Частота вынуждающей силы в системах дифференциальных уравнений

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Определение вынужденных колебаний

Для того чтобы в реально существующей колебательной системе получать незатухающие колебания, следует каким-либо образом компенсировать потери энергии, которые происходят в результате существования сил сопротивления. Самым простым способом реализации незатухающих колебаний является воздействие на систему при помощи внешней периодической силы. Работа внешней силы обеспечить приток энергии в систему извне. Эта энергия не даст колебаниям затухнуть, при действии сил трения.

Колебания, которые возникают под действием периодически меняющейся силы (периодически изменяющейся ЭДС), называют вынужденными механическими (электромагнитными) колебаниями.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Допустим, на механическую колебательную систему действует гармонически изменяющаяся внешняя сила:

Рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник). Уравнение незатухающих гармонических колебаний для этой системы можно записать как:

где $x$ — координата; $delta $ — коэффициент затухания; $_0$ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $delta $=0, то $_$называют собственной частотой колебаний).

Если рассматривается, например, электрический колебательный контур, то роль периодически действующей силы может играть внешняя ЭДС или переменное напряжение. Их подводят к контуру извне и изменяются они по гармоническому закону. Уравнение колебаний в электрическом контуре можно представить как:

где $q$ — заряд; $delta =frac$ — коэффициент затухания; $_0=frac<sqrt>$; $U=U_m$ — внешнее переменное напряжение.

Уравнения (2) и (3) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

где $s$ — колеблющийся параметр; $x_0=frac$ если колебания механические ($x_0=frac— в случае электрических колебаний$).

Решением уравнения (4) является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение при этом имеет вид:

Его общее решение:

где $A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Частное решение уравнения (4) в представлено выражением:

Слагаемое $s_1$ в решении уравнения (5) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (8).

Установившись, вынужденные колебания происходят с частотой $omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определяются равенствами (8) и (9), и они зависят от частоты $omega $.

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Резонанс вынужденных колебаний

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний, то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Такое явление называют резонансом.

Из выражения (8) видно, что амплитуда имеет максимум. Для нахождения резонансной частоты (частоты при которой $A=max$), следует найти максимум функции $A(omega )$. Взяв производную $frac$ и приравняв ее к нулю получим:

Равенство (10) справедливо при:

Получается, что резонансная частота ($_r$) равна:

При $^2ll ^2_0$ резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний $_0.$ Подставим вместо частоты правую часть выражения (11) в формулу (8), получим выражение для резонансной амплитуды вынужденных колебаний:

При небольшом затухании колебаний (если $^2ll ^2_0$) амплитуда при резонансе равна:

где $Q=frac<_0>$ — добротность колебательной системы, величина, характеризующая резонансные свойства колебательной системы. С увеличением добротности увеличивается амплитуда резонанса.

Видео:ОДУ. 4 Системы дифференциальных уравненийСкачать

Примеры задач с решением

Задание. Какова добротность колебательного контура, представленного на рис.1?

Решение. Добротность электрического колебательного контура найдем как:

При этом собственная частота колебаний в таком контуре равна:

коэффициент затухания находим как:

Подставляет правые части выражений (1.2) (1.3) вместо соответствующих величин в (1.1), в результате, добротность представленного на рис. 1 контура найдем при помощи формулы:

Ответ. $Q=10$

Задание. Пружинный маятник выполняет вынужденные колебания в вязком веществе. Масса груза на пружине равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Коэффициент сопротивления среды равен $r$. Систему заставляет совершать колебания сила $F=$Чему равна резонансная амплитуда заданных колебаний ($A_r$)?

Решение. Допустим, что груз совершает колебания вдоль прямой X, тогда уравнением данных механических колебаний будет выражение:

где коэффициент затухания равен $delta =frac$. Из функции, которая задает вынуждающую силу:

мы видим, что амплитуда силы равна единице:

Собственная частота колебаний груза на пружине:

Амплитуда при резонансе таких колебаний равна:

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Вынужденные колебания системы без учета сопротивления

Видео:Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

Вынужденные колебания системы без учета сопротивления

• Возбуждение вынужденных колебаний требует определенной формы воздействия на точку возмущенной механической системы. Наиболее распространенный случай силового и кинематического возбуждения. В этих случаях рассматриваются примеры линейных колебаний груза массой m вдоль горизонтальной плоскости (рис. 118, а) под действием пружины с жесткостью с. В зависимости от времени на нагрузку действует сила (Ф). Груз имеет одну степень свободы.

Галстук (гладкая поверхность) идеален. Созданы и обобщены уравнения Лагранжа для движения грузов. Рисунок 118 Координаты измеряются от положения нагрузки, где пружина не деформируется. У нас есть Сопротивление отсутствует, т. Е. (? F = 0. Кинетическая энергия нагрузки Потенциальная энергия и обобщенная сила 77 = cx2 / 2; Qn = -dP / dx = -cx. Для обобщенной силы QB, ‘8 г / (8х) = Ф8х / (8х) = Ф (г). Где 8 л — возможное движение груза в направлении увеличения х. Рассчитать производную кинетической энергии. У нас есть dT = .. £ dT dx mX ‘dt dx Подставляя полученное значение в уравнение Лагранжа, mx = -cxf-f (r) или dax + cx = f (f).

Так как механическая система, состоящая из точки переменной массы и отделившихся от нее частиц, свободна от действия внешних сил, то ее количество движения является постоянной величиной. Людмила Фирмаль

В случае гармонических помех QB = Φ (z) = H sin (p t +8). Где H, p и 8 — постоянные значения. Уравнение движения груза принимает вид mx + cx = Hsin (pf + 8). С той же проблемой перемещения груза, если сила Φ = 0 и, следовательно, QB = 0, но вместо этого перемещение конца пружинной точки A- в направлении оси Ox задано в виде z = z (t) Предположение (рис. 118, 6). Создайте лагранжево уравнение нагрузки для системы отсчета движения Ohu. Поскольку его начальная точка перемещается вместе с точкой A, OA всегда постоянна. В этом случае еще Q «=

dP) dx = -ex. Нагрузка кинетическая энергия 2 2.

Поскольку движение груза можно рассматривать как сложное, оно состоит из переносного переноса и точки A, которая связана с движущейся в данный момент системой координат Ohu. По теореме скорости абсолютная скорость движения v равна сумме соотношения рис движения и относительной скорости движения, то есть v = z + x. Производная кинетической энергии 1 £ 1- д Людмила Фирмаль

Следовательно, вынужденная вибрация системы без сопротивления при p ^ k является гармонической вибрацией с постоянной амплитудой, возбуждаемой гармонизирующей силой возмущения. Их частота соответствует частоте возмущающей силы. Они полностью независимы от начальных условий. 2. В случае резонанса. Резонанс — это случай, когда частота собственных колебаний соответствует возмущающей силе, то есть p = k. Если частоты совпадают, вам нужно найти конкретное решение уравнения (38) в виде ^ 2 = / / cos (? (++ +8)). Константа B определяется из условия, что q2 является конкретным решением уравнения (38) и q2 становится тождеством. (38) заменить q2 и его производную и сделать постоянный коэффициент sin (/ ib 8) равным нулю [как в случае, когда члены Bt cos (pl + 8) исчезают друг от друга] B = -h / (2р).

Вынужденная вибрация выражается в виде «2 = — ^ s» (/ »+ S) = ^ ™ (^ P ‘+ S-NC) Основной особенностью вынужденных колебаний при резонансе является зависимость амплитуды от времени. На фиг. 119 Раунд матчей A2 = ht / (2р). В этом случае амплитуда вынужденной вибрации увеличивается пропорционально времени. Как видно из (43), фазовый сдвиг в резонансе равен π / 2. График вынужденной вибрации в резонансе, где круговая частота вынужденной вибрации на частоте среза возмущающей силы, q2, равна a = A2 = d // (2p) до q2 = -A2-ht / l2p. Поэтому (43) график вынужденных колебаний представляет собой синусоидальную волну, окруженную двумя прямыми ^ Y ‘= π / (2p) и q £’ = -ht / (2p), точки q2 = 0 и t = 0 Проходит (Рисунок 119).

Когда система движется, всегда существует сопротивление движению, поэтому рассматриваемый случай вибрации при резонансе без сопротивления фактически не встречается. Увеличение амплитуды из-за теоретически установленного линейного закона фактически не наблюдается, но амплитуда резонанса намного выше, чем при отсутствии резонанса. Эта характеристика вынужденной вибрации во время резонанса приводит к тому, что случайно возникающие резонансы в машинах, установках и конструкциях (мосты, роторы турбин, полы зданий и т. Д.) Могут привести к разрушению. Для вынужденной вибрации постройте графики амплитуды и фазового сдвига в соответствии с круговой частотой возмущающей силы.

У нас есть Здесь введено обозначение A2Q = h / k2 (рисунок 120). Если p-> k, величина Л2-> оо, но если p = k, эта формула для амплитуды вынужденных колебаний неприменима. Имеет место другая формула: A2 = ht / (2p). Рисунок 120 тг ^ ——- е Рисунок 121 График зависимости r от p (рис. 121) состоит из двух отрезков горизонтальной линии и одной точки, если p k r = n. Пример I. Нагрузка гравитации P = 20 Н подвешена на пружине (рис. 1 22), статическое удлинение под воздействием нагрузки> .с, = 5 см. Нарушение 5 = 20 грех 14 / N влияет на нагрузку. В первый момент пружина выдвигается, и X0 = 6 см, а скорость r0 = 10 см / с передается нагрузке. Napura Определите движение груза.

Решения. Ориентируйте ось Ox вертикально за пределы положения начала координат x O. Предположим, что возмущающая сила 5 направлена ​​на положительную сторону оси Ox в момент времени t. Необходимо добавить гравитацию P и упругость пружины F. Линейное дифференциальное уравнение 2, F ^ P-F + S; P — F = P — c (ke Моя частота Выбери статику и пух! P = cX „; k2 = cg / P

196 Разделим обе части уравнения на t. x + 196x = 980sinl4 /. Частота возмущения p = 14 с совпадает с k-колебанием. Там может быть резонанс. Собственная вибрация сила xl = Clcosl4 / + C2sinl4 /. Резонанс ф /, вибрация при 980 / x2 = -— cosl4 / = -—— cosl4 / = -35 / cos 14g. 2р 2-14 Генеральные грузоперевозки Скорость движения «= X = -14C1sinl4 / + I4C2cos14 / -35cos 14 / + 35-14 / sin 14 /.

Подстановка начальных значений f = 0, x = x0 = X0 — X „= 1 см, x = b0 = 10 см / с для x и x дает следующее уравнение для определения постоянной: 10 = 14С2-35. Их решение: С = 1 см; С2 = 3,2 см. Уравнение движения груза принимает вид x — cos 141 + 3.2sin 14 / -35 / cos 14 / cm. Уравнение естественной вибрации в амплитудном формате. У нас есть: — Д-р 5ф Кинетическая энергия системы только с массой груза рассчитывается по формуле Поскольку движение нагрузки можно считать сложным, поступательное перемещение с точкой O со скоростью y0 = lpcospt и относительно угловой скорости φ вокруг горизонтальной оси Oz через точку O, перпендикулярную стержню и плоскости Oxy Поскольку угол φ и угловая скорость φ, состоящие из вращательного движения, считаются малыми, скорость вращения вокруг оси равна /, φ и направлена ​​вертикально вверх. Согласно теореме сложения скорости, ==) ‘0 + / 1ph.

Чтобы определить обобщенную силу, пусть система знает возможное движение r = 1С1 + (у0- / 2ф) — его удлинение. бар Thread она В положении статического равновесия момент силы тяжести и момент упругости для точки O равны друг другу, то есть P1 / 1 = cX.s, / g. Рассчитайте количество, содержащееся в левой части уравнения Лагранжа. После подстанции d P, 1c. -X Получить уравнение Лагранжа Однако, если „= -Ip2 sinpt . копать cljg введение Diffsrentia: установка системы не может быть скомпилирована Используйте уравнение гранж. Применить относительные уравнения Вращающаяся дверь с учетом момента (стержень с грузом) Инерционная сила от конкретного движения. Введение в обозначения П, 1] 80-902 45 + 0,71) 1, Получите дифференциальное уравнение для следующей небольшой вибрации. 9 + A: 2

Решение φ = φ1 + φ2. здесь

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Если колебания совершаются под воздействием внешней силы, они называются вынужденными. Работа внешней силы, которая обеспечивает колебательную систему энергией, при этом является положительной. Благодаря ей колебания не затухают и могут противодействовать силам трения.

Внешняя сила не обязательно должна быть постоянной. С течением времени она может изменяться по разным законам. Особый случай – воздействие на колебательную систему внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону с частотой, равной ω , в то время как сама система совершает собственные колебания с той же самой частотой.

Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней силы. Частоту свободных колебаний определяют параметры системы.

Когда внешняя сила начинает воздействовать на колебательную систему, должно пройти некоторое время Δ t , прежде чем вынужденные колебания установятся. Это время будет равно тому времени τ , за которое затухают свободные колебания в данной системе.

В момент начала воздействия в системе начинают происходить два процесса одновременно – свободные колебания с собственной частотой ω 0 и вынужденные с частотой ω . Однако из-за сил трения свободные колебания в определенный момент затухают, поэтому по прошествии времени в системе сохраняются лишь стационарные колебания с той частотой, которая соответствует внешней (вынуждающей) силе.

Разберем пример. У нас есть тело на пружине, совершающее вынужденные колебания (см. иллюстрацию ниже). Приложим внешнюю силу, обозначенную F → в н , к свободному концу пружины, после чего этот конец начнет перемещаться по закону, выражаемому формулой:

Здесь буквой ω обозначена круговая частота, а y m – амплитуда колебаний.

Перемещения такого рода обеспечиваются шатунным механизмом, который преобразует круговые движения в возвратно-поступательные.

Рисунок 2 . 5 . 1 . Груз на пружине, совершающий вынужденные колебания. Перемещение свободного конца выражено формулой y = y m cos ω t , где l означает длину недеформированной пружины, а k –ее жесткость.

При смещении левого конца пружины на некоторое расстояние y и правого – на x по сравнению с первоначальным положением недеформированной пружины будет происходить ее удлинение. Найти величину этого удлинения можно по следующей формуле:

∆ l = x — y = x — y m cos ω t .

В таком случае мы можем переформулировать второй закон Ньютона для этого случая следующим образом:

m a = — k ( x — y ) = — k x + k y m cos ω t .

Здесь сила, которая действует на тело, показана как сумма двух слагаемых, первым из которых является упругость, стремящаяся к равновесию тела, а вторым – внешнее воздействие, совершающееся с определенными интервалами. Внешнюю силу также называют вынуждающей.

Теперь выразим эту зависимость в строгой математической формуле, учитывающей связь между координатой тела a = x ¨ и его ускорением. У нас получится следующее:

x ¨ + ω 0 2 x = A cos ω t .

Эта зависимость называется уравнением внешних колебаний. Здесь ω 0 = k m является собственной круговой частотой свободного колебания, а ω – циклической частотой внешней (вынуждающей) силы.

Чтобы найти величину A для вынужденного колебания груза на пружине, нужно воспользоваться следующей формулой:

A = k m y m — ω 0 2 y m .

То уравнение, что мы записали перед этим, не учитывает, что на тело действуют также и силы трения. В уравнении вынужденных колебаний, в отличие от уравнения свободных, учитываются сразу обе частоты – частота вынуждающей силы и частота свободных колебаний.

Вынужденные колебания груза на пружине, которые устанавливаются со временем, имеют частоту внешнего воздействия. Это определяется следующим законом:

x ( t ) = x m cos ( ω t + θ ) .

Здесь x m обозначает амплитуду вынужденного колебания, а буква θ – его начальную фазу. Значения обоих этих показателей будут зависеть от амплитуды внешней силы и соотношения частот.

Если частоты очень низкие, т.е. ω ≪ ω 0 , то тело, прикрепленное к правому концу пружины, движется точно так же, как и левый конец этой пружины. Тогда получается, что x ( t ) = y ( t ) . Сама пружина при этом практически не деформируется, а модуль внешней силы F → в н , приложенной к ее левому концу, стремится к нулю. Работа при этом не совершается.

Видео:Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 3.5. Линеаризация систем диф.уровСкачать

Понятие резонанса

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении частоты внешней силы с собственной частотой колебания тела.

С помощью резонансной кривой (резонансной характеристики) можно описать зависимость, существующую между амплитудой внешних колебаний x m и частотой вынуждающей силы ω .

Когда происходит резонанс, амплитуда x m может оказаться значительно больше, чем амплитуда колебаний левого (свободного) конца пружины.. Если мы не будем учитывать силы трения, то получится, что при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать неограниченно. В реальности она будет зависеть от следующего условия: работа внешней силы в течение всего времени колебаний должна совпадать с потерями механической энергии, происходящими из-за трения. При уменьшении трения (и, соответственно, повышении добротности Q колебательной системы) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастет.

Рисунок 2 . 5 . 2 . Моделирование вынужденных колебаний.

Если добротность колебательной системы невысока (менее 10 ), то частота резонанса будет находиться ближе к низким частотам. Это показано на иллюстрации 2 . 5 . 2 .

Явление резонанса имеет большое практическое значение. Именно из-за него зачастую разрушаются здания, мосты и другие сооружения. Это происходит в тот момент, когда их собственные частоты совпадают с частотой внешней силы, например, колебаниями мотора.

Рисунок 2 . 5 . 3 . Изображение затухания различных колебаний при помощи резонансных кривых: 1 — условная система без учета трения (бесконечное возрастание амплитуды вынужденных колебаний), 2 , 3 , 4 – резонансные колебания в реальных условиях, происходящих в системах разной степени добротности ( Q 2 > Q 3 > Q 4 ) . Если частоты низкие, то ( ω ≪ ω 0 ) x m ≈ y m , а если высокие, то ( ω ≫ ω 0 ) x m → 0 .

Вынужденные колебания являются незатухающими. При трении неизбежно теряется часть энергии, однако воздействие внешних периодически действующих сил компенсирует ее.

Видео:01.02. Модель SIR. Численное решение системы дифференциальных уравнений с помощью SciPyСкачать

Что такое автоколебательные системы

Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Процесс колебаний в таких системах называют автоколебаниями.

Внутри этой системы можно выделить три составляющих – саму систему, источник внешней постоянной энергии и обратную связь между ними. Первым элементом выступает любая механическая система, которая может совершать затухающие колебания, например, часовой маятник. В качестве источника можно использовать потенциальную энергию груза в поле тяжести или энергию деформации пружины. Система обратной связи – это, как правило, особый механизм, функцией которого является регулирование поступлений энергии. На иллюстрации показано, как эти компоненты взаимодействуют между собой.

Рисунок 2 . 5 . 4 . Автоколебательная система со всеми основными составляющими.

Какие можно привести примеры таких систем? Ярким примером является часовой механизм с так называемым анкерным ходом. В нем есть ходовое колесо с косыми зубчиками, прочно сцепленное с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с грузом. В верхней части маятника закреплен якорек (анкер), состоящий из двух твердых пластинок, дугообразно изогнутых по окружности с центром на основной оси. В механизме ручных часов вместо гири используется пружина, а вместо маятника – маховичок-балансир, соединенный со спиральной пружиной, который совершает круговые колебания вокруг своей оси. В качестве источника внешней энергии выступает заведенная пружина или поднятая гиря. Обратная связь осуществляется с помощью анкера: он позволяет ходовому колесу совершать поворот только на один зубец за полупериод. Когда анкер взаимодействует с ходовым колесом, происходит передача энергии. Когда маятник колеблется, зубец ходового колеса передает анкерной вилке энергию по направлению движения маятника, и именно этим компенсируются силы трения. Таким образом, энергия поднятой гири или заведенной пружины поступает маленькими порциями к маятнику.

Существует также много других автоколебательных систем, которые широко применяются в технике. Автоколебания происходят внутри двигателей внутреннего сгорания, паровых машин, электрических звонков, музыкальных инструментов, голосовых связок и т.д.

Рисунок 2 . 5 . 5 . Схема маятникового часового механизма.

🔥 Видео

Системы дифференциальных уравненийСкачать

Дифференциальные уравнения 6. Фазовые траектории. Особые точки автономных системСкачать

Устойчивость 1 ОпределениеСкачать

Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать

14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать