Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в электрическом контуре

В электрических цепях колебания затухают из-за наличия омических сопротивлений в элементах цепи. Для анализа затухающих электрических колебаний рассмотрим эквивалентную схему контура (рис. 19).

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Рис. 19. Эквивалентная схема электрического колебательного контура

Электрический ток I в контуре существует благодаря кулоновским силам заряженного конденсатора С и сторонним силам, возникающим в катушке индуктивности L. В некоторый момент времени конденсатор имеет заряд q , а напряжение между его пластинами равно U. При разряде конденсатора в катушке возникает э.д.с. самоиндукции eL, пропорциональная скорости изменения тока:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Согласно закону Ома ток в цепи:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Преобразуем уравнение (3.4) к уравнению одной переменной, а именно, — напряжения U на обкладках конденсатора.

Ток в цепи равен убыли заряда q на конденсаторе: Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Заряд конденсатора равен:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Подставив формулы (3.7), (3.8) в формулу (3.4), получим

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Данное дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания напряжения на обкладках конденсатора в электрическом контуре. Решение дифференциального уравнения (3.9) имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

где (3 — коэффициент затухания

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

со — циклическая частота затухающих колебаний

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

где ю0 — частота колебаний в отсутствии затуханий:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Период затухающих колебаний Т равен

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

При значении коэффициента затухания (3 = о>0 возникает апериодический режим разряда конденсатора (режим критического затухания). Из формул (3.12-3.14) следует, что колебания возможны лишь при условии

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

то есть, если Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Если R > , то частота и период становятся мнимыми, колебания

не возникают, разряд конденсатора становится апериодическим. Сопротивление контура, равное

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

называется критическим сопротивлением. Величина, равная J—,

называется волновым сопротивлением контура.

По аналогии с механическими затухающими колебаниями введем понятие декремента затухания. Декрементом затухания называется отношение двух последующих (разделенных интервалом временем равным периоду) амплитуд колебаний:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Декремент затухания D характеризует быстроту затухания колебаний и показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное одному периоду. Натуральный логарифм отношения (3.18) называется логарифмическим декрементом затухания: Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Логарифмический декремент X затухания колебаний в электрическом контуре будет иметь следующее выражение:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Амплитуда колебаний в контуре убывает по экспоненциальному закону:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

При t = амплитуда затухающих колебаний уменьшается в

2,72 раза, (т.е., в е раз). Это время обозначается т и называется временем релаксации колебательной системы. Время релаксации колебательной системы любой природы — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раза.

Из формул (ЗЛ1), (3Л 8) -(3.20) следует

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Кроме коэффициента затухания, декремента, логарифмического декремента и времени релаксации для характеристики затухающих колебаний используется понятие добротности. Добротность Q электрического контура (как и любой колебательной системы) пропорциональна отношению полной энергии колебаний W(t) к потерям энергии AW за один период Т:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Полная энергия колебательного контура равна максимальной энергии магнитного поля в катушке индуктивности:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

потери энергии AW равны тепловым потерям энергии на активном сопротивлении контура R за один период колебаний: Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

где 1эфф = -4L — действующее или эффективное значение силы тока в

Следовательно, добротность электрического колебательного контура будет равна:

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Видео:Затухающие колебания Лекция 11-1Скачать

Затухающие колебания Лекция 11-1

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Добротность

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

где r — коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

где β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

— дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

— у равнение затухающих колебаний.

ω – частота затухающих колебаний:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Период затухающих колебаний:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет видЗатухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово­рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид. Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

В уравнении (1) А0 и φ0 — произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

τ — время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень­шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид(1)

— дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Это комплексное число удобно представить в виде

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ — по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид(3)

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид(4)

Слагаемое Хо.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи­ческой системы, называется резонансом.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет видЧастота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ωрез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой. Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

При ω→0 все кривые приходят к значению Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид— статическое отклонение.

Чему равен коэффициент затухания электрических колебаний если дифференциальное уравнение имеет вид

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие «солнышко» за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в «лодочках».) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

📸 Видео

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задача

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

70. Затухающие колебанияСкачать

70. Затухающие колебания

Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Урок 355. Затухающие электромагнитные колебания.Скачать

Урок 355. Затухающие электромагнитные колебания.

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Физика 11 классСкачать

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Физика 11 класс

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: