Через фокус параболы y 2 4x проведена прямая под углом 120 написать уравнение прямой

Условие

5) Через фокус параболы у^2 = -x проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти длину образовавшейся хорды.

Решение

Каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=2px
2p=-1
p=-1/2

Координаты фокуса параболы — точки F(-1/4;0)
Уравнение прямой под углом 135 градусов к оси, это уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tg135 градусов =-1
имеет вид
у=-х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки F в это уравнение
0=-(-1/4)+b
b=-1/4

Найдем координаты точек пересечения прямой у =-х — (1/4) с параболой y^2=-x

(-x-(1/4))^2=-x
x^2+(x/2)+(1/16)=-x
x^2+3x/2+(1/16)=0
16x^2+24x+1=0
D=(24)^2-4*16=576-64=512
x1=(-24-16sqrt(2))/32 или x2=(-24+16sqrt(2))/32
x1=(-3-2sqrt(2))/4 или x2=(-3+2sqrt(2))/4
y1=(2+2sqrt(2))/4 или y2=(2-2sqrt(2))/4

|AB|=sqrt(4)=2

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Контрольная работа

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В ответах к задачам 2 и 3 записать название кривой и ее каноническое уравнение. В задаче 2 привести координаты центра для эллипса и гиперболы или координаты вершины для параболы.

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат, если 2a = 16,

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Фокусы эллипса, проходящего через точку P(8; 18/5), расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Малая полуось равна 6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку P и его фокусы.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Найти расстояние фокуса гиперболы от ее асимптот и угол между асимптотами.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Через фокус параболы y2 = — 4x проведена прямая под углом 120° к оси Ox. Написать уравнение прямой.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние одной из ее вершин от фокусов равны 9 и 1.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Эксцентриситет эллипса равен /2, а сумма расстояний одной из его точек до фокусов равна 4. Найти длину хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к его большой оси.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Фокусы гиперболы, проходящей через точку (8; 3), расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Мнимая полуось гиперболы равна 3. Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из правого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Дана парабола y2 = 6x. Через точку (4; 1) проведена хорда, которая делится пополам в этой точке. Найти уравнение этой хорды.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Найти каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами эллипса , а эксцентриситет равен 2.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ox

симметрично относительно начала координат, если 2c = 6, e = 3/5.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

2. y2 — 3x — 10y + 31 = 0. 3. 4x2 — 2xy + 6y= 0.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Кривые второго порядка на плоскости

Уравнение вида Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)	— каноническое уравнение эллипса	2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с 2 =а 2 -b 2 ; — эксцентриси-тет, 0 2 =а 2 +b 2 ; — эксцентри-ситет, e>1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые — асимптоты
3.	Парабола — множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой. Рис.6б 6б 31 х F х 2 =2py	у 2 =2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x 2 =2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б)	F — фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а) F — фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х 2 +100у 2 =3600.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36х 2 +100у 2 =3600, поделим обе части уравнения на 3600:

, a 2 =100, b 2 =36.

С= .

Эксцентриситет: .

Ответ: F_л(-8,0); F_п(8,0); =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х 2 +25у 2 =400 и точку М₀(1;-3) (рис.7).

Решение:

Приведем уравнение 16х 2 +25у 2 =400 к каноническому виду.

, a 2 =25, b 2 =16.

Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М:

.

Ответ: .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х 2 -16у 2 =144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).

Приведем уравнение 9х 2 -16у 2 =144 к каноническому виду , a 2 =16, b 2 =9.

Правый фокус гиперболы F_п(с,0);

С= .

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k₂x+b₂;

Значит, y=(3/2)x+b₂ проходит через точку F_п(5,0), то 0=(3/2)5+b₂Þb₂=-15/2. Итак, Û3x-2у-15=0.

Искомая прямая проходит через точку F_л(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х₀)+В(у-у₀)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х 2 +20у 2 =80, перпендикулярно прямой 2х—у+1=0 (рис.9).

Приведем уравнение к каноническому виду 4х 2 +20у 2 =80,

, a 2 =20, b 2 =4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).

Условие перпендикулярности двух прямых: k₁k₃=-1.

k₂=-1: k₁Þk₂=-1/2,

Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .

Итак, Þх+2у+4=0.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х—у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀) параллельно вектору , получим:

. У нас ; ;

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.

Правый фокус эллипса имеет вид F_п(с,0);

С= .

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;

Так как прямая проходит через точку F_п(3,0), то 0=3+bÞb=-3.

Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0	(x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0	D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости;	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
х0,y0,z0 – координаты данной точки	преобразованиями
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки	М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами	Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
Уравнение плоскости в отрезках на осях	а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc≠0

Пусть даны две плоскости a₁ и a₂:

Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

или .

Расстояние от точки до плоскости:

,

🎥 Видео

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Угловой коэффициент прямой. Решение задач.Скачать

Уравнение прямой.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

Фокус и директриса параболы 2Скачать

§25 Исследование канонического уравнения параболыСкачать

Фокус и директриса параболы 1Скачать

Уравнение параллельной прямойСкачать

Вычисление фокуса параболыСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Как написать уравнение параболы с помощью графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как определить уравнение параболы по графику?Скачать