Атом атомная орбиталь квантовые числа описание состояния электрона в атоме уравнение шредингера (7 видео)

Атом атомная орбиталь квантовые числа описание состояния электрона в атоме уравнение шредингера

Наиболее удобным методом описания электронного строения атома оказалось решение волнового уравнения Шрёдингера. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Содержание

Уравнение Шрёдингера
Квантовые числа
Энергетические уровни и подуровни
Электронная плотность
АТОМНЫЕ ОРБИТАЛИ. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА
Атом атомная орбиталь квантовые числа описание состояния электрона в атоме уравнение шредингера
🎬 Видео

Уравнение Шрёдингера

Волновое уравнение было предложено в 1926 г. немецким физиком Э. Шрёдингером (1887-1961) для описания состояния электрона в атоме водорода. Он объединил математические выражения для колебательных процессов и уравнение де Бройля и получил следующее линейное дифференциальное однородное уравнение:

где ψ — волновая функция (аналог амплитуды для волнового движения в классической механике), которая характеризует движение электрона в пространстве как волнообразное возмущение; x, y, z — координаты, m — масса покоя электрона, h — постоянная Планка, E — полная энергия электрона, E_p — потенциальная энергия электрона.

Решениями уравнения Шрёдингера являются волновые функции. Для одноэлектронной системы (атома водорода) выражение для потенциальной энергии электрона имеет простой вид:

где e — заряд электрона, r — расстояние от электрона до ядра. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет точное решение.

Чтобы решить волновое уравнение, надо разделить его переменные. Для этого заменяют декартовы координаты x, y, z на сферические r, θ, φ. Тогда волновую функцию можно представить в виде произведения трех функций, каждая из которых содержит только одну переменную:

Функцию R(r) называют радиальной составляющей волновой функции, а Θ(θ) Φ(φ) — ее угловыми составляющими.

В ходе решения волнового уравнения вводятся целые числа — так называемые квантовые числа (главное n, орбитальное l и магнитное m_l). Функция R(r) зависит от n и l, функция Θ(θ) — от l и m_l, функция Φ(φ) — от m_l.

Геометрическим образом одноэлектронной волновой функции является атомная орбиталь. Она представляет собой область пространства вокруг ядра атома, в которой высока вероятность обнаружения электрона (обычно выбирают значение вероятности 90-95%). Это слово происходит от латинского «орбита» (путь, колея), но имеет другой смысл, не совпадающий с понятием траектории (пути) электрона вокруг атома, предложенным Н. Бором для планетарной модели атома. Контуры атомной орбитали — это графическое отображение волновой функции, полученной при решении волнового уравнения для одного электрона.

Квантовые числа

Квантовые числа, возникающие при решении волнового уравнения, служат для описания состояний квантово-химической системы. Каждая атомная орбиталь характеризуется набором из трех квантовых чисел: главного n, орбитального l и магнитного m_l.

Главное квантовое число n характеризует энергию атомной орбитали. Оно может принимать любые положительные целочисленные значения. Чем больше значение n, тем выше энергия и больше размер орбитали. Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода дает следующее выражение для энергии электрона:

E = −2π 2 me 4 / n 2 h 2 = −1312,1 / n 2 (кДж/моль)

Таким образом, каждому значению главного квантового числа отвечает определенное значение энергии электрона. Уровни энергии с определенными значениями n иногда обозначают буквами K, L, M, N. (для n = 1, 2, 3, 4. ).

Орбитальное квантовое число l характеризует энергетический подуровень. Атомные орбитали с разными орбитальными квантовыми числами различаются энергией и формой. Для каждого n разрешены целочисленные значения l от 0 до (n−1). Значения l = 0, 1, 2, 3. соответствуют энергетическим подуровням s, p, d, f.

Форма s-орбиталей сферическая, p-орбитали напоминают гантели, d— и f-орбитали имеют более сложную форму.

Магнитное квантовое число m_l отвечает за ориентацию атомных орбиталей в пространстве. Для каждого значения l магнитное квантовое число m_l может принимать целочисленные значения от −l до +l (всего 2l + 1 значений). Например, р-орбитали (l = 1) могут быть ориентированы тремя способами (m_l = -1, 0, +1).

Электрон, занимающий определенную орбиталь, характеризуется тремя квантовыми числами, описывающими эту орбиталь и четвертым квантовым числом (спиновым) m_s, которое характеризует спин электрона — одно из свойств (наряду с массой и зарядом) этой элементарной частицы. Спин — собственный магнитный момент количества движения элементарной частицы. Хотя это слово по-английски означает «вращение«, спин не связан с каким-либо перемещением частицы, а имеет квантовую природу. Спин электрона характеризуется спиновым квантовым числом m_s, которое может быть равно +1/2 и −1/2.

Квантовые числа для электрона в атоме:

главное квантовое число	n
орбитальное квантовое число	l
магнитное квантовое число	m_l
спиновое квантовое число	m_s

Энергетические уровни и подуровни

Совокупность состояний электрона в атоме с одним и тем же значением n называют энергетическим уровнем. Число уровней, на которых находятся электроны в основном состоянии атома, совпадает с номером периода, в котором располагается элемент. Номера этих уровней обозначают цифрами: 1, 2, 3. (реже — буквами K, L, M, . ).

Энергетический подуровень — совокупность энергетических состояний электрона в атоме, характеризующихся одними и теми же значениями квантовых чисел n и l. Подуровни обозначают буквами: s, p, d, f. Первый энергетический уровень имеет один подуровень, второй — два подуровня, третий — три подуровня и так далее.

Если на схеме орбитали обозначить в виде ячеек (квадратных рамок), а электроны — в виде стрелок (↑ или ↓), то можно увидеть, что главное квантовые число характеризуют энергетический уровень (ЭУ), совокупность главного и орбитального квантовых чисел — энергетический подуровень (ЭПУ), совокупность главного, орбитального и магнитного квантовых чисел — атомную орбиталь, а все четыре квантовые числа — электрон.

Каждой орбитали отвечает определенная энергия. Обозначение орбитали включает номер энергетического уровня и букву, отвечающую соответствующему подуровню: 1s, 3p, 4d и т.п. Для каждого энергетического уровня, начиная со второго, возможно существование трех равных по энергии p-орбиталей, расположенных в трех взаимно перпендикулярных направлениях. На каждом энергетическом уровне, начиная с третьего, имеется пять d-орбиталей, имеющих более сложную четырехлепестковую форму. Начиная с четвертого энергетического уровня, появляются еще более сложные по форме f-орбитали; на каждом уровне их семь. Атомную орбиталь с распределенным по ней зарядом электрона нередко называют электронным облаком.

Электронная плотность

Пространственное распределение заряда электрона называется электронной плотностью. Исходя из того, что вероятность нахождения электрона в элементарном объеме dV равна |ψ| 2 dV, можно рассчитать функцию радиального распределения электронной плотности.

Если за элементарный объем принять объем шарового слоя толщиной dr на расстоянии r от ядра атома, то

а функция радиального распределения вероятности нахождения электрона в атоме (вероятности электронной плотности), равна

Она представляет собой вероятность обнаружения электрона в сферическом слое толщиной dr на определенном расстоянии слоя от ядра атома.

Для 1s-орбитали вероятность обнаружения электрона максимальна в слое, находящемся на расстоянии 52,9 нм от ядра. По мере удаления от ядра атома вероятность обнаружения электрона приближается к нулю. В случае 2s-орбитали на кривой появляются два максимума и узловая точка, где вероятность обнаружения электрона равна нулю. В общем случае для орбитали, характеризующейся квантовыми числами n и l, число узлов на графике функции радиального распределения вероятности равно (n − l − 1).

Видео:Квантовые числа (видео 14) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

АТОМНЫЕ ОРБИТАЛИ. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА

В предыдущем разделе мы отметили, что для описания стоячей волны, образованной в атоме движущимся электроном, т. е. для нахождения волновой функции ф, неббходимы три квантовых числа. Обычно они обозначаются буквами п, I, т.

Волновые функции электрона в атоме водор-ода представляют собой решения уравнения Шредингера для одноэлектронной системы, в которой электрон находится в центрально-симметричном электростатическом (кулоновском) поле ядра. Следовательно, единственный вид взаимодействий, в котором электрон принимает участие, — кулоновское взаимодействие с ядром. Эта особенность присуща любым системам, состоящим из атомного ядра и одного электрона, в первую очередь атому водорода и таким, например, ионам, как Не* (Z = 2), Li 2 * (Z = 3) или, скажем, Sn 49 * (Z = 50). Такие системы принято называть „одноэлектронными атомами”, и для них уравнение Шредингера может быть решено точно.

В этих простейших случаях волновая функция электрона зависит только от трех его пространственных координат и носит название атомной орбитали (АО). Словом „орбиталь” в отличие от „орбиты” подчеркивается вероятностное описание электрона. Физический смысл атомной орбитали определяется тем, что она представляет собой ффункцию одного электрона и квадрату ее пропорциональна вероятность нахождения электрона в точке с определенными координатами.

При движении электрона в центрально-симметричном кулоновском

поле, в частности в случае одноэлектронного атома, для решения уравнения Шредингера в качестве независимых переменных удобно пользоваться не декартовыми, а сферическими координатами электрона г, $ и у. Их связь с декартовыми координатами показана на рис. 3.7. При решении сложного дифференциального уравнения Шре-

Рис. 3.7. Связь между сферическими (г, О, ф) и декартовыми (х, у, г) координатами дингера для одноэлектронных атомов в сферических координатах возможно разделение переменных. Это приводит к тому, что решения — набор во..новых функций (г, р), каждая из которых характеризуется определенными значениями квантовых чисел п, I, т и зависит от всех трех координат электрона — переменных г, i>, могут быть получены в виде произведений двух функций, зависящих от разных переменных:

Здесь Л„/(г) радиальная часть волновой функции, зависящая только от радиуса- вектора — расстояния ядро — электрон и характеризуемая двумя квантовыми числами п и /, а Г_/т(д, Ч>) — угловая часть волновой функции, описывающая зависимость распределения электронной плотности от углов ди^и характеризуемая квантовыми числами / и т.

Рассмотрим последовательно физический смысл квантовых чисел п, I, т

Квантовое число п называется главным квантовым числом. В одноэлектронном атоме с зарядом ядра Z оно однозначно определяет энергию электрона Е_п

где R — уже известная нам постоянная Ридберга.

Главное квантовое число может принимать целочисленные положительные значения 1,2,3 и т. д.

Чем меньше л, тем прочнее связан электрон с ядром. Основному состоянию одноэлектронного атома, в частности атома водорода, соответствует л = 1.

Уравнение (3.2) позволяет рассчитать энергию электрона в возбужденном состоянии и длины волн в спектре водорода. Нетрудно убедиться, что из него выводится эмпирическое уравнение для длин волн, приведенное в разд. 3.1.

Второе квантовое число I называется орбитальным, оно определяет возможные квантованные величины орбитального момента количества движения злектрона. Число / может принимать целочисленные значения от О до л —1. По традиции, сложившейся в процессе изучения атомных спектров, для числа / обычно пользуются буквенными обозначениями: 5, p,d, f и далее по алфавиту вместо 0,1,2,3 и т. д. Для нас с Вами, читатель, самое главное то, что при вероятностном описании электрона в виде электронного облака число / определяет форму этого облака. Так, s- электроны (/ = 0) имеют шарообразные, сферически-симметричные облака (рис. 3.8). В этом частном случае волновая функция ф не зависит от углов д и 2 . описывающий вероятность нахождения электрона в пространстве в зависимости от углов S и [1] его решений тоже есть решение, и подобрать полный набор новых — уже действительных решений, которые позволяют наглядно изобразить угловые распределения электронной плотности Например, лтя р,.-орбиталей вместо набора р i. /», [1]

ентированных вдоль декартовых осей, как это изображено на рис. 3.8. Эти орбитали обозначают соответствующими индексами — р_х, р_у и р_г , причем принято, что

Соответственно «/-орбитали на рис. 3.8 представляют также набор действительных решений уравнения Шредингера для одноэлсктронного атома, а индексы г [1] , х % — у а , ху, хг, уг характеризуют не мнимые решения с целочисленными значениями т (от -2 до . 2), а их линейные комбинации, позволяющие легко изобразить форму и взаимное расположение «/-облаков.

Обратимся теперь к качественному рассмотрению радиального распределения электронной плотности. Отметим, что угловое распределение электронной плотности при этом усреднено и отсюда в выражении для функции радиального распределения появляется множитель Фяг 2 . На рис. 3.9 по оси ординат отложена функция радиального распределения электронной плотности 4яг 2 /? 2 (г). Вероятность нахождения электрона в слое, лежащем между сферами с радиусами г и г + dr равна произведению соответствующего значения этой функции на величину dr.

Из рис. 3.9 видно, что все кривые радиального распределения электронной плотности проходят через один или несколько максимумов. Если на кривой несколько максимумов, то они разделены узловыми точками, где плотность равна нулю. Последний от ядра максимум — самый большой, главный. Среднее расстояние электрона от ядра, т. е. положение центра тяжести площади под кривой, существенно различно для разных атомных орбиталей.

Рис. 3.9. Радиальное распределение электронной плотности в одноэлектронном атоме

Площади под всеми кривыми равны и соответствуют одному электрону

Точного размера электронного облака, а следовательно, и атома в целом не существует, так как электронная плотность на периферии атома обращается в нуль только при бесконечно большом значении г. Поэтому радиус атома — это всегда условное понятие, предмет договоренности. Определение размера атомов может быть основано на экспериментальных значениях межатомных расстояний в кристаллах или газах. В этом случае условным оказывается способ деления межатомного расстояния. Существуют также теоретические способы определения радиусов атомов, основанные на расчетах атомных волновых функций. При этом часто за размер атома принимают размер сферы, включающей определенную часть (скажем, 90 или 99 %) электронной плотности, т. е. это такое значение г на рис. 3.9, которое отсекает соответствующую часть площади под кривой электронной плотности. Иногда используется так называемый орбитальный радиус, равный расстоянию от ядра до последнего главного максимума атомной орбитали. Например, для 1 s-орбитали атома водорода (с п = 1 и / = 0) орбитальный радиус составляет 0,053 нм и совпадает с радиусом соответствующей боровской орбиты (а₀).

В целом из рассмотрения рис. 3.9, учитывая все сказанное выше об угловом распределении, можно сделать ряд полезных выводов, которые верны для любых АО.

1. Число максимумов электронной плотности равно л — /, число узловых точек (а в атоме — узловых поверхностей) равно (л — /) — 1. С учетом углового и радиального распределения облако, соответствующее ls-электрону, можно представить себе как диффузный шар переменной плотности, имеющей один максимум и постепенно сходящей на нет при удалении от центра. Электронное облако 25-электрона подобно сфере с двумя сгущениями плотности и т. д.
2. Чем больше значение л, тем больше при прочих равных условиях размер АО — орбитальный радиус и среднее расстояние электрона от ядра. Это заключение естественным образом связано с формулой (3.2) для энергии электрона в одноэлектронном атоме, так как, очевидно, кулоновское взаимодействие электрона с ядром зависит от среднего расстояния ядро — электрон, которое, в свою очередь, зависит от л и /; для сферических s-орбиталей оно пропорционально л 2 :Гср = За₀п 2 /2Z, где д₀ =0,053 нм.
3. При одинаковых значениях л чем меньше /, тем дальше от ядра главный максимум и тем он ниже. Но в то же время чем меньше /, тем большая часть электронной плотности за счет внутренних максимумов находится ближе к ядру. Соответственно, если рассмотреть сферу с радиусом порядка 0,1-0,2 орбитального радиуса, то в ее пределах вероятность нахождения у 3$-электрона окажется выше, чем у Зр, а у Зр — выше, чем у 3d-электрона. В этом же порядке (от 3s к 3d) уменьшается орбитальный радиус.

Итак, даже если точное решение уравнения Шредингера нам не известно, то три квантовых числа — главное, орбитальное и магнитное — позволяют задать атомную орбиталь (например, Is, 2р_х или 3d_zi) и достаточно подробно охарактеризовать одноэлектронный атом: мы точно знаем энергию электрона и качественно можем описать электронное облако — его форму, ориентацию в присутствии внешнего поля, число сгущений электронной плотности и число внутренних узловых поверхностей, где плотность сходит к нулю, а также рассчитать среднее расстояние электрона от ядра, положение и относительную плотность отдельных сгущений.

Однако тремя квантовыми числами не исчерпьюаются данные, необходимые для полного описания состояния электрона в атоме.

В результате детального исследования атомных спектров пришли к заключению, что электрон обладает собственным моментом количества движения, который получил название спинового момента, или спина. При вероятностном описании электрона в атоме как стоячей волны или как электронного облака спин не имеет классических аналогий-это просто свойство микрочастиц (электрона, протона, нейтрона).

Спин электрона характеризуется четвертым квантовым числом, спиновым m_s, которое может иметь два значения: + */₂ и — У₂. Подчеркнем, что необходимость введения четвертого квантового числа не связана с уравнением Шредингера.

Таким образом, для полной характеристики состояния электрона в атоме необходимы четыре квантовых числа. Первые три из них (п, I и т) характеризуют пространственную волновую функцию электрона, а четвертое (m_s) — спиновую.

Видео:Квантовые числа. 1 часть. 10 класс.Скачать

Атом атомная орбиталь квантовые числа описание состояния электрона в атоме уравнение шредингера

3.1.2 Волновое уравнение. Квантовомеханическое объяснение строения атома

Неопределенность установления положения и скорости электрона столь велика, что необходимо вообще отказаться от анализа траектории его движения. Однако есть возможность вероятностного описания строения атома.

m – масса электрона Масса покоя электрона m_e=9,109 . 10 -31 кг ;

E – полная энергия электрона;

x , y , z – координаты.

Решением уравнения Шредингера является волновая функция Ψ и соответствующее ей значение энергии электрона E. Вероятность нахождения электрона в пространстве характеризуется квадратом волновой функции, т.е. величиной | Ψ | 2 . Для описания строения атома можно рассматривать электрон как бы “размазанным” в пространстве в виде электронного облака. Величина | Ψ | 2 , полученная из волнового уравнения, является мерой электронной плотности в данном элементе объема, или мерой вероятности нахождения электрона в данном элементе объема атома.

Таким образом, в квантовомеханической (вероятностной) модели атома исчезает смысл орбиты, на которой находится электрон. Взамен ее мы имеем дело с электронной плотностью, “размазанной” в пространстве атома. Тело, образованное “размазанным” электроном, называют орбиталью . Обычно под орбиталью понимают часть пространства, заключающую 90% электронного облака.

Наличие трех измерений пространства приводит к тому, что в выражении волновой функции Ψ , являющейся решением уравнения Шредингера, появляются три величины, которые могут принимать только дискретные целочисленные значения – три квантовых числа. Они обозначаются символами n , l и m_l . Эти квантовые числа характеризуют состояние электрона не только в атоме водорода, но и в любом другом атоме.

а) Главное квантовое число ( n ) определяет средний радиус электронного облака, или общую энергию электрона на данном уровне. Оно принимает натуральные значения от 1 до ∞ . В реальных атомах n имеет 7 значений, обозначаемых латинскими буквами K, L, M, N, O, P, Q. Значение n=1 отвечает уровню с самой низкой энергией (т.е. наиболее устойчивому состоянию электрона). Теоретически количество уровней не ограничено, но в атоме главным образом бывают заняты электронами уровни с низкой энергией.

б) Побочное, или орбитальное, квантовое число ( l ). В спектрах многоэлектронных атомов наблюдается мультиплетная структура линий, т.е. линии расщеплены на несколько компонент. Мультиплетность линий означает, что энергетические уровни представляют собой совокупности энергетических подуровней, т.к. любой линии в спектре отвечает переход электрона из одного состояния в другое. Энергетические различия в состоянии электронов в данном уровне связаны с различием в форме электронных облаков.

Для характеристики энергетических подуровней используется орбитальное квантовое число l . Оно может принимать в пределах каждого уровня целочисленные значения от 0 до n –1. Таким образом, уровень в зависимости от l подразделяется на подуровни, которые имеют также буквенные обозначения: s ( l=0), p ( l=1), d ( l=2), f ( l=3). Электроны, находящиеся в этих состояниях, называются s -, p -, d — и f-электронами.

Форма s-электронного облака . Это облако обладает сферической симметрией, т.е. имеет форму шара. График волновой функции Ψ расположен по одну сторону от оси абсцисс (рисунок 3.1), т.е. волновая функция s-электрона положительна.

Рисунок 3.1 – График волновой функции s-электрона в зависимости от расстояния до ядра. Форма s-орбитали

Форма p-электронного облака . Для p-электрона при удалении от ядра по некоторому направлению волновая функция имеет перегиб (рисунок 3.2). По одну сторону от ядра Ψ положительна , а по другую – отрицательна (не путать знак волновой функции со знаком электрического заряда!). В начале координат Ψ обращается в нуль. В отличие от s-орбитали , p-орбиталь не обладает сферической симметрией, а имеет форму, напоминающую гантель (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 – График волновой функции p-электрона. Форма p-электронного облака

Знаки “+” и “–” от носятся не к вероятности нахождения электрона (она всегда положительна и равна | Ψ | 2 ), а к волновой функции, которая в разных частях электронного облака имеет различный знак.

Еще более сложную форму имеют электронные облака d — и f-электронов. Например, d-орбитали могут иметь четырехлепестковое строение, причем знаки волновой функции в “лепестках” чередуются:

в) Магнитное квантовое число ( m_l ). Если атом поместить во внешнее магнитное поле, то происходит дальнейшее расщепление спектральных линий. Это означает, что при данных значениях n и l может существовать несколько состояний электрона с одинаковой энергией. Такие энергетические состояния называются вырожденными. Вырождение исчезает при воздействии на атом внешнего магнитного поля, что и приводит к появлению новых линий в спектре.

Энергетические изменения под действием магнитного поля объясняются различием в характере расположения электронных облаков в пространстве и, следовательно, их различной ориентацией по отношению к силовым линиям поля. Магнитное квантовое число m_l для данного подуровня – это целочисленная величина в диапазоне от – l до + l . Таким образом, при данном l оно имеет (2 l+1) различных значений. Например, для s-подуровня ( l=0) имеется только одно значение m_l , равное нулю. Поэтому s-подуровень содержит единственную орбиталь . Для p-подуровня ( l=1) возможны три значения: m_l ∈ . В соответствии с этим каждый p-подуровень состоит из трех орбиталей гантелеобразной формы, ориентированных перпендикулярно друг другу вдоль трех координатных осей и обозначаемых p_x , p_y , p_z . Легко определить, что на d-подуровне ( l=2) содержится 2 l+1=5 орбиталей , а на f-подуровне ( l=3) – 7 орбиталей .

На рисунке 3.3 показано постепенное усложнение представлений о структуре электронной оболочки атома (от уровней к подуровням и далее к орбиталям ).

Рисунок 3.3 – Эволюция представлений о строении электронной оболочки атома. Энергетическая диаграмма уровней с 1-го по 3-й

г) Спиновое квантовое число ( m_s ) не связано с движением электрона вокруг ядра, а определяет его собственное состояние. Природа этого состояния неизвестна до сих пор. Предполагается, что она связана с вращением электрона вокруг собственной оси «Spin» в переводе с английского — «кружение», «верчение». . Число m_s принимает два значения: +1/2 и –1/2.

Для определения состояния электрона в многоэлектронном атоме важное значение имеет принцип Паули, согласно которому в атоме не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковыми. Следовательно, каждая орбиталь , характеризующаяся определенными значениями n , l и m_l , может быть занята не более чем двумя электронами, спины которых имеют противоположные знаки. Такие электроны называются спаренными.

Пользуясь принципом Паули, можно подсчитать, какое максимальное число электронов может находиться на каждом подуровне, т.е. определить емкость подуровней: