Человек который первый решил уравнение

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнений третьей степени.

Паоло Вальмес за свое открытие поплатился жизнью. Инквизиция отправила Вальмеса на костер. Однако трагедии и неудачи не смогли остановить прогресс.

Видео:Уборщик С 500 IQ Решил Математическую Задачу, Которая Была Не Под Силу Ни Одному ПрофессоруСкачать

Омар Хайям(1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

Видео:Прогульщик опоздал на 20-мин. и получил две ЗАДАЧИ... Его ответ поставил профессора в ступор...Скачать

Николо Тарталья (1499 – 1557)

Решил уравнение в радикалах

Видео:Человек, который познал бесконечность / Фильм о выдающемся математике .Скачать

Джероламо Кардано(1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней («формула Кардано»).

Видео:Обманул балди и решил 3 пример😱Скачать

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах

Видео:У пацана бомбит из-за химииСкачать

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

Видео:Выскочек никто не любит / Одарённая (2017)Скачать

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах

Видео:Разнёс профессора математики 😏 #фильмы #кино #shortsСкачать

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

Видео:Сумма чисел от 1 до 100Скачать

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

На сегодняшний день нет особых формул решения уравнений высших степеней (степень больше 3-х). Существует некоторое множество видов и методов решения этих уравнений. При разборе решений мне удалось систематизировать некоторый материал по теме учебного проекта.

Видео:Сколько будет, если 57 умножить на 135? / Одарённая (2017)Скачать

В мире уравнений

В мире уравнений

СОШ №41 с.Аксаково,

Кто и когда придумал первое уравнение? Ответить на этот вопрос, невозможно.

Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов. Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди решали на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. А учебные задачи, которые мы сегодня решаем при помощи уравнений, были хорошо известны еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. Там появился трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала», в котором были даны общие правила для решения уравнений первой и второй степени. Это сочинение оказало большое значение на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки -алгебра –области математики, связанной с искусством решения уравнений.

Выбор темы моего исследования не случаен, т.к. решение уравнений — едва ли не самый распространенный тип экзаменационных задач. На протяжении всех лет обучения в школе мы решаем уравнения, но школьный курс алгебры предусматривает ограниченный набор уравнений. Я умею, без ограничений, решать уравнения первой и второй степени, умею так же решать биквадратные уравнения и особого интереса к ним не проявляю. Интересны уравнения больших степеней. Поэтому объектом моего исследования стали уравнения высших степеней. Цель моей работы заключается в поиске методов решения уравнений произвольных степеней.

Под уравнениями высших степеней понимаются уравнения вида f(х)=0,где f(х)- многочлен степени выше двух. Это может быть кубическое уравнение aх 3 +bх 2 +cх+d=0 или уравнение четвертой степени aх 4 +bх 3 +cх 2 +dх+e=0, или уравнение пятой степени, и так далее. Среди них есть такие, решения которых сводятся, как правило, к квадратному уравнению, либо к определенным формулам Виета, Кардано, Феррари. Наиболее общий прием решения уравнений произвольной степени опирается на теорему Безу или ее следствия.

Таким образом, изучив научно-популярную литературу по данной теме, я выяснила, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения не выше четвертой степени можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни. Общей формулы, применимой ко всем уравнениям пятой степени и выше, не существует. Но имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам, т.к. в прикладных задачах нас интересуют только приближенные значения корней уравнения, а его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет.

Настоящая работа будет полезна любознательным школьникам, а так же может служить справочным учебным пособием для выпускников школы. Она позволит улучшить подготовку и математический кругозор в решении уравнений произвольных степеней.

