Высшая математика
n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде
В векторной форме автономная система имеет вид x‘ = F(x) (не зависит от t), где
Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x‘ зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.
Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:
Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть x = φ( t ) — решение автономной системы, определенное на отрезке [ a , b ] . Множество точек x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — кривая в пространстве R x n . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R x n , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы .
Точка a называется положением равновесия ( точкой покоя ) автономной системы, если F ( a ) = 0 .
Равенство x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — параметрические уравнения фазовой траектории.
Интегральная кривая системы изображается в ( n + 1) –мерном пространстве Rx, t n+1 и может быть определена уравнениями
Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство Rx .
На рисунке приведено изображение интегральной кривой автономной системы и соответствующей фазовой траектории.
Автономные системы. Свойства.
Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде
В векторной форме автономная система имеет вид x‘ = F(x) (не зависит от t), где 
Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x‘ зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.
Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:
Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть x = φ( t ) — решение автономной системы, определенное на отрезке [ a , b ]. Множество точек x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — кривая в пространствеRx n . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство Rx n , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.
Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .
Равенство x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — параметрические уравнения фазовой траектории.
Интегральная кривая системы изображается в ( n + 1) –мерном пространстве Rx, t n +1 и может быть определена уравнениями
Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство Rx.
Свойства: Если 
— решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. 
, и не зависят от выбора начального значения аргумента 
.
38) Положения равновесия. Циклы. 
39) Особые точки. Узлы, центр, седло. 
40) Основные понятия устойчивости по Ляпунову.
41) Устойчивость линейных систем.
Для линейной системы
| x′ = A(t)x + b(t), | (ЛС) |
| aij, bi ∈ C([t0, +∞), R), |
и любого ее решения x = φ(t) приведенная система совпадает с соответствующей (ЛОС).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y = x – φ(t):
| y′ = A(t)x + b(t) – A(t)φ(t) – b(t) = A(t)(x – φ(t)) = A(t)y. |
| Критерии устойчивости (ЛС). Пусть Φt0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t0. Утверждается, что |
| (а) (ЛС) устойчива ⇔ Φt0(t) ограничена на [t0, +∞); |
| (б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φt0(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом; |
| (в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (t ≥ t0) [||Φt0(t)|| ≤ Me –γ(t–t0) ] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом. |
Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что
| ||x0|| t (x0)||= ||Φt0(t)x0|| t (x0)||≤ H||x0||, |
так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/H.
| (б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда ||x0|| n , поэтому, возможно, ||ek|| ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φt0(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю. |
| Пусть дано, что Φt0(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x0 ∈ R n |
| gt0 t (x0)= Φt0(t)x0 → 0 при t → +∞, |
т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.
Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.
(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ1 > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что
| ||x0|| –γ(t–t0) ||x0|| (t ≥ t0). |
Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:
Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x0
т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом. Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость. 42) Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
43) Интегрирование линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. |
