Бигармоническое уравнение в плоской задаче теории упругости имеет вид (6 видео)

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Содержание

Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Плоская задача теории упругости, решение с помощью функции напряжений обратным методом
Плоская задача теории упругости в полярных координатах
📹 Видео

Видео:Плоская задача в напряжениях. Функция напряжений Эри.Скачать

Общие уравнения плоской задачи в полярных координатах

Во многих случаях, когда тело ограничено поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями, плоскую задачу теории упругости удобно рассматривать в полярной системе координат.

Совместив полюс полярной системы координат (г, 0) с началом декартовой системы координат (х, у), а полярную ось — с осью абсцисс Ох (рис. 18.1), нетрудно установить связь между координатами произвольной точки М в этих двух системах координат:

Обратные зависимости имеют вид

Уравнения плоской задачи теории упругости в полярной системе координат могут быть получены путем преобразования уравнений главы 17 с использованием зависимостей (18.1) и (18.2). Однако более просто вывести все уравнения непосредственно в полярной системе координат.

Уравнения равновесия. Выделим из нагруженного плоского тела бесконечно малый элемент abed (рис. 18.2), образованный двумя концентрическими окружностями с радиусами гиг + dm двумя лучами, проведенными под углами 0 и 0 + dQ к оси Ох. Толщину элемента примем равной единице.

На гранях ad и ab элемента действуют радиальные G r’ °9’ Х Г0 :

Сложив почленно первые две из формул (18.8) или (18.9), получим подтверждение известного свойства первого инварианта тензора напряжений при двухосном напряженном состоянии:

Уравнения неразрывности деформаций. В § 17.3 было получено уравнение неразрывности деформаций в напряжениях (17.19) в декартовой системе координат для случая, когда объемные силы постоянны или равны нулю. Это уравнение имеет вид

где

оператор Лапласа.

Для того чтобы записать оператор Лапласа в полярных координатах, установим связь между частными производными произвольной функции в декартовых и полярных координатах.

Из курса высшей математики известны формулы для определения частных производных сложной функции двух переменных:

С учетом (18.1) и (18.2) получим

Используя эти соотношения, найдем частные производные функции ср первого и второго порядка и выражение V 2 cp:

Таким образом, в полярной системе координат уравнение неразрывности деформаций плоской задачи в напряжениях для случая, когда объемные силы постоянны или равны нулю, имеет вид

оператор Лапласа в полярных координатах.

Уравнение неразрывности (18.17) и уравнения равновесия (18.3) образуют полную систему трех уравнений с тремя неизвестными

Видео:Теория упругости. Лекция №3 (1). Постановка задачи теории упругости в перемещениях и в напряжениях.Скачать

ПроСопромат.ру

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Видео:Лекция №1 Постановка задачи теории упругости. Условия совместности деформаций Сен-Венана.Скачать

Плоская задача теории упругости, решение с помощью функции напряжений обратным методом

Прямоугольная полоса имеет длину ℓ=10 м, высоту h=4 м и толщину, равную 1. Начало координат примем в середине левого торцевого сечения. Главными осями сечений являются оси y и z, продольная ось ОХ проходит в середине полосы-балки. Объемными силами будем пренебрегать. Функция напряжений задана в виде алгебраического полинома:

Итак, схема полосы:

Требуется:

Проверить, может ли предложенная функция напряжений φ(х,у) быть принятой для решения плоской задачи? Для этого необходимо проверить, удовлетворяет ли она бигармоническому уравнению:
Найти выражения для напряжений в любой точке полосы по формулам Эри:
Построить эпюры напряжений σ_х и τ_ух в заданном сечении х=2м полосы.
Определить внешние силы (нормальные и касательные) на контуре полосы, построить эпюры этих нагрузок и указать их направления. Для этого используются условия на контуре:, где — проекции на оси ОХ и ОУ внешних сил, действующих на грани балки-полоски, — нормаль к грани, — направляющие косинусы нормали.
Выполнить контроль полученных результатов: а) проверить, соблюдается ли закон парности касательных напряжений в углах полосы, б) составить уравнения равновесия действующих на полосу внешних сил и проверить, удовлетворяются ли они.

Решение:

1. Функция напряжений задана:

Для проверки удовлетворения бигармоническому уравнению плоской задачи ТУ вычисляем последовательно три частные производные:

Найденные частные производные подчеркнуты сплошной линией. Подставим их в бигармоническое уравнение:

Таким образом, функция напряжений удовлетворяет бигармоническому уравнению и, следовательно, может быть принята для решения плоской задачи теории упругости.

2. Найдем выражения для напряжений в любой точке полосы по формулам Эри:

3. Построим эпюры напряжений в сечении х=2м:

Судя по полученным выражениям, обе составляющие напряжений изменяются по высоте сечения полосы по законам кубических парабол. Для построения эпюр напряжений найдем их значения в нескольких точках, например, в пяти характерных точках заданного сечения х=2м. Результаты вычислений представим в таблице.

Построим эпюры напряжений:

4. Определим внешние силы (нагрузки) приложенные на контуре балки-полоски, соответствующие заданной функции напряжений:

а) нагрузки, действующие на верхнюю грань.

Уравнение верхней грани:

Значения направляющих косинусов внешней нормали:

Тогда

Для верхней грани нагрузка Х_ν является касательной (сдвигающей) нагрузкой.

Найдем

Yν — эта нагрузка для верхней грани является нормальной (то есть перпендикулярной к грани).

Значения ординат эпюр нагрузок на верхнюю грань приведем в таблице:

По полученным результатам строим эпюры нормальных и касательных сил, действующих по верхней грани полосы. Причем, положительные значения нагрузки Х_ν совпадают по направлению с осью ОХ, а положительные значения нагрузки У_ν – с осью ОУ.

б) нагрузки, действующие на нижнюю грань.

Уравнение нижней грани:

Значения направляющих косинусов:

,Тогда

это для нижней грани касательная (сдвигающая) нагрузка.

А нормальная нагрузка:

Значения ординат эпюр этих нагрузок представим в таблице:

Соответствующие эпюры с указанием направлений показаны на нижней грани полосы.

в) нагрузка на левый торец.

Уравнение левого торца (грани): х=0.

Направляющие косинусы внешней нормали:

тогда:

При х=0: — это нормальная нагрузка для левой грани.

При х=0: — это касательная для левой грани нагрузка.

Значения ординат в трех точках по высоте торцевого сечения представим в таблице:

Результаты показаны в виде эпюр нормальных и касательных сил на левой грани полосы.

г) наконец, нагрузка на правый торец.

Уравнение правой грани : х=10м.

Значения направляющих косинусов внешней нормали:

Нормальная для правой грани нагрузка:

Касательная нагрузка для правой грани:

значения ординат по трем точкам правой грани представим в таблице:

Результаты показаны в виде эпюр нормальных и касательных сил на правой грани полосы.

При этом направления положительных нагрузок совпадают с положительными направлениями соответствующих им осей координат, а отрицательные – противоположны осям ОХ и ОУ.

5) Контроль полученных результатов:

а) во всех четырех углах полосы касательные силы имеют следующие направления и значения:

Результаты удовлетворяют закону парности касательных напряжений.

б) проверка равновесия полосы под действием найденных внешних сил.

(1 проверка) На ось ОХ проектируются следующие нагрузки:

— нормальная на левой грани. Ее равнодействующая, очевидно, равна нулю;

— нормальная на правой грани. Ее равнодействующая равна:

— касательная на верхней грани. Ее равнодействующая равна:

— касательная на нижней грани. Ее равнодействующая равна:

Тогда

Проверка сошлась.

(2 проверка) На ось ОY проектируются нагрузки:

-нормальная на верхней грани. Ее равнодействующая равна:

— нормальная на нижней грани. Ее равнодействующая равна:

— касательная на правом торце. Ее равнодействующая равна:

— касательная на левом торце. Ее равнодействующая, очевидно, равна нулю.

Видео:Основы метода конечных элементов. Часть 3. Основные уравнения теории упругости в МКЭСкачать

Плоская задача теории упругости в полярных координатах

При решении плоской задачи в полярных координатах ряд инженерных задач удается решить путем непосредственного интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Ориентация и обозначение напряжений в полярной системе координат показаны на рисунке 3.

Основные уравнения плоской задачи теории упругости в полярных координатах имеют вид:

(8)

уравнение совместности деформаций в напряжениях:

(9)

где Ñ 2 — гармонический оператор Лапласа в полярных координатах:

, (10)

соотношения Эри и бигармоническое уравнение:

(11)

(12)

Несмотря на более громоздкий вид уравнений плоской задачи в полярных координатах для ряда инженерных задач удается найти решение в замкнутом виде.

Одной из таких задач является задача о простом радиальном напряженном состоянии, когда при интегрировании уравнений (8) и (9) получают следующее напряженное состояние:

; . (13)

Этому состоянию соответствует задача о клине, нагруженном силой в вершине (рисунок 4).

Бигармоническое уравнение в плоской задаче теории упругости имеет вид

Значения постоянных k и q₀, можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:

(14)

; (15)

где a — угол полураствора клина и b — угол отклонения силы Р от биссектрисы угла.

Большое инженерное решение имеет частный случай — задача Фламана о действии силы на полуплоскость (рисунок 5).

В этом случае угол полураствора клина равен a = 90°, угол b = 0°.

Постоянные: k =

Выражение для напряжений принимает вид:

Рассмотрим напряженное состояние полуплоскости на разных глубинах. Для этого удобнее перейти к декартовым координатам.

Воспользуемся выражениями для напряжений по наклонным площадкам:

(16)

(17)

(18)

На рисунках 6 – 8 показаны эпюры напряжений в слое, отстоящем от поверхности полуплоскости на расстоянии а.

Изгиб прямоугольной пластинки

При решении задач изгиба прямоугольной пластинки (рисунок 9) функцию прогиба w(x,y) находят путем интегрирования бигармонического уравнения изгиба пластинки:

(19)

Как было указано во введении, основная и наиболее трудоемкая часть задачи расчета жесткой пластинки заключается в определении функции w(x,y) как решения бигармонического уравнения Софии Жермен — Лагранжа (19), удовлетворяющего заданной нагрузке и условиям опирания пластинки. Здесь q(x,y) –поверхностная нагрузка на пластинку; – цилиндрическая жесткость пластинки; h – толщина пластинки.

Внутренние усилия (рисунок 10) и напряжения в пластинке связаны с перемещениями следующими зависимостями.

(20)

(21)

(22)

Согласно принятой в теории изгиба пластинок гипотезы Бернулли – Кирхгофа о жесткой нормали, напряжения, создающие изгибающие моменты M_x, M_y, определяются по формулам сопротивления материалов:

, (23)

где W = 1·h 2 /6 – момент сопротивления элемента поперечного сечения пластинки единичной ширины.

Таким образом, если известна функция w(x,y), то, вычислив максимальный прогиб, можно проверить условие жесткости. Далее, определив внутренние усилия по выражениям (20) и (21), можно найти их максимальные значения и по формулам (23) вычислить наибольшие напряжения и дать оценку прочности пластинки.

Уравнение (19) имеет множество решений и для отыскания своего решения необходимо воспользоваться граничными условиями – условиями опирания пластинки.

Запись условий опирания.

В теории пластинок приняты три основных вида опирания – защемление, свободное (шарнирное) опирание и свободный неопертый край.

Пусть левый край пластинки 0-1 с координатами х = 0, 0 ≤ у ≤ b защемлен (рисунок 11). В этом случае граничные условия принимают вид:

2) угол поворота левой грани

Если защемлены верхний или нижний края пластинки, условия опирания имеют аналогичные выражения:

1) прогиб w = 0, 2) угол поворота нижней (верхней) грани

Верхний край 0 — 2 с координатами 0 ≤ x ≤ a, y = 0 шарнирно оперт. Тогда граничные условия записываются как:

Изгибающий момент на грани M_y = 0. Поскольку производная по х на верхней опертой грани второе условие принимает вид:

2) M_y =

Если шарнирно оперты боковые грани, то условия опирания имеют вид:

1) w = 0, 2) M_x =

Пусть нижний край 1-3 (0 ≤ x ≤ a, y = b ) неоперт. В этом случае w ≠ 0, а нулю должны быть равны усилия (реакции) на свободном неопертом крае. Т. е.

Два последних условия можно объединить в одно и граничные условия примут вид: