Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Система уравнений Юла-Уолкера

Основная задача при построении модели линейного предсказания (в частности модели АР) состоит в том, чтобы правильно отыскать параметры этой модели. Для этой цели используется система уравнений Юла-Уолкера.

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Поскольку — это белый шум, то усреднение (мат. ожидание) его произведения на даст 0.

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Здесь — это по сути отсчеты дискретной АКФ случайного процесса.

Тогда для порядка модели АР :

где — дисперсия входного сигнала.

Аналогично для порядка модели АР :

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Матричная форма системы уравнений Юла-Уолкера

Пусть вектор-столбец отсчетов АКФ СП записывается в виде:

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

А вектор-столбец коэффициентов модели АР записывается в виде:

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Корреляционную матрицу входного случайного процесса запишем в виде:

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Тогда уравнения Юла-Уолкера в матричной форме можно представить как:

где — обратная корреляционная матрица.

Очевидно, что зная корреляционные свойства сигнала можно найти коэффициенты модели АР.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Уравнение для дисперсии СП

Домножим уравнение модели АР само на себя:

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокераАвторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

где — дисперсия белого шума.

Видео:Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать

Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.

Минимизация дисперсии ошибки предсказания

Авторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокераАвторегрессионная модель оценивается решением системы линейных уравнений юла уокера

Для вещественных СП

Видим, что пытаясь минимизировать ошибку предсказания на выходе обеляющего АР фильтра, мы снова получили уравнение Юла-Уолкера. Таким образом, если коэффициенты модели АР находятся из системы уравнений Юла-Уолкера, то это гарантирует минимизацию дисперсии ошибки предсказания. Это свойство очень важно при синтезе обеляющих фильтров, т.к. сигнал на выходе будет иметь минимальную мощность помехи.

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Об авторегрессионном оценивании спектральной плотности стационарного сигнала

Методы спектрального оценивания стационарных случайных процессов, основанные на быстром преобразовании Фурье (БПФ), хорошо известны и широко применяются в инженерной практике. К их недостаткам следует отнести, в частности, высокую дисперсию (низкую точность) оценки при недостаточно длительном интервале наблюдения за процессом, что визуально обычно проявляется в сильной «изрезанности» графика спектральной плотности мощности(СПМ). Одним из альтернативных методов спектрального оценивания является авторегрессионный метод, рассмотренный на примере ниже, который в инженерной практике известен гораздо меньше. Метод во многих случаях позволяет сравнительно просто получить гораздо более качественную оценку СПМ (рис.1), а иногда и более глубокие сведения об исследуемом случайном процессе.

Рис.1 Классическая и авторегрессионная оценка СПМ «короткого» процесса

Для демонстрационных целей был синтезирован дискретно-временной сигнал (последовательность) x[i]. Сигнал смоделирован при помощи ARMA-модели (цифрового фильтра), имитирующей свойства механической системы (1) — перемещение материальной точки x(t) в «одномассовом» осцилляторе с параметрами m=1 кг, c= 100 Н/м, k=2,5 кг/с, и силовым возмущением — гауссовым «белым»(с учетом дискретизации) шумом f(t) с дисперсией 1 Н 2 , интервал дискретизации по времени Δt=0,12 с.

Построена модель (2). Способ построения модели уже рассматривался ранее здесь .

x[i] — 0.6388· x[i-1] + 0.7408· x[i-2] = 0.009667·f[i-1] (2)

С помощью (2) синтезирована последовательность в 50 тыс. отсчетов, для чего использован генератор нормально-распределенной случайной величины randn( ) общеизвестной программной среды.

После завершения моделирования процесса x[i], количественные параметры модели (2) предполагаются неизвестными — для исследования доступен только сам процесс и, в какой-то мере, сведения о свойствах модели в самых общих чертах.

Было проведено спектральное оценивание 50000-точечной последовательности методом Уэлча, размер сегмента принят равным 256 отсчетам, применено окно Хэмминга и 60% перекрытие сегментов. Среднеквадратичное отклонение такой оценки, исходя из того, что последовательность имеет длину около 200 неперекрывающихся сегментов, может быть примерно оценено, как

Далее, предполагая, что в реальных условиях в эксперименте для исследования доступна гораздо менее длинная последовательность, проведены исследования только по первым 500 отсчетам этого сигнала.

Получена оценка методом Уэлча с теми же параметрами. СКО такой оценки

70%, заметна очень сильная «изрезанность» графика (рис.2).

Рис.2 Оценивание СПМ «длинного» и «короткого» процессов классическими методом

Исходя из того, что примерный вид функции (графика) СПМ процесса нам известен (например, исходя из известной физической природы процесса — одномассовый осциллятор под белым шумом, либо из оценивания аналогичных процессов, для которых доступны более длинные реализации), принято решение об оценивании с помощью модели авторегрессии второго порядка (AR(2), или =ARMA(2,0)).

Определение порядка модели — весьма важный момент, ошибка в порядке может повлечь очень грубые ошибки в результатах оценивания. Существуют методы, здесь пока не рассматриваемые, помогающие в определении порядка модели на основании только самого анализируемого процесса.

Оценивание параметров модели поизведено с помощью известных уравнений Юла-Уолкера для авторегрессионного процесса (несущественно модифицированных с целью некоторого упрощения структуры скрипта ):

Как видно из уравнений, для определения параметров понадобятся только три первых члена авторегрессионной последовательности Rxx[0], Rxx[1], Rxx[2], которые и были оценены по исходной 500-точечной последовательности x[i] корелограммным методом, СКО такой оценки

(Кстати, видно, что «минусы» перед a1, a2 2и т.д, крайне неудобны. Они и появились-то из-за преимущественно «предсказательного» использования ARMA-моделей в экономике, в более ранних «инженерных» источниках их нет. Уже сомневаюсь, что надо было здесь использовать такое понимание AR-коэффициентов.)

Корреляционная матрица в (3) на практике всегда имеет строгое диагональное преобладание | Rxx[0] | >| Rxx[i] |, в том числе по причине присутствия шумов наблюдения, вследствие чего трудностей с ее обращением (нахождением решения(3)) не возникает.

(Для пояснения вопроса о величине статистической ошибки моделирования интересно упомянуть, например, оценку Rxx[0] =2.2606e-04 м 2 , полученную по 500 отсчетам, в сравнении с полученными корелограммной оценкой дисперсии по 50000 отсчетам, = 2.4238e-04 м 2 и оценкой по подынтегральной площади СПМ, полученной методом Уэлча по 50000 отсчетам (рис.2), = 2.4232e-04 м 2 )

После подстановки найденных оценок Rxx[i] имеем:

Определены следующие параметры модели a0=11325.9; a1=7090.1; a2=-8411.5; Как видно из (3), дисперсией гипотетического вхоящего белого шума здесь задались =1, определив вместо нее коэффициент усиления a0. Авторегрессионная оценка СПМ построена путем преобразования Фурье над последовательностью коэффициентов a0, a1, a2:

Рис.3 Классическая и авторегрессионная оценка СПМ «короткого» процесса

Таким же образом, по выражению, аналогичному (5), был ранее построен и «теоретический» график СПМ, только коэффициенты модели там, естественно, были взяты иные (из (2)).
Из графика видно, что AR-оценка СПМ получилась весьма близка к теоретически ожидаемой. Помимо графика, есть возможность попытаться оценить некоторые аналитические характеристики процесса и связанной с ним механической системы. В данном случае это «полюса» модели, численно характеризующие частоты «резонансных» пиков модели и связанные с ними «добротности».

Из (5) находим соотношение для поиска разрывов передаточной функции нашей модели, используя преобразование Лапласа (заменяя jω на λ=-ε+ jω):

Для полученной AR- модели таким способом вычислены λ1,2= -1.5427 ± j· 10.1514, что весьма близко к исходной модели, использованной для генерации процесса
λ1,2теор=-1.2500 ± j · 9.9216 (т.е положения резонансного пика соответственно, 1,615 Гц (в теории) и 1,579 Гц (определено)).

Рис.4 О понятии «полюсов»

Несколько замечаний и рекомендаций в заключение.

  1. «Избыточный» (слишком большой) порядок AR-модели обычно гораздо менее опасен, чем недостаточный, с точки зрения риска получения оценки СПМ с грубыми ошибками.
  2. Как правило, AR-моделирование позволяет довольно точно определить резонансные частоты jωk и гораздо мене точно — ширины соответствующих им «пиков» -εk
  3. ARMA — модель может получиться гораздо меньшего порядка (размера), чем AR-модель, к чему вроде бы следует стремиться для повышения точности модели, по мнению многих источников. Однако оценивание MA-части модели гораздо более затруднительно и может вообще включать в себя первым этапом получение AR-модели большого порядка с целью ее дальнейшего преобразования в MA-часть. В связи с этим источниками высказывается также альтернативное мнение о целесообразности применения для целей спектрального оценивания именно AR-моделей, пусть и большего порядка.
  4. Для очень коротких, а также для нестационарных процессов вместо матрицы оценок автокорреляционной функции в (3) обычно используют матрицу ковариаций.
  5. Для подробного изучения вопроса авторегрессионного спктрального оценивания можно рекомендовать С.Л. Марпл-мл. «Цифровой спектральный анализ и его приложения», М., Мир, 1990

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Анализ временных рядов 1

Дата публикации Mar 8, 2019

Анализ данных временных рядов является неотъемлемой частью работы любого ученого, особенно в области количественной торговли. Финансовые данные являются наиболее запутанными данными временных рядов и часто кажутся ошибочными. Тем не менее, на основе этих нескольких статей я создам основу для анализа таких временных рядов, сначала используя хорошо обоснованные теории, а затем углубившись в более экзотические, современные подходы, такие как машинное обучение. Итак, начнем!

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

ARIMA Модель

Первая модель, которую мы собираемся обсудить, — это модель ARIMA. Он обозначает модель авторегрессивного интегрированного скользящего среднего. Да, это много, чтобы принять. Однако, по сути, он просто объединяет две более простые модели, модель авторегрессии и скользящую среднюю, обе из которых мы рассмотрим ниже. Перед этим нам необходимо установить концепцию стационарности, так как это важно для возможности точно моделировать и прогнозировать временные ряды.

Видео:Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод Гаусса

стационарность

Концепция стационарности происходит от случайных процессов, и иногда результатом этих случайных процессов является белый шум. Ниже приводится широкое определение стационарности:

Стационарный временной ряд — это временной ряд, статистические свойства которого, такие как среднее значение и стандартное отклонение, не зависят от времени.

Для тех, кто имеет опыт работы со статистикой и стохастикой, следующее будет более формальным определением

Пусть — случайный процесс и

является кумулятивной функцией распределения безусловного совместного распределения . Тогда является строго стационарным, если и только если,

Однако в большинстве приложений мы не проверяем стационарность вручную, используя стохастик. Мы используем такие тесты, как тест Дикки-Фуллера и Аугментированный тест Дикки-Фуллера.

Существует также более слабое понятие стационарности, которое в большинстве случаев является достаточным для удовлетворения. Эта слабая стационарность определяется как ожидаемое значение, и ковариация временного ряда не изменяется со временем.

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Линейная функция и ее график. 7 класс.

Модель авторегрессии (AR)

Модель авторегрессии концептуально проста: она использует значения запаздывания в качестве регрессоров для простой модели линейной регрессии для текущего / следующего временного шага. Формально это:

Модель AR может выглядеть аналогично обычной регрессии наименьших квадратов (OLS), где предыдущие временные шаги являются регрессорами, а текущее значение x является прогнозируемой переменной. Я думаю, что нам следует уделить время, чтобы понять разницу между регрессией OLS и моделью AR. Рассмотрим следующую проблему OLS:

У вас есть данные X и Y, и вы хотите найти оценку OLS формулы регрессии в форме:

Цель OLS — найти оценку бета-версии, которая минимизирует суммарную квадратичную ошибку. Другими словами, найти минимум

Разложив его и дифференцируя уравнение, мы можем найти стационарную точку, которая оказывается

Это решение для оценки OLS. Однако ключевая проблема в применении этого метода к моделям AR состоит в том, что данные X и Y не находятся в хороших матрицах, и их трудно преобразовать в такие матрицы каждый раз, когда мы работаем с данными. Таким образом, альтернативный метод используется для нахождения коэффициентов лаговых переменных в моделях AR. Прежде чем мы посмотрим на методы, чтобы найти коэффициенты, мы рассмотрим другие компоненты модели ARIMA.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Модель скользящего среднего (MA)

Модель скользящего среднего учитывает предыдущие термины ошибок и использует ее для моделирования текущего значения временного ряда. Формально,

Модель MA выглядит очень похоже на модель AR. Однако есть несколько ключевых отличий, на которые следует обратить внимание:

  1. Члены ошибки в модели MA непосредственно влияют на текущее значение временного ряда, тогда как в модели AR член ошибки от предыдущих временных шагов присутствует только неявно.
  2. Члены ошибки в модели MA влияют только на временной ряд для q шагов в будущем, но в модели AR члены ошибки влияют на временной ряд на бесконечное время в будущем.

Это ключевое отличие дает нам естественное расширение модели путем их объединения. Именно это и есть модель ARMA. Разница между моделью ARMA и моделью ARIMA заключается в интеграции. В контексте временных рядов интеграция относится к степени разницы, необходимой для того, чтобы сделать временной ряд стационарным временным рядом. Таким образом, если у нас есть временной ряд y, и мы различие его d раз, и пусть это будет называться х, нам просто нужно применить две вышеупомянутые модели вместе, чтобы получить следующую модель ARIMA:

Теперь, когда мы понимаем нашу модель ARIMA, мы можем приступить к изучению того, как оцениваются коэффициенты.

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Оценка коэффициентов

Существует несколько методов для расчета коэффициентов модели, и мы рассмотрим два из них. Первый метод использует набор уравнений, называемых уравнениями Юла-Уокера. Уравнения Юла-Уокера основаны на методе моментов в статистике Сначала рассмотрим модель AR, поэтому рассмотрим автоковариации модели AR (p):

Мы можем записать это в матричной форме, чтобы получить:

🎬 Видео

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Неоднородные системы линейных уравненийСкачать

Неоднородные системы линейных уравнений

Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравненийСкачать

Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравнений

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3Скачать

14. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений ( бесконечное множество решений ). Часть 3

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод Подстановки
Поделиться или сохранить к себе: