) программу, чтобы должным образом отображать данные, посылаемые клиенту.

С толь же желательными, как и динамические, являются сетевые программы. Они также порождают серьезные проблемы в области защиты и мобильности. До. Java, киберпространство было эффективно закрыто для половины объектов, которые теперь живут там. Кроме того, Java имеет дело с захватывающе новой формой программ — апплетами.

Java можно использовать, чтобы создать два типа программ — приложения и апплеты. Приложение — это программа, которая выполняется на вашем компьютере с помощью его операционной системы. То есть, приложение, с озданное с помощью Java, более или менее подобно приложению, созданному с использованием С или C++. При создании приложения Java не намного отличается от любого другого машинного языка. Более важной является способность Java создавать апплеты. Апплет — это приложение, разработанное для передачи по Internet и выполняемое совместимым с JavaWeb-браузером. Апплет — это, фактически, крошечная программа Java, динамически загружаемая через сеть, подобная изображению, звуковому файлу, или видеоклипу. Важное отличие заключается в том, что апплет является интеллектуальной программой, а не просто мультипликацией (анимацией) или media-файлом. Другими словами, апплет — это программа, которая может реагировать на ввод пользователя и динамически изменять, а не просто выполнять ту же самую мультипликацию или звук много раз.

Многоплатформная среда Web предъявляет экстраординарные требования к программе, потому что та должна выполниться надежно в самых разнообразных системах. Поэтому способности создавать устойчивые программы был дан высокий приоритет в проекте Java. Чтобы обеспечить надежность, Java ограничивает вас в нескольких ключевых областях, вынуждая рано находить ошибки при разработке программы. В то же самое время, Java освобождает от необходимости волноваться относительно многих из наиболее общих причин ошибок программирования. Поскольку Java — язык со строгой типизацией, он проверяет ваш код во время компиляции. Однако он также проверяет ваш код и во время выполнения. В действительности, множество трудно прослеживаемых ошибок, которые часто обнаруживаются в трудно воспроизводимых ситуациях во временя выполнения, просто невозможно создать в Java. Знание того, что программа, которую вы написали, будет вести себя предсказуемым образом при разных условиях, является ключевым свойством Java.

Чтобы лучше понимать, насколько устойчив Java, рассмотрим две из главных причин отказа программы: ошибки управления памятью и неуправляемые исключительные состояния (т. е. ошибки во время выполнения). Управление памятью может быть трудной и утомительной задачей в традиционных средах программирования. Например, на C/C++ программист должен вручную распределять и освобождать всю динамическую память. Это иногда ведет к проблемам, потому что программисты или забывают освобождать память, которая была предварительно распределена, или, хуже, пытаются освободить некоторую память, которую другая часть их кода все еще использует. Java фактически устраняет эти проблемы, управляя распределением и освобождением памяти. (Фактически, освобождение полностью автоматическое, потому что Java обеспечивает сборку «мусора» для неиспользованных объектов.) Исключительные состояния в традиционных средах часто возникают в ситуациях типа деления на нуль или «файл, не найден», и они должны управляться неуклюжими и трудно читаемыми конструкциями. Java помогает и в этой области, обеспечивая объектно-ориентированную обработку особых ситуаций. В хорошо написанной Java-программе все ошибки времени выполнения могут — и должны — управляться вашей программой.

Java был спроектирован так, чтобы выполнить реальное требование — создавать интерактивные сетевые программы. Чтобы выполнить это, Java поддерживает многопоточное программирование, которое позволяет вам писать программы, выполняющие одновременно несколько операций. Исполняющая система Java подходит с изящным и все же искушенным решением к синхронизации мультипроцесса, что дает возможность создавать гладко работающие интерактивные системы. Удобный в работе подход Java к многопоточности позволяет вам поразмыслить над спецификой поведения вашей программы, а не заботиться о многозадачной подсистеме.

Программы Java несут в себе существенное количество информации времени выполнения, которая используется, чтобы проверять и разрешать доступ к объектам в период работы программы. Это дает возможность динамически связывать код в безопасной и целесообразной манере, и имеет решающее значение для устойчивости среды апплета, в которой маленькие фрагменты байт-кода могут динамически обновляться исполнительной системой.

Все компьютерные программы состоят из двух элементов: кода и данных. Любая программа может быть концептуально организована либо вокруг ее кода, либо вокруг ее данных. Иначе говоря, некоторые программы концентрируют свою запись вокруг того, «что делается с данными» 1 , а другие — вокруг того, «на что этот процесс влияет» 2 . Существуют две парадигмы (основополагающих подхода), которые управляют конструированием программ. Первый подход называет программу моделью, которая ориентирована на процесс (process-orientedmodel). При этом подходе программу определяют последовательности операторов ее кода. Модель, ориентированную на процесс, можно представлять как кодовое воздействие на данные (codeactingondata). Процедурные языки, такие как С, успешно эксплуатируют такую модель. Однако, при этом подходе возникают проблемы, когда возрастает размер и сложность программ. Второй подход, названный объектно-ориентированным программированием, был задуман для управления возрастающей сложностью программ. Объектно-ориентированное программирование организует программу вокруг своих данных (т. е. вокруг объектов) и набора хорошо определенных интерфейсов (взаимодействий) с этими данными. Объектно-ориентированную программу можно характеризовать как управляемый данными доступ к коду (datacontrollingaccesstocode). Как вы увидите далее, переключая управление на данные, можно получить некоторые организационные преимущества. Опыт показывает, что отсутствие стандартных базовых библиотек для языка С++ чрезвычайно затрудняет работу с ним. В силу того, что любое нетривиальное приложение требует наличия некоторого набора базовых классов, разработчикам приходится пользоваться различными несовместимыми между собой библиотеками или писать свой собственный вариант такого набора. Все это затрудняет как разработку, так и дальнейшую поддержку приложений, затрудняет стыковку приложений, написанных разными людьми. Полная система Java включает в себя готовый набор библиотек, который можно разбить на следующие пакеты:

· java.lang — базовый набор типов, отраженных в самом языке. Этот пакет обязательно входит в состав любого приложения. Содержит описания классов Object и Class, а также поддержку многопотоковости, исключительных ситуаций, оболочку для базовых типов, а также некоторые фундаментальные классы.

· java.io — потоки и файлы произвольного доступа. Аналог библиотеки стандартного ввода-вывода системы UNIX. Поддержка сетевого доступа (sockets, telnet, URL) содержится в пакете java.net.

· java.util — классы-контейнеры (Dictionary, HashTable, Stack) и некоторые другие утилиты. Кодирование и декодирование. Классы Date и Time.

· java.awt — Abstract Windowing Toolkit, архитектурно-независимый оконный интерфейс, позволяющий запускать интерактивные оконные Java-приложения на любой платформе. Содержит базовые компоненты интерфейса, такие как события, цвета, фонты, а также основные оконные элементы — кнопки, scrollbars и т.д.. [6]

4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе

При реализации метода аппроксимации оператора эволюции средствами языка программирования Java 2, использовались основные элементы объектно-ориентированного программирования, позволяющие разбить программу на более мелкие структурные части, для дальнейшего совершенствования и настраивания ее под различные физические задачи. Использование технологии AWT позволило создать графический интерфейс, наиболее удобный и понятный различному кругу пользователей. В данной работе использовался модуль JSci.math предназначенный для проведения вычислений в специализированных физических и математических задачах. В качестве среды разработки данного программно приложения использовался Eclipse 3.2.

Видео:13.04.21 || Нелинейное уравнение Шрёдингера высокого порядкаСкачать

13.04.21 || Нелинейное уравнение Шрёдингера высокого порядка

Анимированный апплет позволяет получить наглядное решение нестационарного уравнения Шредингера в различные моменты времени с различными потенциалами. Также выполненный апплет может быть размещен на Internet-сервере и являться частью jsp-странички, что позволит использовать результаты его вычислений различным пользователям сети Internet, используя Internet-браузер для просмотра данной странички.


источники:

🌟 Видео

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.Скачать

Квантовая механика 41 - Уравнение Шредингера. Гамильтониан.

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший выводСкачать

Классические уравнения | уравнение Шрёдингера (координатное представление) | простейший вывод

Квантовая механика 47 - Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.Скачать

Квантовая механика 47 - Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.

Сущёв И. - Квантовая теория. Ч.2 - 1. Численные методы решения уравнения ШрёдингераСкачать

Сущёв И. -  Квантовая теория. Ч.2 - 1. Численные методы решения уравнения Шрёдингера

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.

Теория Бора. Гипотеза де Бройля. Принцип неопределенности. Уравнение Шрёдингера.Скачать

Теория Бора. Гипотеза де Бройля. Принцип неопределенности. Уравнение Шрёдингера.

Структура материи 6: уравнение Шрёдингера. Зачем нужна квантовая механика – Виталий Бейлин | НаучпопСкачать

Структура материи 6: уравнение Шрёдингера. Зачем нужна квантовая механика – Виталий Бейлин | Научпоп

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных Уравнений

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.

Нелинейные уравнения. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нелинейные уравнения. Практическая часть. 9 класс.

Лекция №4 "Волновая функция. Уравнение Шредингера" (Гавриков А.В.)Скачать

Лекция №4 "Волновая функция. Уравнение Шредингера" (Гавриков А.В.)

Лекции 5-6. Уравнение Шредингера и его приближенные решения. Межатомные.Скачать

Лекции 5-6. Уравнение Шредингера и его приближенные решения. Межатомные.

Уравнение Шредингера Стационарные состоянияСкачать

Уравнение Шредингера  Стационарные состояния
Поделиться или сохранить к себе:
Название: Численное решение уравнения Шредингера средствами Java
Раздел: Рефераты по физике
Тип: дипломная работа Добавлен 07:28:23 13 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 4081 Комментариев: 20 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать