Автономная система дифференциальных уравнений это (8 видео)

Автономная система дифференциальных уравнений это

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Высшая математика

n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x‘ = F(x) (не зависит от t), где

Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x‘ зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть x = φ( t ) — решение автономной системы, определенное на отрезке [ a , b ] . Множество точек x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — кривая в пространстве R _x n . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R _x n , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы .

Точка a называется положением равновесия ( точкой покоя ) автономной системы, если F ( a ) = 0 .

Равенство x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в ( n + 1) –мерном пространстве R_{x, t} n+1 и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство R_x .

На рисунке приведено изображение интегральной кривой автономной системы и соответствующей фазовой траектории.

Видео:Дифференциальные уравнения 3. Автономные системыСкачать

Автономные системы. Свойства.

Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x‘ = F(x) (не зависит от t), где

Пусть x = φ( t ) — решение автономной системы, определенное на отрезке [ a , b ]. Множество точек x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — кривая в пространствеR_x n . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R_x n , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .

Равенство x = φ( t ) , t ∈ [ a , b ] — параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в ( n + 1) –мерном пространстве R_x_{, t} n +1 и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство R_x.

Свойства: Если — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. , и не зависят от выбора начального значения аргумента .

38) Положения равновесия. Циклы.

39) Особые точки. Узлы, центр, седло.

40) Основные понятия устойчивости по Ляпунову.

41) Устойчивость линейных систем.
Для линейной системы

x′ = A(t)x + b(t),

(ЛС)

a_ij, b_i ∈ C([t₀, +∞), R),

и любого ее решения x = φ(t) приведенная система совпадает с соответствующей (ЛОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y = x – φ(t):

y′ = A(t)x + b(t) – A(t)φ(t) – b(t) = A(t)(x – φ(t)) = A(t)y.

Критерии устойчивости (ЛС). Пусть Φ_t₀(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t₀. Утверждается, что

(а) (ЛС) устойчива ⇔ Φ_t₀(t) ограничена на [t₀, +∞);

(б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φ_t₀(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом;

(в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (t ≥ t₀) [||Φ_t₀(t)|| ≤ Me –γ(t–t0) ] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что

||x₀|| t (x₀)||= ||Φ_t₀(t)x₀|| t (x₀)||≤ H||x₀||,

так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/H.

(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда ||x₀|| n , поэтому, возможно, ||e_k|| ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φ_t₀(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю.

Пусть дано, что Φ_t₀(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x₀ ∈ R n

g_t₀ t (x₀)= Φ_t₀(t)x₀ → 0 при t → +∞,

т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.

(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ₁ > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что

||x₀|| –γ(t–t0) ||x₀|| (t ≥ t₀).

Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:

||Φ_t₀(t)x|| =

Δ₁

Φ_t₀(t)

(

x·