Видео:Зачем нужна математикаСкачать

Скачать:

Видео:Мальчик урыл своего учителя , а он…😱😳 #школа #рек #киноСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №41 с. Аксаково

муниципального района Белебеевский район РБ

В мире уравнений

МБОУ СОШ№41 с. Аксаково

Андреева Зинаида Маркеловна

1 Алгебра – наука о решении уравнений 5-6

2 Уравнения высших степеней

2.1 Кубические уравнения 7

2.2 Уравнения четвертой степени 8

2.3 Симметрические уравнения четвертой степени 9

2.4 Уравнения высоких степеней

2.5 Алгебраические уравнения и группы Галуа 10

3 Методы решения уравнений высших степеней

3.1 Разложение многочлена на множители 11

3.2 Метод введения параметра 12

3.3 Метод введения новой переменной

3.4 Комбинирование различных методов 13

3.5 Методы решения симметрических уравнений 3-й и 4-й степеней 14

3.6 Теорема Безу и ее следствия

3.7 Метод Кардано 16

3.8 Метод Феррари 17

3.9Теорема Виета 18-19

Приложение 22 2 Введение

1. Важность и актуальность исследования

Кто и когда придумал первое уравнение? Ответить на этот вопрос невозможно. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов.

«Можно утверждать, что решение полиномиальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времен вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из основных целей» — эти слова французских математиков А. Гротендик (род. 1928) и Ж. Дьедоне (род. 1906), точки зрения которых придерживаются и современные ученые на содержание алгебры.

Выбор темы моего исследования тоже не случаен, так как решение уравнений — самый распространенный тип экзаменационных задач. На протяжении всех лет обучения в школе мы решаем уравнения, но школьный курс алгебры предусматривает ограниченный набор уравнений. Я умею, без ограничений, решать уравнения первой и второй степени и особого интереса к ним не проявляю. Интересны уравнения больших степеней.

Под термином «уравнения высших степеней» понимаются уравнения вида f(x)=0, где f(x)- многочлен степени выше двух. Это может быть кубическое уравнение aх 3 +вх 2 +cх+d=0 или уравнение четвертой степени ах 4 +bх 3 +сх 2 +dх+е=0, или уравнение пятой степени, и так далее. Среди них есть такие уравнения, решения которых сводятся, как правило, к линейным и квадратным по хорошо известным методам. Это разложение на множители многочлена f(х) и введение новой переменной. Но вызвал большой интерес нелинейные уравнения общего вида, решения которых невозможно найти указанными методами. Передо мной встал вопрос: существуют ли другие способы решения уравнений высших степеней? Не попытаться ли, как это делается в математике, отыскать общую формулу, пригодную для решения любых уравнений?

Материал исследования составляют теоретические и практические стороны решения уравнений высших степеней.

Объект исследования- уравнения высших степеней.

Предмет исследования — научно-популярная литература по математике.

3. Цель и задачи исследования

Цель исследования — найти методы решения уравнений высших степеней.

Общая цель исследования определяет конкретные задачи:

-изучить научно-популярную литературу по данной теме;

-выяснить существование специальных методов решения уравнений произвольной степени;

-установить, существует ли формула, выражающая корни любого алгебраического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами;

-на практике убедиться в правильности данных методов.

4. Практическая значимость исследования.

Материал данного исследования имеет практическую значимость и будет полезна любознательным школьникам, а так же выпускникам школы. Она позволит улучшить подготовку и расширить математический кругозор в решении уравнений произвольных степеней.

5. Методы исследования

Основными методами исследования являются:

1 Алгебра – наука о решении уравнений

Алгебра-часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями решались еще в Древнем Египте и Вавилоне. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме, не применяли буквенной символики. Путем проб и ошибок числа в условиях задач подбирались так, чтобы получались «хорошие» ответы (натуральные). Других чисел древние египтяне не знали. Более сложные задачи умели решать в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. При этом вавилоняне так же не использовали букв, а излагали решения задач в словесной форме. Способы решения конкретных уравнений дают основание считать, что вавилоняне владели общими правилами нахождения корней уравнений первой и второй степени. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня. Но эти достижения еще нельзя было назвать наукой, т.к. не было общей теории.

Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить отрезок. Большинство задач решалось путем построения циркулем и линейкой, но не все задачи поддавались такому решению. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадраты (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Геометрический путь решения уравнений был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития.

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. В Багдаде был создан «Дом мудрости», куда по воле халифа собрали образованных людей со всех сторон халифата. Эти мудрецы не только переводили труды своих великих предшественников, но и творили сами. Одним из них был Мухаммед бен Мусса аль- Хорезми. Наиболее значительным его трудом является трактат по алгебре, в котором впервые были разработаны правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах он показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. В греческих традициях строго геометрически обосновывает свои способы. Любое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью двух операций: 1) восполнение-перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть; 2)противопоставление-приведение подобных членов. Это сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр вак-мукабала» оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра ( области математики, связанной с искусством решения уравнений).

Итак, решать линейные и квадратные уравнения можно, не записывая каких-либо формул, не зная буквенных обозначений, а только лишь хорошо запомнив многочисленные правила. Но при решении уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней без настоящей алгебры двигаться было трудно.

Для математиков, уже умевших — после вавилонян, Евклида и аль — Хорезми –решать линейные и квадратные уравнения, самым желанным было научиться решать уравнения третьей степени (кубические).

2 Уравнения высших степеней

2.1 Кубические уравнения

В 11 веке известный поэт, астроном и математик Омар Хайям без буквенной символики и отрицательных чисел описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.. Занимался кубическими уравнениями и его современник арабский энциклопедист ал–Бируни. Корни уравнений третьей степени они строили при помощи пересечения парабол, гипербол, окружностей, каким способом решали задачи и греческие геометры. Но арабов, чья математика тяготела к вычислениям, интересовало и численное значение корней. Многие ученые пытались найти правило вычисления корней кубического уравнения, но потерпели неудачу.

Все кубические уравнения являются разновидностями уравнения самого общего вида, т.е. уравнения вида

аx 3 + bx 2 + cx + d =0, где а≠0

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнения третьей степени. Были периоды, когда начинало казаться, что сил человеческого ума для решения этой задачи недостаточно. В конце ХV века профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своём знаменитом учебнике «Сумма ‮знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов Даля Ферро, Никколо Тартальей, Джероламо Кардано вскоре такой метод был найден- выделение полного куба. Д.Кардано написал большую книгу, посвященную алгебре. Главным украшением этой книги и была «формула Кардано», как ее называют теперь. Но формулу Кардано нельзя применять без учета некоторых дополнительных условий и ограничений. Пусть практическое значение этих формул невелико-трудно переоценить тот мощный импульс, который они дали развитию современной алгебры.

Важный вклад в развитии науки внес французский математик Франсуа Виет. Пытаясь решить задачу, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты, он записал систему равенств. Отыскивая одно, он придумал другое: обозначить буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Путем преобразований Ф.Виет доказал, что второй коэффициент данного уравнения приведенного вида равен сумме корней уравнения, взятой с противоположным знаком, третий коэффициент равен сумме попарных произведений корней уравнения, четвертый коэффициент равен сумме всех возможных произведений корней уравнения по три, взятой с противоположным знаком и т.д., свободный член уравнения равен произведению всех корней уравнения, умноженному на (-1) n . Эта связь коэффициентов уравнения приведенного вида с его корнями называется обобщенной теоремой Виета. Она позволяет более легко составлять уравнения по их корням. Хотя буквенная символика Виета обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед, до него в математике не было формул. Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».

2.2 Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в ХVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется — метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

x 4 +px 3 +qx 2 +rx+s=0

можно избавиться от члена px 3 подстановкой x=y-p/4. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде А 2 =В 2 , где левая часть- квадрат выражения А=x 2 +s, а правая часть- квадрат линейного выражения В от х, коэффициенты которого зависят от s. После этого останется решить два квадратных уравнения: А=В и А=-В. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра s.

2.3 Симметрические уравнения четвертой степени

Если уравнение имеет вид Р(Q(x))=0, где Р и Q- многочлены, то замена y=Q(x) сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: Р(y)=0 и Q(x)=y. Замена используется, в частности, при решении биквадратных уравнений.

Более интересный случай- возвратные уравнения, т.е. уравнения четвертой степени

a 2n x 2n +a 2n-1 x 2n-1 +…+a 1 x+a 0 =0,

в которых коэффициенты, одинаково отстоящие от концов, равны: a 2n = a 0, a 2n-1= a 1 и т.д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на x n и последующей заменой y=x±1/x.

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение x k +1/x k при любом k можно представить как многочлен степени k от y=x+1/x.

2.4 Уравнения высоких степеней

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени не превышающей степень уравнения. Более того все уравнения данной степени n(n≤4) можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получили все корни — и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель вначале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля — Руффини звучит так:

Общее уравнение степени n при n≥5 неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени n≥5, не существует.

Хотя уравнения высоких степеней неразрешимо в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнение выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

2.5 Алгебраические уравнения и группы Галуа

Теория Галуа позволяет выяснить для любого конкретного уравнения, решается ли оно в радикалах. Для этого данному уравнению сопоставляется некоторая группа перестановок его корней. Важно, что эту группу, названную сейчас группой Галуа, можно определить, не вычисляя корней уравнения, только по его коэффициентам. Галуа установил связь между разрешимостью алгебраического уравнения в радикалах и особым свойством группы этого уравнения, которое также было названо разрешимостью. В частности, любая коммутативная группа разрешима. Если коэффициенты уравнения рациональны и его левая часть не разлагается на множители с рациональными коэффициентами (неприводима), то это уравнение разрешимо в радикалах только тогда, когда разрешима его группа Галуа.

Например, уравнение x 5 — 4x + 2=0 имеет пять различных корней. Хотя они нам неизвестны, можно показать, что группа Галуа данного уравнения совпадает с группой всех перестановок его пяти корней — это самая «большая» из возможных групп для уравнений пятой степени. Доказывается, что эта группа неразрешима. Следовательно, корни данного уравнения не выражаются в радикалах, а значит, общей формулы для решения уравнений пятой степени в радикалах не существует.

3 Методы решения уравнений высших степеней

3.1 Разложение многочлена на множители

При решении алгебраических уравнений часто приходится разлагать многочлен на множители. Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Некоторые методы разложения многочленов мы употребляем достаточно часто: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка. Рассмотрим ещё некоторые методы.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1. если многочлен a n +a n-1 x+…+a 0 x n ,a 0 ≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень х= p/q (где p/q- несократимая дробь, p є Z, q є N), то p- делитель свободного члена a n , а q- делитель старшего коэффициента а 0 ;
2. если каким-либо образом подобрать корень х=а многочлена Р n (x) степени n, то многочлен Р n (x) можно представить в виде Р n (х)=(х-а) Р n-1 (х), где Р n-1 (х)- многочлен степени n-1.

Многочлен Р n-1 (х) можно найти либо делением многочлена Р n (х) на двучлен (х-а) «столбиком», либо соответствующей группировку слагаемых многочлена и выделением из них множителя х-а, либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить на множители многочлен

х 4 -5х 3 +7х 2 -5х+6

Решение. Поскольку коэффициент при х 4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, существуют, являются делителями числа 6, т.е. могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим данный многочлен через Р 4 (х). Так как Р 4 (1)=4 и Р 4 (-4)=23, то числа 1 и -1 не являются корнями многочлена Р А (х). Поскольку Р 4 (2)=0, то х=2 является корнем многочлена Р 4 (х), и, значит, данный многочлен делится на двучлен х-2.

х 4 -5х 3 +7х 2 -5х+6 х-2

х 4 -2х 3 х -3х +х-3

-3х +7х -5х+6

-3х +6х

х -5х+6

х -2х

-3х+6

Следовательно, Р 4 (х)= (х-2)( х -3х +х-3). Так как х -3х +х-3 =

= х 2 (х-3)+(х-3)= (х-3)(х 2 +1), то х 4 -5х 3 +7х 2 -5х+6=(х-2)(х-3)(х 2 +1).

3.2 Метод введения параметра

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода можно пояснить на следующем примере.

Пример. х 3 -(√3+1)х 2 +3.

Решение : рассмотрим многочлен с параметром а:

который при а=√3 превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относительно а:

а 3 -ах 2 +(х 3 -х 2 ).

Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть а 1 =х и а 2 =х 2 -х, то справедливо равенство а 2 -ах 2 +(х 3 -х 2 ) = (а-х)(а-х 2 +х). Следовательно, многочлен х 3 -(√3+1)х 2 +3 разлагается на множители √3-х и √3-х 2 +х, т.е.

х 3 -(√3+1)х 2 +3=(√3-х)( х 2 -х-√3).

3.3 Метод введения новой переменной

В некоторых случаях путем замены выражения f(х), входящего в многочлен через у можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(х) получаем разложение на множители многочлена Р n (х).

Пример: разложить на множители многочлен

Решение : преобразуем данный многочлен следующим образом:

(х+1)(х+2)(х+3)-15= = (х 2 +3х)( х 2 +3х+2)-15.

Обозначим х 2 +3х через у. тогда имеем

х(х+1)(х+2)(х+3)-15=( х 2 +3х+5)( х 2 +3х-3).

Пример: разложить на множители многочлен (х-4) 4 +(х+2) 4

Решение : обозначим = х-1 через у.

Тогда (х-4) 4 +(х+2) 4 =(у-3) 4 +(у+3) 4 =у 4 -12у 3 +54у 3 -108у+81+у 4 +12у 3 +54у 3 +108у+81=

=2у 4 +108у 2 +162=2(у 4 +54у 2 +81)=2((у 2 +27) 2 -648)=2(у 2 +27-√648)(у 2 +27+√684)=

=2((х-1) 2 +27-√684)((х-1) 2 +27+√684)=2(х 2 -2х+28-18√2)( х 2 -2х+28+18√2).

3.4 Комбинирование различных методов

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Пример: разложить на множители многочлен

Решение : Применяя группировку, перепишем многочлен в виде

х 4 -3х 2 +4х-3=( х 4 -2х 2 )-(х 2 -4х+3).

Применяя к первой скобке метод выделения полного квадрата, имеем:

х 4 -3х 2 +4х-3=(х 4 -2∙1∙х 2 +1)(х 2 -4х+4).

Применяя формулу полного квадрата, можно теперь записать, что:

х 4 -3х 2 +4х-3=(х 2 -1) 2 -(х-2) 2 .

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что:

х 4 -3х 2 +4х-3=( х 2 -1+х-2)( х 2 -1-х+2)=( х 2 +х-3)(х 2 -х+1).

3.5 Решение симметрических уравнений третьей и четвертой степеней

а) решение симметрических уравнений третьей степени.

Пример: решить уравнение 3х 3 +4х 2 +4х+3=0.

Решение : это уравнение является симметрическим уравнением третьей степени.

Поскольку 3х 3 +4х 2 +4х+3=3(х 3 +1)+4х(х+1)=(х+1)(3х 2 -3х+3+4х)=

=(х+1)(3х 2 +х+3), то данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Решение первого из этих уравнений есть х= -1, второе уравнение решений не имеет.

б) решение симметрических уравнений четвертой степени.

Пример: решить уравнение х 4 -5х 3 +8х 2 -5х+1=0.

Решение : Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х=0 не является его корнем, то, разделив данное уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение:

х 2 -5х+8-5/х+1/х 2 =0

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

х 2 +1/х 2 -5(х+1/х)+8=0

Заменив х+1/х на у, получим уравнение

имеющее два корня у 1 =2 и у 2 =3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений х+1/х=2 и х+1/х=3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х =1, а решение второго есть х и х 3 = .

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х , х , х 3.

3. 6 Теорема Безу и ее следствия.

Наиболее общий прием решения уравнений высших степеней опирается на теорему Безу и ее следствия. Рассмотрим эту теорему и её следствия.

Пусть имеем многочлен М(х)=а 0 х n +а 1 х n-1 +…+a n , целый относительно х, т.е. многочлен с целыми неотрицательными показателями х, х-а- двучлен. Тогда теорема Безу утверждает:

Остаток от деления многочлена, целого относительно х, на двучлен х-а равен значению многочлена при х=а.

Если разделить многочлен М(х) на х-а, то в частности получится многочлен Q(x), степень которого на 1 меньше степени многочлена М(х), и некоторый остаток R. Очевидно, что остаток R не содержит х, т.е равен постоянному числу, так как степень остатка меньше степени делителя.

Тогда М(х)=(х-а)Q(х)+R. Это равенство верно при любом значении х. Оно является тождеством. Положим в нем х=а. Получим:

т.е М(а)=R, R= М(а). Теорема доказана.

Значение а, при котором R=0, называется корнем многочлена М(х). Оно является и корнем уравнения М(х)=0, так как М(а)=0.

Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен с числовыми коэффициентами, целый относительно х, имеет по крайней мере один корень х 1 . Из теоремы Безу в этом случае следует, что М(х)=(х- х 1 ) Q(x),где степень многочлена Q(x) на 1 меньше степени многочлена М(х). Заменим в уравнении М(х)=0 левую часть произведения (х- х 1 ) Q(x). Получим (х- х 1 ) Q(x)=0. Приравнивая к нулю множитель х- х 1 , получим уже найденный корень х 1 . Приравняем к нулю второй множитель Q(x)=0. Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что последнее уравнение имеет хоть один корень х 2 . Тогда левую часть уравнения Q(x)=0 можно заменить произведением (х-х 2 )Q 1 (х)=0, где Q 1 (х)-многочлен степени n-2. Продолжая рассуждать дальше, убеждаемся, что уравнение n-й степени имеет ровно n действительных или мнимых корней.

Если все коэффициенты в уравнении — действительные числа, то каждый мнимый корень уравнения обязательно имеет сопряженный ему корень этого уравнения, т.е. если уравнение с действительными коэффициентами имеет корень х 1 =а+bi, то оно имеет и корень х 2 =а-bi.

Пример: решить уравнение х 4 -3х 3 -8х 2 +12х+16=0.

Решение : выписываем делители свободного члена 16:

При х=1 в левой части уравнения получим 1-3-8+12+16≠0. Единица не является корнем уравнения.

Проверим х=-1. Левая часть уравнения будет равна 1+3-8-12+16=0, х 1 = -1-корень уравнения.

Делим левую часть уравнения на х-х 1 =х+1:

х 4 -3х 3 -8х 2 +12х+16 х+1

± х 4 ± х 3 х 3 -4х 2 -4х+16

±4 х 3 ±4х 2

±4х 2 ±4х

16х+16

Приравниваем к нулю полученное частное:

Проверяем, является ли х=2 корнем этого уравнения:

8-16-8+16=0, т.е. х 2 =2 – корень этого уравнения.

3.7 Метод Кордано

Данным методом решаются лишь уравнения вида х 3 + рх + q = 0

Используем формулу куба суммы: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab·(a + b)

Заменим (а + b) на х:

х 3 – 3abx – (a 3 – b 3 ) = 0

Исходное уравнение равносильно системе уравнений:

Эту систему можно решать по-разному, но результат один:

Это и есть формула Кардано , часто использующаяся при решении кубических уравнений, когда обычные методы не помогают.

Пример. Решим уравнение х 3 + 15х + 124 = 0

Решение. Имеем p = 15, q = 124.

3.8 Метод Феррари

х 4 + dx 3 + ax 2 + bx + c = 0

Избавляемся от dx 3 подстановкой

х 4 + ах 2 + bx + с = 0.

Идея в том, чтобы представить уравнение в виде А 2 =В 2 , где А = х 2 + s, а В – линейная функция от х. Тогда останется решить уравнение А = ± В.

Возьмем Тогда, учитывая исходное равенство, получим:

Пусть t 0 – корень последнего уравнения. Тогда при t = t 0 правая часть-квадрат:

Решив эту систему, мы найдем решение исходного уравнения.

Это и есть метод Феррари.

Пример. х 4 + 8х 3 + 11 = 68х

Решение . Добавив к обеим частям уравнения 16х 2 и перенеся свободный член вправо, перепишем уравнение следующим образом:

(х 2 +4х) 2 =16х 2 +68х-11

Введем неизвестное t и добавим к обеим частям уравнения выражение t 2 -2(х 2 +4х)t.

( х 2 + 4х – t) 2 = ( 16 — 2t)х + ( 68 — 8t)х — ( 11 – t 2 ).

Левая часть уравнения является квадратом. Найдем такое значение t, при котором квадратный трехчлен от х, стоящий в правой части, тоже является полным квадратом. Для этого нужно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. чтобы выполнялось равенство

( 34 — 4t) 2 + (16 — 2t) (1 1 – t 2 ) = 0.

Раскрыв в нем скобки, придем к кубическому уравнению

t 3 – 147t + 666 = 0, где t = 6 –корень уравнения.

При t = 6 исходное уравнение принимает вид:

( х 2 + 4х – 6 ) 2 = ( 2х + 5 ) 2 .

Значит, х 2 + 4х – 6 = ±(2х + 5).

Решая оба получившихся уравнения, найдем четыре корня данного уравнения:

3.9 Теорема Виета

х 3 + px 2 + qx + r = 0

Если х 1 , х 2 , х 3 – корни уравнения, то его можно записать в виде

(х – х 1 )·(х – х 2 )·(х – х 3 ) = 0

Преобразуем, раскрыв скобки:

х 3 – (х 1 + х 2 + х 3 )х 2 + (х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 )х – х 1 х 2 х 3 = 0

Имеем возможность вместо одного уравнения третьей степени записать такую систему из трех уравнений:

Видео:Ларинский вариант ЕГЭ №449. Математика на 100 балловСкачать

Из истории возникновения квадратных уравнений

Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = — 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам

Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

,

Бхаскара пишет под видом:

x2 — 64x = — 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 — б4х + 322 = -768 + 1024,

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.[3,75]

Квадратные уравнения в Европе XII—XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.[5,12].

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, надо знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

Например, 5х2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Если ах2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 — 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два и — . Таким образом, уравнение х2 — 5 = 0 имеет два корня: x1 = , x2 = — и других корней не имеет.

3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) перенести общий множитель за скобки;

Например, х2 — 3х = 0. Перепишем уравнение х2 – 3х = 0 в виде х ( х – 3 ) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х ( х – 3 ) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = — ;

3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = — с и далее х2.= — В случае, когда — 0, т. е. — = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня

= , = —, (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D 0.

1. Если D 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ; (1)

Например, 3х2 +8х – 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = -11. D = b2 – 4ас = 82 – 4*3*(-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.

2. Если D 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня: ; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: . (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно – записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы. [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q – данные числа. Число p – коэффициент при х, а q – свободный член. Дискриминант уравнения равен: D = p2 – 4q. Рассматривают 3 случая:

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле . (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как горят, два совпадающих корня:

📹 Видео

Все думали, что она глупая мажорка, а она гений 200 IQ😱 #кино #фильм #сериалСкачать

Эта первоклашка решает сложнейшие математические задачи круче любого препода\краткий пересказ фильмаСкачать

Самая простая нерешённая задача — гипотеза Коллатца [Veritasium]Скачать

Гениальная ceмилeтняя дeвoчкa идёт в Пеpвый клacc шкoлы и решает задачи лучше УчитeльницыСкачать

Проверь мозгСкачать

Зачетный препод. Как выглядела схемаСкачать

Парадокс Монти Холла | Двадцать одно. 2008. Момент из фильма [1080p]Скачать

Задача про землекопа — Уральские Пельмени | Лень КосмонавтикиСкачать