Через фокус параболы y 2 4x проведена прямая под углом 120 написать уравнение прямой

Условие

5) Через фокус параболы у^2 = -x проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти длину образовавшейся хорды.

Решение

Каноническое уравнение параболы имеет вид
y^2=2px
2p=-1
p=-1/2

Координаты фокуса параболы — точки F(-1/4;0)
Уравнение прямой под углом 135 градусов к оси, это уравнение прямой с угловым коэффициентом k=tg135 градусов =-1
имеет вид
у=-х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки F в это уравнение
0=-(-1/4)+b
b=-1/4

Найдем координаты точек пересечения прямой у =-х — (1/4) с параболой y^2=-x

(-x-(1/4))^2=-x
x^2+(x/2)+(1/16)=-x
x^2+3x/2+(1/16)=0
16x^2+24x+1=0
D=(24)^2-4*16=576-64=512
x1=(-24-16sqrt(2))/32 или x2=(-24+16sqrt(2))/32
x1=(-3-2sqrt(2))/4 или x2=(-3+2sqrt(2))/4
y1=(2+2sqrt(2))/4 или y2=(2-2sqrt(2))/4

|AB|=sqrt(4)=2

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Контрольная работа

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В ответах к задачам 2 и 3 записать название кривой и ее каноническое уравнение. В задаче 2 привести координаты центра для эллипса и гиперболы или координаты вершины для параболы.

1. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат, если 2a = 16,

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Фокусы эллипса, проходящего через точку P(8; 18/5), расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Малая полуось равна 6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку P и его фокусы.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Найти расстояние фокуса гиперболы от ее асимптот и угол между асимптотами.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Через фокус параболы y2 = — 4x проведена прямая под углом 120° к оси Ox. Написать уравнение прямой.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние одной из ее вершин от фокусов равны 9 и 1.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Эксцентриситет эллипса равен /2, а сумма расстояний одной из его точек до фокусов равна 4. Найти длину хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к его большой оси.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Фокусы гиперболы, проходящей через точку (8; 3), расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Мнимая полуось гиперболы равна 3. Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из правого фокуса гиперболы на ее асимптоты.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Дана парабола y2 = 6x. Через точку (4; 1) проведена хорда, которая делится пополам в этой точке. Найти уравнение этой хорды.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Найти каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой совпадают с фокусами эллипса , а эксцентриситет равен 2.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ox

симметрично относительно начала координат, если 2c = 6, e = 3/5.

Привести к каноническому виду уравнение кривой:

2. y2 — 3x — 10y + 31 = 0. 3. 4x2 — 2xy + 6y= 0.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Кривые второго порядка на плоскости

Уравнение вида Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)	— каноническое уравнение эллипса	2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с 2 =а 2 -b 2 ; — эксцентриси-тет, 0 2 =а 2 +b 2 ; — эксцентри-ситет, e>1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые — асимптоты
3.	Парабола — множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой. Рис.6б 6б 31 х F х 2 =2py	у 2 =2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x 2 =2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б)	F — фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а) F — фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х 2 +100у 2 =3600.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36х 2 +100у 2 =3600, поделим обе части уравнения на 3600:

, a 2 =100, b 2 =36.

С= .

Эксцентриситет: .

Ответ: F_л(-8,0); F_п(8,0); =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х 2 +25у 2 =400 и точку М₀(1;-3) (рис.7).

Решение:

Приведем уравнение 16х 2 +25у 2 =400 к каноническому виду.

, a 2 =25, b 2 =16.

Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М₀ и М:

.

Ответ: .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х 2 -16у 2 =144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).

Приведем уравнение 9х 2 -16у 2 =144 к каноническому виду , a 2 =16, b 2 =9.

Правый фокус гиперболы F_п(с,0);

С= .

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k₂x+b₂;

Значит, y=(3/2)x+b₂ проходит через точку F_п(5,0), то 0=(3/2)5+b₂Þb₂=-15/2. Итак, Û3x-2у-15=0.

Искомая прямая проходит через точку F_л(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х₀)+В(у-у₀)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х 2 +20у 2 =80, перпендикулярно прямой 2х—у+1=0 (рис.9).

Приведем уравнение к каноническому виду 4х 2 +20у 2 =80,

, a 2 =20, b 2 =4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).

Условие перпендикулярности двух прямых: k₁k₃=-1.

k₂=-1: k₁Þk₂=-1/2,

Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .

Итак, Þх+2у+4=0.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х—у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀) параллельно вектору , получим:

. У нас ; ;

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.

Правый фокус эллипса имеет вид F_п(с,0);

С= .

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;

Так как прямая проходит через точку F_п(3,0), то 0=3+bÞb=-3.

Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0	(x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0	D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости;	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными
№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
х0,y0,z0 – координаты данной точки	преобразованиями
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки	М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами	Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
Уравнение плоскости в отрезках на осях	а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc≠0

Пусть даны две плоскости a₁ и a₂:

Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

или .

Расстояние от точки до плоскости:

,

🎦 Видео

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Уравнение прямой.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Угловой коэффициент прямой. Решение задач.Скачать

§25 Исследование канонического уравнения параболыСкачать

Уравнение параллельной прямойСкачать

Фокус и директриса параболы 1Скачать

Фокус и директриса параболы 2Скачать

Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как написать уравнение параболы с помощью графикаСкачать

Вычисление фокуса параболыСкачать

Как определить уравнение параболы по графику?Скачать