Чем отличаются однородные уравнения от уравнений с разделяющимися переменными

I. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: F(t,x,x’)=0 — алгебраическое выражение, содержащее функцию, её аргумент и первую производную функции. Также уравнение первого порядка может не содержать производной, в таком случае оно обязательно будет содержать дифференциал. Все слагаемые в выражении должны быть дифференциалами в таком случае:

dx+d(x+t)=0 — дифференциальное уравнение, а dx+x+t=0 дифференциальным уравнением не является.

Замечание: Часто люди, оставлющие здесь в разделе «дифференциальное уравнение» это элементарное определение забывают. Пишут уравнение с функцией и без производных/дифференциалов. Помните, чтобы мы вам могли помочь, мы должны понять вашу задачу. Старайтесь изъясняться с помощью общепринятого языка и понятий.

Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество. В общем случае, если решение существует, то существует целое множество решений дифференциального уравнения, образующее класс решений уравнения.

Среди дифференциальных уравнений первого порядка отдельно выделяют уравнения:

1. С разделёнными и разделяющимися переменными.

2. Однородные уравнения.

3. Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

4. Уравнения в полных дифференциалах.

Описание и методы решения:

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

Уравнения с разделенными переменными — это самый простой класс уравнений первого порядка. Такие уравнения имеют вид:

1.

2.

Решение уравнений с разделенными переменными получается интегрированием правой и левой части:

Пример:

Последнее выражение — общий интеграл уравнения — алгебраическое выражение вида f(x,t,C)=0, выражающее зависимость x от аргумента t в неявном виде. C — произвольная константа.

Уравнения с разделяющимися переменными — уравнения вида:

1.

2.

Решение этого класса уравнений можно получить, если свести их к уравнениям с разделёнными переменными, разделив на P(x)M(t):

Следует помнить, что при делении на P(x)M(t) исходного уравнения можно потерять отдельный класс решений, соответствующих решению алгебраического уравнения P(x)M(t)=0. Эти решения называются особыми.

Пример:

Особые решения: y(x)=0, x(y)=-1.

Следует помнить, что уравнения с разделенными и разделяющимися переменными не всегда будет сразу представлены в виде, представленном выше. Часто требуется произвести дополнительные операции — приведение подобных, вынос общего множителя за скобку, прочее.

Однородные уравнения.

Функция f(t,x) называется однородной, если .

Однородное уравнение — уравнение вида , где f(t,x) — однородная функция.

Решение этого класса уравнений сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными следующим образом:

Положим в качестве . Получим

Положим x=t*u, тогда: .

В некоторых случаях можно получить решение u(t,C) и, соответственно, x(t)=t*u(t,C). В других t(u,C) и x=t(u,C)*u (параметрическое семейство решений), C- произвольная константа.

Примеры:

Линейные уравнения.

Линейное уравнение — это уравнение вида . Это уравнение можно решить следующими методами:

Метод Бернулли.

Суть метода состоит в разложении искомой функции на произведение двух других — , и «подгонкой» их под нужный вид. В этом случае линейное уравнение будет сведено к системе из двух уравнений с разделяющимися переменными.

. Теперь нужно получить функцию так, чтобы выражение равнялось нулю. Для этого решим соответствующее уравнение с разделяющимися переменными . Его решением будет . Также стоит заметить, что функция u не зависит от произвольной постоянной. Теперь функцию можно найти. . Система уравнений, о которой я писал выше имеет вид:

Решение исходного уравнения получим просто перемножив на

Видео:4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

16. Однородные и линейные уравнения первого порядка

Прежде всего, рассмотрим простые и важные классы уравнений первого порядка, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными.

I. Однородные уравнения.

Называется однородным, если функция может быть представлена как функция отношения своих аргументоВ:

Однородное, так как его можно записать в виде

В общем случае переменные в однородном уравнении не разделяются. Однако, вводя вспомогательную неизвестную функцию U по формуле

или

Мы сможем преобразовать однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

И уравнение прИНимает вид

, т. е.

После интегрирования получаем:

Найдя отсюда выражение для И как функции от Х, и возвращаясь к переменной , получим искомое решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается просто найти явное выражение для И. Тогда после интегрирования следует в левую часть вместо U ПодстаВить ; в результате мы получим решение уравнения в неявном виде.

Разумеется, мы предполагаем, что . Если , то и не нужно делать никаких преобразований, ибо само заданное уравнение — с разделяющимися переменными.

Нет необходимости запоминать полученные выше формулы: в каждом примере нетрудно проделать полностью указанное преобразование.

Пример. Найдем решение однородного уравнения

Замена приводит к уравнению

или

Разделяя переменные, находим:

, или

Возвращаясь к перемеННой У, приходим к общему решению:

II. Линейные уравнения. Вторым часто встречающимся типом уравнений первого порядка явлЯЕтся линейное уравнение.

Определение. Уравнение вида

(*)

Т. Е. линейное относительно искомой фуНКции и ее производНОй, называется линейным.

Здесь Р(Х) и Q(Х) — известные функции независимой переменной Х.

Уравнение (*) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными путем следующего искусственного приема. Запишем функцию У в виде произведения двух функций: . одной из них мы можем распорядиться совершенно произвольно; при этом вторая должна быть определена в зависимости от первой таким образом, чтобы их произведение удовлетворяло данному линейному уравнению. Свободой выбора одной иЗ функций U и N мы воспользуемся для максимального упрощения уравнения, получающегося после замены.

Из равенства находим производную У’:

Подставляя это выражение в уравнение (*), имеем:

, или .

Выберем в качестве N какое-нибудь частное решение уравнения

. (**)

Тогда для отыскания U получим уравнение

. (***)

Сначала найдем N из уравнения (**). Разделяя переменные, имеем:

и .

Как и раньше, под неопределенным интегралом здесь понимается Какая-нибудь одна первообразная от функции Р(Х), т. е. N является вполне определенной функцией от Х.

Зная N, находим далее И из уравнения (***):

Здесь мы уже берем для U все первообразные. По И и N найдем искомую функцию У:

Полученная формула дает общее решение линейного уравнения (*).

Положение не изменится, если мы прибавим произвольную постоянную к интегралу в показателе. В самом деле, эта вторая произвольная постоянная в конечном счете исчезнет, так как один множитель будет содержать ее в знаменателе, а другой — в числителе.

Можно решать задачу с помощью определенных интегралов с переменным верхним пределом. При этом

Частное решение, соответствующее начальному условию , Получается отсюда при .

Как и раньше, мы не настаиваем на запоминании общей формулы. Следует помнить лишь способ решения и применять его в каждом конкретном случае.

Пример. Решим уравнение

Положим , тогда . Имеем: или Пусть . Отсюда и, значит, Т. е. Следовательно, откуда и, значит, Имеем окончательно:

.

Рассмотрим одну важную задачу электротехники, которая приведет нас к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Пусть ЭЛектрическая цепь имеет сопротивление R и самоиндукцию L.

Если через I обозначить силу тока в цепи, а через Е электродвижущую силу, то, как известно из физики,

.

Считая, что Е является известной функцией времени, получаем линейное уравнение, которое запишем в виде

Проинтегрируем это уравнение в предположении, что при начальном условии . Это означает, что мы включаем в цепь, в которой не было тока, постоянную электродвижущую силу. Воспользовавшись общей формулой, выраженной при помощи определенных интегралов, получим:

Или, выполняя интегрирование,

.

Ток I слагается как бы из двух токов: тока , соответствующего закону Ома, и экстратока замыкания , протекающего в обратном направлении. Экстраток замыкания быстро стремится к нулю, и поэтому в цепи довольно скоро устанавливается постоянный ток. Еще проще решается задача о размыкании цепи. В этом случае мы считаем, что и . Тогда получается уравнение с разделяющимися переменными Решая его, ПолуЧиМ — экстраток размыкания. Скорость СтремЛения экстратока к нулю зависит от отношения : чем это отношение больше, тем быстрее экстраток затухает.

Рекомендуем читателю самостоятельно решить задачу в случае, когда электродвижущая сила Е синусоидальна, т. е. когда .

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го века. Он считал именно это своё открытие настолько важным, что даже зашифровал послание, которое сегодня можно перевести примерно так: «Все законы природы описываются дифференциальными уравнениями». Это может показаться преувеличением, но всё так и есть. Любой закон физики, химии, биологии можно описать этими уравнениями.

Огромный вклад в развитие и создание теории дифференциальных уравнений внесли математики Эйлер и Лагранж. Уже в 18-м веке они открыли и развили то, что сейчас изучают на старших курсах университетов.

Новая веха в изучении дифференциальных уравнений началась благодаря Анри Пуанкаре. Он создал «качественную теорию дифференциальных уравнений», которая в сочетании с теорией функций комплексного переменного внесла значительный вклад в основание топологии — науки о пространстве и его свойствах.

Видео:Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Что такое дифференциальные уравнения?

Многие боятся одного словосочетания «дифференциальное уравнение». Однако в этой статье мы подробно изложим всю суть этого очень полезного математического аппарата, который на самом деле не так сложен, как кажется из названия. Для того чтобы начать рассказывать про дифференциальные уравнения первого порядка, следует сначала познакомиться с основными понятиями, которые неотъемлемо связаны с этим определением. И начнём мы с дифференциала.

Видео:5. Однородные дифференциальные уравнения. Часть 2.Скачать

Дифференциал

Многие знают это понятие ещё со школы. Однако всё же остановимся на нём поподробнее. Представьте себе график функции. Мы можем увеличить его до такой степени, что любой его отрезок примет вид прямой линии. На ней возьмём две точки, находящиеся бесконечно близко друг к другу. Разность их координат (x или y) будет бесконечно малой величиной. Ее и называют дифференциалом и обозначают знаками dy (дифференциал от y) и dx (дифференциал от x). Очень важно понимать, что дифференциал не является конечной величиной, и в этом заключается его смысл и основная функция.

А теперь необходимо рассмотреть следующий элемент, который нам пригодится при объяснении понятия дифференциального уравнения. Это — производная.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Производная

Все мы наверняка слышали в школе и это понятие. Говорят, что производная — это скорость роста или убывания функции. Однако из этого определения многое становится непонятным. Попробуем объяснить производную через дифференциалы. Давайте вернёмся к бесконечно малому отрезку функции с двумя точками, которые находятся на минимальном расстоянии друг от друга. Но даже за это расстояние функция успевает измениться на какую-то величину. И чтобы описать это изменение и придумали производную, которую иначе можно записать как отношение дифференциалов: f(x)’=df/dx.

Теперь стоит рассмотреть основные свойства производной. Их всего три:

1. Производную суммы или разности можно представить как сумму или разность производных: (a+b)’=a’+b’ и (a-b)’=a’-b’.
2. Второе свойство связано с умножением. Производная произведения — это сумма произведений одной функции на производную другой: (a*b)’=a’*b+a*b’.
3. Производную разности записать можно в виде следующего равенства: (a/b)’=(a’*b-a*b’)/b 2 .

Все эти свойства нам пригодятся для нахождения решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Также бывают частные производные. Допустим, у нас есть функция z, которая зависит от переменных x и y. Чтобы вычислить частную производную этой функции, скажем, по x, нам необходимо принять переменную y за постоянную и просто продифференцировать.

Видео:6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

Интеграл

Другое важное понятие — интеграл. По сути это прямая противоположность производной. Интегралы бывают нескольких видов, но для решения простейших дифференциальных уравнений нам понадобятся самые тривиальные неопределённые интегралы.

Итак, что такое интеграл? Допустим, у нас есть некоторая зависимость f от x. Мы возьмём от неё интеграл и получим функцию F(x) (часто её называют первообразной), производная от которой равна первоначальной функции. Таким образом F(x)’=f(x). Отсюда следует также, что интеграл от производной равен первоначальной функции.

При решении дифференциальных уравнений очень важно понимать смысл и функцию интеграла, так как придётся очень часто их брать для нахождения решения.

Уравнения бывают разными в зависимости от своей природы. В следующем разделе мы рассмотрим виды дифференциальных уравнений первого порядка, а потом и научимся их решать.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

Классы дифференциальных уравнений

«Диффуры» делятся по порядку производных, участвующих в них. Таким образом бывает первый, второй, третий и более порядок. Их также можно поделить на несколько классов: обыкновенные и в частных производных.

В этой статье мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры и способы их решения мы также обсудим в следующих разделах. Будем рассматривать только ОДУ, потому что это самые распространённые виды уравнений. Обыкновенные делятся на подвиды: с разделяющимися переменными, однородные и неоднородные. Далее вы узнаете, чем они отличаются друг от друга, и научитесь их решать.

Кроме того, эти уравнения можно объединять, чтобы после у нас получилась система дифференциальных уравнений первого порядка. Такие системы мы тоже рассмотрим и научимся решать.

Почему мы рассматриваем только первый порядок? Потому что нужно начинать с простого, а описать всё, связанное с дифференциальными уравнениями, в одной статье просто невозможно.

Видео:ОДУ. 1 Понятие ОДУ. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравненияСкачать

Уравнения с разделяющимися переменными

Это, пожалуй, самые простые дифференциальные уравнения первого порядка. К ним относятся примеры, которые можно записать так: y’=f(x)*f(y). Для решения этого уравнения нам понадобится формула представления производной как отношения дифференциалов: y’=dy/dx. С помощью неё получаем такое уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Теперь мы можем обратиться к методу решения стандартных примеров: разделим переменные по частям, т. е. перенесём всё с переменной y в часть, где находится dy, и так же сделаем с переменной x. Получим уравнение вида: dy/f(y)=f(x)dx, которое решается взятием интегралов от обеих частей. Не стоит забывать и о константе, которую нужно ставить после взятия интеграла.

Решение любого «диффура» — это функция зависимости x от y (в нашем случае) или, если присутствует численное условие, то ответ в виде числа. Разберём на конкретном примере весь ход решения:

Переносим переменные в разные стороны:

Теперь берём интегралы. Все их можно найти в специальной таблице интегралов. И получаем:

Если требуется, мы можем выразить «игрек» как функцию от «икс». Теперь можно сказать, что наше дифференциальное уравнение решено, если не задано условие. Может быть задано условие, например, y(п/2)=e. Тогда мы просто подставляем значение этих переменных в решение и находим значение постоянной. В нашем примере оно равно 1.

Видео:Чеголин А П Видео лекция "Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения"Скачать

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Теперь переходим к более сложной части. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в общем виде так: y’=z(x,y). Следует заметить, что правая функция от двух переменных однородна, и её нельзя разделить на две зависимости: z от x и z от y. Проверить, является ли уравнение однородным или нет, достаточно просто: мы делаем замену x=k*x и y=k*y. Теперь сокращаем все k. Если все эти буквы сократились, значит уравнение однородное и можно смело приступать к его решению. Забегая вперёд, скажем: принцип решения этих примеров тоже очень прост.

Нам нужно сделать замену: y=t(x)*x, где t — некая функция, которая тоже зависит от x. Тогда мы можем выразить производную: y’=t'(x)*x+t. Подставляя всё это в наше исходное уравнение и упрощая его, мы получаем пример с разделяющимися переменными t и x. Решаем его и получаем зависимость t(x). Когда мы ее получили, то просто подставляем в нашу предыдущую замену y=t(x)*x. Тогда получаем зависимость y от x.

Чтобы было понятнее, разберём пример: x*y’=y-x*e y/x .

При проверке с заменой всё сокращается. Значит, уравнение действительно однородное. Теперь делаем другую замену, о которой мы говорили: y=t(x)*x и y’=t'(x)*x+t(x). После упрощения получаем следующее уравнение: t'(x)*x=-e t . Решаем получившийся пример с разделёнными переменными и получаем: e -t =ln(C*x). Нам осталось только заменить t на y/x (ведь если y=t*x, то t=y/x), и мы получаем ответ: e -y/x =ln(x*С).

Видео:Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Пришло время рассмотреть ещё одну обширную тему. Мы разберём неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Чем они отличаются от предыдущих двух? Давайте разберёмся. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать таким равенством: y’ + g(x)*y=z(x). Стоит уточнить, что z(x) и g(x) могут являться постоянными величинами.

А теперь пример: y’ — y*x=x 2 .

Существует два способа решения, и мы по порядку разберём оба. Первый — метод вариации произвольных констант.

Для того чтобы решить уравнение этим способом, необходимо сначала приравнять правую часть к нулю и решить получившееся уравнение, которое после переноса частей примет вид:

Теперь надо заменить константу C₁ на функцию v(x), которую нам предстоит найти.

Проведём замену производной:

y’=v’*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

И подставим эти выражения в исходное уравнение:

v’*e x2/2 — x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можно видеть, что в левой части сокращаются два слагаемых. Если в каком-то примере этого не произошло, значит вы что-то сделали не так. Продолжим:

Теперь решаем обычное уравнение, в котором нужно разделить переменные:

dv = x 2 *e — x2/2 dx.

Чтобы извлечь интеграл, нам придётся применить здесь интегрирование по частям. Однако это не тема нашей статьи. Если вам интересно, вы можете самостоятельно научиться выполнять такие действия. Это не сложно, и при достаточном навыке и внимательности не отнимает много времени.

Обратимся ко второму способу решения неоднородных уравнений: методу Бернулли. Какой подход быстрее и проще — решать только вам.

Итак, при решении уравнения этим методом нам необходимо сделать замену: y=k*n. Здесь k и n — некоторые зависящие от x функции. Тогда производная будет выглядеть так: y’=k’*n+k*n’. Подставляем обе замены в уравнение:

Теперь надо приравнять к нулю то, что находится в скобках. Теперь, если объединить два получившихся уравнения, получается система дифференциальных уравнений первого порядка, которую нужно решить:

Первое равенство решаем, как обычное уравнение. Для этого нужно разделить переменные:

Берём интеграл и получаем: ln(n)=x 2 /2. Тогда, если выразить n:

Теперь подставляем получившееся равенство во второе уравнение системы:

И преобразовывая, получаем то же самое равенство, что и в первом методе:

Мы также не будем разбирать дальнейшие действия. Стоит сказать, что поначалу решение дифференциальных уравнений первого порядка вызывает существенные трудности. Однако при более глубоком погружении в тему это начинает получаться всё лучше и лучше.

Видео:Дифференциальные уравнения с разделенными переменными. 11 класс.Скачать

Где используются дифференциальные уравнения?

Очень активно дифференциальные уравнения применяются в физике, так как почти все основные законы записываются в дифференциальной форме, а те формулы, которые мы видим — решение этих уравнений. В химии они используются по той же причине: основные законы выводятся с их помощью. В биологии дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения систем, например хищник — жертва. Они также могут использоваться для создания моделей размножения, скажем, колонии микроорганизмов.

Видео:Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Урок 1Скачать

Как дифференциальные уравнения помогут в жизни?

Ответ на этот вопрос прост: никак. Если вы не учёный или инженер, то вряд ли они вам пригодятся. Однако для общего развития не помешает знать, что такое дифференциальное уравнение и как оно решается. И тогда вопрос сына или дочки «что такое дифференциальное уравнение?» не поставит вас в тупик. Ну а если вы учёный или инженер, то и сами понимаете важность этой темы в любой науке. Но самое главное, что теперь на вопрос «как решить дифференциальное уравнение первого порядка?» вы всегда сможете дать ответ. Согласитесь, всегда приятно, когда понимаешь то, в чём люди даже боятся разобраться.

Видео:Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать

Основные проблемы при изучении

Основной проблемой в понимании этой темы является плохой навык интегрирования и дифференцирования функций. Если вы плохо берёте производные и интегралы, то, наверное, стоит ещё поучиться, освоить разные методы интегрирования и дифференцирования, и только потом приступать к изучению того материала, что был описан в статье.

Некоторые люди удивляются, когда узнают, что dx можно переносить, ведь ранее (в школе) утверждалось, что дробь dy/dx неделима. Тут нужно почитать литературу по производной и понять, что она является отношением бесконечно малых величин, которыми можно манипулировать при решении уравнений.

Многие не сразу осознают, что решение дифференциальных уравнений первого порядка — это зачастую функция или неберущийся интеграл, и это заблуждение доставляет им немало хлопот.

Видео:Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными (однородные)Скачать

Что ещё можно изучить для лучшего понимания?

Лучше всего начать дальнейшее погружение в мир дифференциального исчисления со специализированных учебников, например, по математическому анализу для студентов нематематических специальностей. Затем можно переходить и к более специализированной литературе.

Стоит сказать, что, кроме дифференциальных, есть ещё интегральные уравнения, так что вам всегда будет к чему стремиться и что изучать.

Видео:Однородные дифференциальные уравнения первого порядка #calculus #differentialequation #maths #Скачать

Заключение

Надеемся, что после прочтения этой статьи у вас появилось представление о том, что такое дифференциальные уравнения и как их правильно решать.

В любом случае математика каким-либо образом пригодится нам в жизни. Она развивает логику и внимание, без которых каждый человек как без рук.

Видео:Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным или с разделяющимися переменными (ч.1).Скачать

Уравнения с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Цель:Изучение уравнений с разделяющимися переменными и однородных уравнений.

Задачи:

1. Ввести понятия уравнений с разделяющимися переменными и уравнений с разделенными переменными.

2. Рассмотреть решение уравнений с разделяющимися переменными.

3. Дать определение однородной функции п-го измерения.

4. Дать определение однородного уравнения.

5. Рассмотреть решение однородного уравнения.

Желаемый результат:

Студенты должны знать уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения.

Учебные вопросы:

1. Уравнения с разделяющимися переменными и их решение.

2. Однородные функции п-го измерения.

3. Однородные уравнения и их решения.

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

, (1)

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Преобразуем его следующим образом (предполагая, что ):

. (1*)

Считая у функцией от х, равенства (1*) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по у, а правую по х получим общий интеграл уравнения (1):

.

Определение. Дифференциальное уравнение типа

называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его по доказанному есть:

.

Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными: xdx+ydy=0.

Решение. Интегрируя, получим общий интеграл

.

Так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то и правая часть тоже неотрицательна. Обозначив 2С через С² будем иметь: х²+у²=С².

Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С.

Определение. Уравнение вида:

(3)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение :

,

то есть к уравнению вида (2).

Пример 2. Дано уравнение .

Решение. Разделим переменные .

Интегрируя, находим: , , ,

отсюда получаем общее решение .

Замечание: Простейшим дифференциальным уравнением с разделенными переменными являются уравнение вида:

или

Его общий интеграл имеет вид:

Определение 1. Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество

.

Пример 1. Функция f(x,y)= — однородная функция первого измерения, так как

.

Пример 2. Функция есть однородная функция второго измерения, так как

Пример 3. Функция есть однородная функция нулевого измерения, так как

,

т.е. ,

или .

Определение 2. Уравнение I-го порядка:

(I)

называется однородным относительно х и у, если функция f(х,у) есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Решение однородного уравнения

По условию ,

Положив в этом тождестве , получим ,

т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Уравнение (1) в этом случае примет вид:

. (1′)

Сделаем подстановку: , т.е. y=u× x. Тогда будем иметь .

Подставляя это выражение производной в уравнение (1), получим:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

или .

Интегрируя это выражение, найдем:

.

Подставляя после интегрирования вместо u отношение , получим интеграл уравнения (1′)

Пример 4. Дано уравнение:

Решение. Справа стоит однородная функция нулевого порядка; следовательно, имеем однородное уравнение. Делаем замену тогда:

; ,

; .

Разделяя переменные, будем иметь: ; .

Отсюда, интегрируя, находим:

или .

Подставляя , получим общий интеграл: .

Получить у как явную функцию от х, записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Здесь легко выразить х через у:

.

Замечание. Уравнение вида:

будет однородным, если М(х,у) и N(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.

Вопросы для самоподготовки:

1. Какие уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

2. Как решить уравнение с разделяющимися переменными?

3. Дать определение однородной функции п-го измерения.

4. Какие уравнения называются однородными уравнениями?

5. Как найти общий интеграл однородного уравнения?

Уравнения, приводящиеся к однородным

Линейные уравнения первого порядка и их решения

Цель:Изучение дифференциальных уравнений первого порядка.

Задачи:

1. Рассмотреть уравнения, приводящиеся к однородным.

2. Рассмотреть способы приведения некоторых уравнений к однородным.

3. Дать определение линейного уравнения первого порядка.

4. Привести решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки.

Желаемый результат:

Студенты должны знать уравнения, приводящиеся к однородным, линейные дифференциальные уравнения и способы их решения.

Учебные вопросы:

1. Уравнения, приводящиеся к однородным.

2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

4. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки.

Уравнения, приводящиеся к однородным

(1)

приводится к однородному уравнению или к уравнению с разделяющимися переменным.

Для этого введем новые переменные u и v вместо х и у, положив

x = u + , y = v + ,

а числа и выберем так, чтобы уравнение стало однородным.

Так как при указанной замене dx = du, dy = dv и уравнение принимает вид:

. (2)

Подберем и так, чтобы выполнялись равенства

(3)

т.е. определим и как решение системы уравнений (3).

При этом условии уравнение (2) становится однородным

.

Решив это уравнение и перейдя снова к переменным х и у, получим решение уравнения (1).

Система уравнений (3) не имеет решения, если:

,

т.е. .

Но тогда , т.е.

и, следовательно, уравнение (1) можно записать в следующем виде:

.

Тогда подстановкой z=ax+by уравнение (4) приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно, . Откуда

(5)

Подставляя в уравнение (4) выражение z и равенство (5) получим:

,

это уравнение с разделяющимися переменными.

Прием, примененный к уравнению (1) применяется и к интегрированию следующего уравнения

,

где f — непрерывная функция.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Положим x=u+ , y=v+ , тогда dx=du, dy=dv и уравнение примет вид

.

Выберем и таким образом, чтобы удовлетворялась система уравнений

,

то есть примем , (это корни системы уравнений).

Получим однородное уравнение

.

Введем новое переменное z, положив: ,

а значит .

Тогда

или

.

Разделяя переменные, получим:

.

Откуда, интегрируя обе части, будем иметь:

.

Возвращаясь к прежним переменным х и у, получим общий интеграл (учитывая, что u = x — 2; v = y — 1):

.

Линейные уравнения первого порядка и их решения

Определение. Дифференциальноеуравнение называетсялинейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции у и её производной . Общий вид линейного уравнения 1-го порядка:

(6)

Если праваячасть уравнения (6) Q(x) , то оно называется линейным однородным, в противном случае, оно называется неоднородным.

Предположим, что уравнение (6) неоднородное, т.е. Q(x) .

Замечание: Не следует смешивать линейное однородноеуравнение с уравнением, однородным относительно х и у.

Приведем 2 метода интегрирования уравнения (6):

а) метод Бернулли;

б) метод вариации произвольного постоянного.

Случай однородного дифференциального уравнения (когда Q(x) )не требует специального рассмотрения, посколькупри Q(x) уравнение (6) одновременно является уравнением с разделяющимися переменными.

Произведем в уравнении (6) замену переменного, положив

.

Вычислим .

Подставим выражения у и через и в уравнение (6):

. (7)

Пользуясь тем, что может быть выбрано произвольно, подберем его так, чтобы выражение, содержащееся в квадратных скобках, обратилось в нуль. т.е. потребуем, чтобы

.

Это уравнение разделяющимися переменными.

Поделив его обе части на и умножив на , получим:

,

(8)

Подставив выражение в уравнение (7) получим для u уравнение с разделяющимисяпеременными

. (9)

Умножая обе части его на , имеем

,

. (10)

Так каку=vu, то окончательно общее решениелинейного уравнения (6) запишется в виде:

. (11)

Заметим, что произвольное постоянное С, полученное при интегрировании уравнения сократилось при умножении uна v.

Этого следовало ожидать, ибо общее решение уравнения 1-го порядка должно содержать, только одно произвольное постоянное. Предвидя это, можно было в решении (8) заранее положить С=1 и взять частное решение уравнения вместо общего, как обычно поступают на практике.

Примененный здесь способ подстановки позволяет свести задачу интегрирования одного линейного уравнения (6) к отысканию решений двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение .

Решение: Полагаем y=uv, тогда .

Подставляя выражение в исходное уравнение, будем иметь

или, преобразуя это выражение, получим:

. (*)

Получим выражение для определения v

или , откуда или .

Подставляя полученное выражение функции v в выражение (*), получим:

, , откуда .

Интегрируя это уравнение, получим .

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения будет иметь вид

.

Полученное семейство является общим интегралом. Каково бы ни былоначальное условие

всегда можно подобрать C так, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному началь­ному условию.

Например, частное решение, удовлетворяющее условию при , найдется следующим образом

.

Следовательно, искомое частное решение таково

.

Однако, в данном примере при мы не найдем частного решения, удовлетворяющего этому условию. Это объясняется тем, что при функция будет разрывная,и, следовательно, условия теоремы существования и единственности решенияне соблюдены (теорема Коши).

Вопросы для самопроверки:

1. Какие уравнения можно привести к однородным?

2. Какие уравнения называются линейными уравнениями первого порядка?

3. Привести решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом подстановки.

💥 Видео

Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.| poporyadku.schoolСкачать

Видеоурок "Однородные диф. уравнения"Скачать