Частный случай алгебра квадратные уравнения

Видео:Частные случаи решения квадратных уравненийСкачать

Частные случаи решения квадратных уравнений

Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Закрепить умения устно находить корни квадратного трехчлена по теореме Виета; познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного уравнения, раскрыть связи между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
  • Активизировать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты; развивать исследовательские навыки и самостоятельность.
  • Воспитывать умение использовать замеченные свойства изучаемых объектов для решения задач, умение их обобщать, расширить кругозор.

Метод обучения: беседа, объяснение, письменные и устные упражнения.
Форма контроля: самостоятельная работа.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы:

  1. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
  2. Дайте определение квадратного уравнения.
  3. Как называются числа a, b и c ?
  4. Можно ли назвать квадратными уравнения:
    ax 2 +c=0;
    ax 2 +x=0;
    ax 2 =0?
  5. Как называются такие уравнения?
  6. Какое квадратное уравнение называется приведенным?
  7. Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
  8. От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?
  9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
  10. Как вычислить дискриминант?
  11. Какова формула корней квадратного уравнения?
  12. Какова формула корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом?
  13. Сформулируйте теорему Виета.
  14. Составьте квадратное уравнение по его корням x1=–3; x2= –10.
  15. Составьте квадратное уравнение по его корням x1= –7; x2= –4.

Хорошо, разминка прошла успешно. Теперь выполним самостоятельную работу.

3. Самостоятельная работа.
Разложите квадратный трехчлен на множители, подобрав корни
по т. Виета.

а)х 2 – 8х + 15 = ( ) ( )
б)х 2 – 2х – 3 = ( ) ( )
в)х 2 – 4х + 4 = ( ) ( )

а)х 2 – 11х + 18 = ( ) ( )
б)х 2 – 7х + 12 = ( ) ( )
в)х 2 – 5х – 6 = ( ) ( )

(Проверяется на этом же уроке.)

4. Формирование новых понятий.
Сегодня мы рассмотрим на уроке частные случаи применения теоремы Виета, позволяющие устно найти корни полного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
1) Рассмотрим уравнения х 2 + 2х – 3 = 0 и 2х 2 + 3х – 5 = 0.
Какова сумма коэффициентов в этих уравнениях? (1 + 2 – 3 = 0; 2 + 3 – 5 = 0) .
Определим корни этих уравнений. (х1 = 1, х2 = – 3 ) и (х1 = 1, х2 = – 2,5 ) .
Какое число является корнем каждого из них? Правильно, 1.

Приходим к выводу:
если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 a+ b + c = 0 , то х1 = 1, х2 =. (*)
2) Рассмотрим уравнения х 2 – х – 2 = 0 и 2х 2 + 3х + 1 = 0.
Сравним сумму коэффициентов а и с в этих уравнениях с коэффициентом b.
(1 – 2 = – 1; 2 + 1 = 3) . Определим корни этих уравнений.
1 =2, х2= – 1) и (х1= – 0,5, х2= – 1).
Какое число является корнем каждого из них? Правильно, – 1.

Приходим к выводу:
если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 a+ c = b , то х1 = – 1, х2 = – . (**)
Ребята, а как вы думаете, можно ли применять частные случаи теоремы Виета для приведенных квадратных уравнений? Найдите сумму и произведение корней.

Приведенные квадратные уравненияX1X2X1 + X2X1 ∙ X2
x 2 – 15x + 14 =01
x 2 + 8x + 7 = 0— 1
х 2 + 9x + 20 = 0

Правильно, молодцы!
Используя теорему Виета можно вывести еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

1) Найдем сумму квадратов корней

Аналогично можно рассмотреть сумму кубов корней:

Таким образом, теорема Виета позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
А теперь проверим, насколько вы усвоили сегодняшний материал и повторим изученное ранее.

5. Формирование умений и навыков.

5.1 Решите квадратное уравнение с помощью свойств (*) и (**).

а) х 2 + 5х – 6 = 0;
б) х 2 + 23х + 22 = 0;
в) 3х 2 – 4х + 1 = 0;
г) 5х 2 + 26х + 21 = 0;

д) х 2 + 6х – 7 = 0;
е) х 2 +17х + 16 = 0;
ж) 13х 2 – 18х + 5 = 0;
з) 7х 2 + 2х – 5 = 0.

5.2 Разложите на множители квадратный трехчлен, предварительно решив соответствующее квадратное уравнение:

а) х 2 – 6х + 5 ; б) – 2у 2 + 4у + 6 ; в) 30х 2 – 21х – 9 ; г) у 2 + 3у + 2 .

5.3 Числа х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения х 2 – 7х – 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5х1 и 5х2.

5.4 Упростите выражение :

Частный случай алгебра квадратные уравнения

Данное уравнение действительно имеет два различных корня х1 и х2,т.к. D = 49 + 4 > 0. По теореме Виета х1 + х2 = 7, х1х2 = – 1 . Составим приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0, имеющее корни 5х1 и 5х2:
р = – (5х1 + 5х2) = – 5(х1+ х2) = – 5·7 = – 35,q=1·5х2= 25х1·х2 = 25· (– 1) = –25.
Следовательно, искомое уравнение: х 2 – 35х – 25 = 0.

6. Подведение итогов урока.

Школьники всего мира знают имя Франсуа Виета в связи с изучением данной теоремы. Это ли не честь ученому? Лучшего памятника трудно придумать!

А сейчас ребята продемонстрируют творческое задание презентацию с историческими сведениями о замечательном математике Ф. Виете.

7. Домашнее задание. П.4.6, № 339, 340.

Литература:

  1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин . Алгебра 8 класс – М.: Просвещение, 2006 г
  2. М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Дидактические материалы для 8 класса – М.: Просвещение, 2006 г
  3. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. Сборник элективных курсов. Математика 8 – 9 . Волгоград. «Учитель», 2006 г

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Как решать квадратные уравнения

Частный случай алгебра квадратные уравнения

О чем эта статья:

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 класс

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

  • если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула КорнейСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула Корней

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

  • x 2 — 2x + 6 = 0
  • x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

  • 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Частный случай алгебра квадратные уравнения

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:
  • Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
  • Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
  • Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | Математика

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

  • ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
  • ax 2 + c = 0, при b = 0;
  • ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

  1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
  2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

  • перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
  • разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

  • не имеет корней при — c/а 0.
В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

    Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

  • В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
  • Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

    Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

    Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

    Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

    Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

    Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

    Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

    Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

  • Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.
  • Решить линейное уравнение:

    0,5x = 0,125,
    х = 0,125/0,5

  • Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.
  • Ответ: х = 0 и х = 0,25.

    Как разложить квадратное уравнение

    С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

    Формула разложения квадратного трехчлена

    Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2).

    Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

    5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

    Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

    Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

    Эта запись означает:

    Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

    Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

    Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

    В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

    Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

    • вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
    • если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
    • если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
    • если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

    Примеры решения квадратных уравнений

    Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

    Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

    1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
    2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
    3. Найдем корень

    Ответ: единственный корень 3,5.

    Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

      Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

    Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 3 и — 3.

    Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

      Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

    Ответ: два корня 0 и 1.

    Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

      Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

    Ответ: два корня 7 и −7.

    Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

      Найдем дискриминант по формуле

    D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

  • Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.
  • Ответ: корней нет.

    В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

    Видео:Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

    Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | Математика

    Формула корней для четных вторых коэффициентов

    Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения Частный случай алгебра квадратные уравнения, где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

    Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

    2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

    Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    где D1 = n 2 — ac.

    Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

    Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

    • вычислить D1= n 2 — ac;
    • если D1 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Видео:Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

    Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетитор

    Формула Виета

    Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

    Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

    Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

    Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

    Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

    Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

    Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

    Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

    Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
    2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

    Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

    Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

    Обратная теорема Виета

    Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

    Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

    Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

      Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

    2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

    Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

    Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

    Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Упрощаем вид квадратных уравнений

    Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

    Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

    Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

    Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

    Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

    А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

    Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

    Связь между корнями и коэффициентами

    Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

    Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

    Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

    Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

    Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

    Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполные

    Конспект по математике на тему «Частные случаи квадратных уравнений»

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Частный случай алгебра квадратные уравненияЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

    Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное

    здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

    В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

    где x -переменная, a, b, c — некоторые числа,

    0 , называется квадратным уравнением .

    Примеры: 5 2 −14 +17=0; 3 2 +5 =0; 3 2 −5 Частный случай алгебра квадратные уравнения=0.

    Из школьного курса нам известны формулы:

    . Частный случай алгебра квадратные уравнения

    . Частный случай алгебра квадратные уравнения

    И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

    Если числа m и n таковы,

    Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

    Мы заметили, что

    1) Еслиа+в+с=0, то 1 = ; 2 = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

    В уравнение ах 2 +вх+с=0 подставим

    в = -(а + с), получим

    а 2 -(а+с) +с=0,преобразуем:

    откуда =1 или = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    2) Если а + с = в, то = − ; = − Частный случай алгебра квадратные уравнения

    В уравнение а x 2 +в +с=0 подставим

    в = а + с, получим

    а 2 +(а + с) +с=0 , преобразуем:

    откуда =-1 или =- Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Например: Частный случай алгебра квадратные уравнения

    319 2 + 1988 + 1669 = 0, 1 = −1; 2 = Частный случай алгебра квадратные уравнения;

    319 2 − 4 − 315 = 0, 1 = 1; 2 = − Частный случай алгебра квадратные уравнения.

    имеет корни : = − ; = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    По формуле I найдем : Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения; Частный случай алгебра квадратные уравнения

    1= — a ; 2 = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Например: Частный случай алгебра квадратные уравнения

    2 — ( 2 +1) + = , имеет корни : = ; = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    По формуле I найдем : Частный случай алгебра квадратные уравнения Частный случай алгебра квадратные уравнения; Частный случай алгебра квадратные уравнения; 1 = a ; 2 = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Например: Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравненияЧастный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения; 1= -а; 2= Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Например: Частный случай алгебра квадратные уравнения

    2 – ( 2 – ) − = , имеет корни : = ; = − Частный случай алгебра квадратные уравнения.

    Частный случай алгебра квадратные уравненияДоказательство:

    По формуле I найдем : Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения; Частный случай алгебра квадратные уравнения; 1= а; 2= Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Например: Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения Частный случай алгебра квадратные уравненияНо это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.

    Тогда его можно записать в виде:

    Частный случай алгебра квадратные уравненияах 2 +вх+ mn = 0 (1)

    Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения а m х 2 +вх+ n =0 (2)

    Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
    то есть
    D = b 2 -4 mn = b 2- 4 ac .

    Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

    Частный случай алгебра квадратные уравнения, а уравнения (2) по формуле :

    Частный случай алгебра квадратные уравнения.

    Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.

    Например, уравнение Частный случай алгебра квадратные уравненияимеет корни х 1=1 , х 2 =12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение Частный случай алгебра квадратные уравненияимеет корни: х 1 = Частный случай алгебра квадратные уравнения; х 2 = 2

    У равнение Частный случай алгебра квадратные уравненияимеет корни х 1 = Частный случай алгебра квадратные уравнения; х 2 =4

    Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

    Например, возьмем уравнение : Частный случай алгебра квадратные уравнения, корни которого мы уже

    Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 . Отсюда уравнения:

    Решим уравнение: 4 x 2 -21 x +5 =0 (1)

    Получим уравнение:х 2 -21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

    Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : 1= 1/4; 2 =5.

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    Частный случай алгебра квадратные уравнения

    данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

    овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

    потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

    1) Если а+в+с=0, то = ; = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    2) Если а + с = в, то = − ; = − Частный случай алгебра квадратные уравнения

    имеет корни: = − ; = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    имеет корни: = ; = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    имеет корни: = ; = − Частный случай алгебра квадратные уравнения.

    имеет корни: = − ; = Частный случай алгебра квадратные уравнения

    💡 Видео

    Как решать неполные квадратные уравнения. Алгебра 8 классСкачать

    Как решать неполные квадратные уравнения. Алгебра 8 класс

    Частные случаи корней квадратного уравненияСкачать

    Частные случаи корней квадратного уравнения

    РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. §19 алгебра 8 классСкачать

    РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. §19  алгебра 8 класс

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Полные Квадратные Уравнения. Как решать Полные Квадратные Уравнения?Скачать

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Полные Квадратные Уравнения. Как решать Полные Квадратные Уравнения?

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?Скачать

    МАТЕМАТИКА 8 класс - Неполные Квадратные Уравнения. Как решать Неполные Квадратные Уравнения?

    Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

    Квадратные уравнения #shorts  Как решать квадратные уравнения

    Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать

    Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)

    Частные случаи решения квадратных уравнений Решение уравнений с использованием свойств коэффициентовСкачать

    Частные случаи решения квадратных уравнений Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов

    Квадратные уравнения с модулем.Скачать

    Квадратные уравнения с модулем.

    Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

    Квадратное уравнение. 8 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: