Анализ учебников по алгебре и началам анализа по теме показательные уравнения и неравенства

Статья посвящена сравнению учебников, которые рекомендованы Министерством обраования и науки РФ для работы по базовуму и углубленному уровню обучения алгебре и началам анализа в 10 -11 классах.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Скачать:

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

Предварительный просмотр:

Сравнительный анализ учебников для 10-11 классов по теме: «Показательные уравнения»

Для сравнения были взяты учебники:

1. С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. 5-е издание, «Просвещение» ОАО «Московские учебники», Москва, 2017г. ;
2. И.В. Виленкин, О.С. Ивашов-Мусатов, С. И. Шварцбурд Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). 14-е издание, стереотипное Москва, «Мнемозина», 2018г.
3. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией А. Н. Колмогорова. 19-е издание, «Просвещение», Москва, 2014г.
4. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Алгебра и начала анализа, профильный уровень, 11 класс, в двух частях, 3-е издание, стереотипное, ОАО «Московские учебники», Москва 2019. .

Сначала проведем сравнение учебников для общеобразовательных классов :учебник (1) С. М. Никольского и (3) А.Н. Колмогорова. В учебнике (1) С. М. Никольского тема «Показательная функция» отделена от темы «Решение простейших показательных уравнений» целым параграфом 5 «Логарифмы», который разрывает связь между показательной функцией и ее свойствами и решением показательных уравнений. Далее чередуются темы: «Простейшие показательные уравнения» и «Простейшие логарифмические уравнения»; «Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного» и сразу «Простейшие показательные неравенства» и «Простейшие логарифмические неравенства», затем «Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного». На этом обсуждение тем по решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств заканчивается. Тема рассматривается в 10 классе. Причем, упражнений по каждой теме предусмотрено крайне мало и разнообразие их очень скудное. Переход от показательной функции к логарифмической, как обратной вообще не рассматривается. В отличие от учебника (1)С. М. Никольского в учебнике (3) А. Н. Колмогорова сначала в рассматривается показательная функция и ее свойства, затем последовательно предусмотрен переход к «Решению показательных уравнений и неравенств» и только потом «Логарифмы и их свойства», «Логарифмическая функция» и «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Но понятие об обратной функции здесь представлено после логарифмической функции и уравнений, что, как мне кажется, нарушает последовательность перехода от показательной функции к логарифмической. Тема рассматривается в 11 классе, в отличие от учебника С. М. Никольского. Также в учебнике (3) А.Н. Колмогорова (как и в учебнике (1)С. М. Никольского) очень мало разнообразных и разноуровневых заданий. В пособии (1) С. М. Никольского нет упражнений повышенного и сложного уровня. Непонятно, почему он обозначен и для профильного уровня. В пособии же (3) А.Н. Колмогорова наоборот в главе VI «Задачи повышенной трудности» в §3, п.14 дан небольшой по количеству, но разнообразный по типам ряд показательных уравнений повышенного и сложного уровня, что дает возможность и в общеобразовательном классе дифференцированно подходить к рассмотрению темы «Показательные уравнения», не прибегая к другим пособиям.

Теперь сравним учебники для классов профильного уровня . В пособии (2) И.В. Виленкина очень глубоко и последовательно изложен теоретический материал по теме «Показательная, логарифмическая и степенная функции» в главе VIII §1 и §2. Но практически вообще нет упражнений, не говоря уже о разных типах и разных уровнях заданий. В учебнике (4) А.Г. Мордковича теоретический материал представлен доходчиво, подробно и последовательно. Кроме этого, в теоретической части выделены три метода решения показательных уравнений, чего нет ни в одном из сравниваемых пособий, рассмотрены много примеров решений сложных уравнений. Задания для самостоятельной подготовки подобраны в достаточном количестве, большом разнообразии типов уравнений и разного уровня во второй части учебного комплекта (4) А.Г. Мордковича. И в том, и другом тема «Показательные уравнения» рассматриваются в 11 классе.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа в 11 классе по теме «Показательные уравнения и системы».

Практическая работа по теме «Показательные уравнения и системы».

Аттестационная работа(Научно-эксперементальная) по теме:Сравнительный анализ учебников:курса ботаника 6 класс под руководством проф.И.Н.Пономаревой и курса ботаники 6 класс под руководством проф.Т.И.Серебряковой.

Рассматривается важный вопрос школьного курса биологии — качество учебников,используемых в образовательном процессе.Анализируются советские учебники,послужившие биологическому образованию не один деся.

Тематические тестовые задания по алгебре и началам анализа для 10 класса по теме: «Показательные, логарифмические уравнения и нера-венства»

Использование на учебных занятиях элементы тестирования помогут учителю повысить эффективность проверки успеваемости учащихся. Для школьников он полезен при отработке учебного материала и при подготов.

открытый урок алгебры в 7 классе на тему: «Показательные уравнения»

открытый урок алгебры в 7 классе на тему: «Показательные уравнения&quot.

Контрольная работа по алгебре и началам математического анализа по теме « Показательные уравнения и неравенства» 11 класс 2020-2021 учебный год

Контрольная работа №3Тема: Показательные уравнения и неравенства.Вариант 1.Вычислить: Решить уравнения:А) 36 = 1Б) В) 3 Решить неравенства:А) 8 Б) Решить неравенство.

Конспект урока по алгебре для 10 класса на тему: «Показательные уравнения»

Урок-обобщения знаний и способов решения показательных уравнений.На уроке использованы технология дифференцированного и разно-уровневого обучения, технология обучения в сотрудничестве, индивидуально-г.

Сравнительный анализ учебников для 10-11 классов по теме: «Показательные уравнения»

Статья посвящена сравнению учебников, которые рекомендованы Министерством обраования и науки РФ для работы по базовуму и углубленному уровню обучения алгебре и началам анализа в 10 -11 классах.

Видео:§14 Системы показательных уравнений и неравенствСкачать

Анализ учебников по алгебре и началам анализа 10-11 класс по линиям: функции, производная и интеграл, по учебникам Ш.А.Алимова и Ю.М.Колягина

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

311 лекций для учителей,
воспитателей и психологов

Получите свидетельство
о просмотре прямо сейчас!

АНАЛИЗ УЧЕБНИКОВ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

Алгебра
и начала анализа
(10–11-е классы)

УЧЕБНИК ПО АЛГЕБРЫ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА: АВТ . Ш.А.АЛИМОВ, Ю.М. КОЛЯГИН

( 3 часа в неделю, всего 207 часов за курс 10-11 класса)

В учебнике Ш.А.Алимова и др. продолжается развитие идей, заложенных авторами в учебники АлимовА Ш.А. и др. Алгебра. 7 класс; Алгебра. 8 класс; Алгебра. 9 класс. («Просвещение») для 7–9-х классов. В этом учебнике, в отличие от учебника Учебник А.Н. Колмогорова и др. (самый первый учебник для старшей школы, написанный после реформы 60–70-х годов) , в 10-м классе функции изучаются элементарными средствами, а производная изучается в 11-м классе, где она применяется для изучения функций, исследование свойств которых элементарными средствами затруднительно. Система упражнений в учебнике расширена, выделены три уровня сложности.

В данном учебнике завершается развитие основных идей курса алгебры 7-9 классов авторов Ш.А.Алимова и др. Элементарные функции изучаются в 10 классе классическими элементарными методами без привлечения производной; числовая линия и линия преобразований развиваются параллельно с функциональной; начала математического анализа рассматриваются в 11 классе. Система упражнений представлена на трёх уровнях сложности. Задачи повышенной трудности в конце учебника содержат богатый материал для подготовки в вузы с повышенными требованиями по математике.
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации.

Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования. В 10 классе классическими элементарными методами без привлечения производной изучаются элементарные функции. Числовая линия и линия преобразований развиваются параллельно с функциональной. В 11 классе рассматриваются начала математического анализа. Система упражнений представлена на трёх уровнях сложности. Задачи повышенной трудности в конце учебника содержат богатый материал для подготовки вузы с повышенными требованиями по математике.

Видео:Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Учебник для 10-11 класса (базовый и углубленный уровни)

Видео:Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин и др.

Количество часов на изучение

Содержание материала по программе

Содержание материала в учебнике

Обязательный минимум содержания образовательной области математика

3. Степенная функция

Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Сложные функции. Дробно-линейная функция. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.

Знакомство со сложными и дробно-линейными функциями начинается сразу после изучения взаимно обратных функций.

Определения равносильности уравнений, неравенств и систем уравнений и свойств равносильности дается в связи с предстоящим изучением иррациональных уравнений, неравенств и систем иррациональных уравнений.

С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также о нахождении приближенных корней.

Глава II. Степенная функция
§ 6. Степенная функция, её свойства и график
§ 7. Взаимно обратные функции
§ 8. Равносильные уравнения и неравенства
§ 9. Иррациональные уравнения
§ 10*. Иррациональные неравенства
Упражнения к главе II

По изучению темы ФУНКЦИИ учащиеся должны уметь:

1. определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

2. строить графики изученных функций;

3. описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;

4. решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

5. использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

6. описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

2. Показательная функция

Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.

Глава III. Показательная функция
§11. Показательная функция, её свойства и график
§ 12. Показательные уравнения
§ 13. Показательные неравенства
§ 14. Системы показательных уравнений и неравенств
Упражнения к главе III

Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.

При знакомстве с логарифмами чисел и их свойствами полезны подробные и наглядные объяснения даже в профильных классах.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. Свойства логарифмической функции активно используются при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Изучение свойств логарифмической функции проходит совместно с решением уравнений и неравенств.

Глава IV.Логарифмическая функция
§ 15. Логарифмы
§ 16. Свойства логарифмов
§ 17. Десятичные и натуральные логарифмы
§ 18. Логарифмическая функция, её свойства и график
§ 19. Логарифмические уравнения
§ 20. Логарифмические неравенства
Упражнения к главе IV

• Область определения тригонометрических функций.
• Множество значений тригонометрических функций.
• Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций.
• Свойства функций у=cosx,y=sinx .
• Графики функций у=cosx,y=sinx .
• Свойства функции y=tgx
• График функции y=tgx .

Глава VII. Тригонометрические функции
§ 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций
§ 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций
§ 40. Свойства функции у = cos x и её график

§ 41. Свойства функции у = sin x и её график
§ 42. Свойства функции у = tg x и её график
§ 43*. Обратные тригонометрические функции
Упражнения к главе VII

• Научиться находить область определения тригонометрических функций.
• Научиться находить множество значений тригонометрических функций.
• Научиться определять четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций.
• Знать свойства тригонометрических функций и уметь строить их графики.

Производная и ее применение

Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функции. Геометрический смысл производной.

Основная цель – ввести понятие производной; научить находить производные с помощью формул дифференцирования; научить находить уравнение касательной к графику функции.

Глава VIII. Производная и её геометрический смысл
§ 44. Производная
§ 45. Производная степенной функции
§ 46. Правила дифференцирования
§ 47. Производные некоторых элементарных функций
§ 48. Геометрический смысл производной
Упражнения к главе VIII

• Понимать механический смысл производной.
• Находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных.
• Находить производные элементарных функций, пользуясь правилами дифференцирования.
• Понимать геометрический смысл производной.

Применение производной к исследованию функций.

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Наибольшие и наименьшие значения функции. Производная второго порядка.

Основная цель – сформировать умение решать простейшие практические задачи методом дифференциального исчисления.

Глава IX. Применение производной к исследованию функций
§ 49. Возрастание и убывание функции
§ 50. Экстремумы функции
§ 51. Применение производной к построению графиков функций
§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 53*. Выпуклость графика функции, точки перегиба
Упражнения к главе IX

• Применять производные для исследования функций на монотонность в несложных случаях.
• Применять производные для исследования функций на экстремумы в несложных случаях.
• Применять производные для исследования функций и построения их графиков в несложных случаях.
• Применять производные для нахождения наибольших и наименьших значений функции

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Применение производной и интеграла к решению практических задач.

Основная цель – познакомить учащихся с понятием интеграла и интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; научить применять интеграл к решению геометрических и физических задач.

Глава X. Интеграл
§ 54. Первообразная
§ 55. Правила нахождения первообразных
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл
§ 57. Вычисление интегралов
§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов
§ 59*. Применение производной и интеграла к решению практических задач
Упражнения к главе X

Видео:ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

УЧЕБНИК ПО АЛГЕБРЫ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА: АВТ. Ю.М.КОЛЯГИН, М.Ф.ТКАЧЕВА, Н.Е.ФЕДОРОВА

(3 часа в неделю, всего 207 часов за курс 10-11класса)

Видео:11 класс, 13 урок, Показательные неравенстваСкачать

Учебник Ю.М.Колягина и др. является расширенным вариантом учебника учебнике Ш.А.Алимова и др., в котором больше внимания уделено вопросам исследования функций, внесены элементы теории вероятностей, комплексные числа, что должно обеспечить потребности профильных классов. В идейном отношении и в порядке развития содержания он достаточно близок учебнику учебнике Ш.А.Алимова и др. Линия учебно-методического комплекта по алгебре и началам математического анализа. 10 – 11 классы (базовый и углублённый уровни). Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова и др.

Комплект обладает свойством преемственности со всеми действующими учебниками алгебры основной школы, особенно тесные с УМК алгебры для 7—9 классов авторов Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой, Н. Е. Фёдоровой, М. И. Шабунин

В состав УМК входят:

Учебники соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования. В учебниках содержится избыточная разноуровневая система задач и упражнений (многие задачи приведены с решениями и указаниями), позволяющая успешно подготовиться к ЕГЭ. Практическая, прикладная и мировоззренческая направленность курса обеспечивает понимание роли математики во всех сферах деятельности человека.

Дидактические материалы содержат задания, дополняющие систему упражнений учебника, и позволяют организовать дифференцированную работу учащихся. В пособии содержатся примеры и задачи с подробными решениями, задания для самостоятельной работы. Задания имеют балловую оценку уровня их сложности и ответы.

Тематические тесты. В пособии предложены задания на двух уровнях сложности с указанием времени их выполнения. Учитель может использовать их перед контрольными работами для определения уровня сформированности знаний и умений учащихся по теме.

Методические рекомендации. Пособие написано в соответствии с концепцией обучения алгебре и началам математического анализа учебников. Дан обзор основных теоретических идей каждой главы, а также сформулированы предметные, метапредметные и личностные цели изучения этой главы. Методические рекомендации даются по изучению каждого параграфа, приводится планирование уроков с указанием заданий для работы в классе и дома с учётом применения УМК, приведены решения сложных упражнений. В конце каждой главы даны рекомендации по проведению урока обобщения и тематическая контрольная работа.

Особенности линии УМК:

• теоретический материал изложен дифференцированно;
• наличие во всех пособиях УМК условий и решений задач разной степени трудности;
• система упражнений во всех пособиях УМК даёт возможность проверить уровень подготовленности учащихся как обычных, так и математических классов.

Исследование функций начинается еще в 10 классе . В тематическом разделе «Функции». Однако исследование проводиться без помощи производной. Анализ функций начинается лишь в 11 классе.

(Изучение линии функции)

Количество часов на изучение

Содержание материала по программе

Содержание материала в учебнике

Требуемый минимум усвоения материала

6. Показательная функция

Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.

Глава VI. Показательная функцци
§ 1. Показательная функция, ее свойства и график
§ 2. Показательные уравнения
§ 3. Показательные неравенства
§ 4. Системы показательных уравнений и неравенств

Функции и графики

· определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

· строить графики изучаемых функций;

· описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведения и свойства функций, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения;

· решать уравнения, простейшие системы уравнений, , используя свойства функции и их графиков;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

· для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;

4. Степенная функция

Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции. Сложные функции. Дробно-линейная функция. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения. Иррациональные неравенства.

Знакомство со сложными и дробно-линейными функциями начинается сразу после изучения взаимно обратных функций.

Определения равносильности уравнений, неравенств и систем уравнений и свойств равносильности дается в связи с предстоящим изучением иррациональных уравнений, неравенств и систем иррациональных уравнений.

С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также о нахождении приближенных корней.

Глава V. Степенная функции
§ 1. Степенная функция, ее свойства и график —
g 2. Взаимно обратные функции. Сложная функция
& 3. Дробно-линейная функция
S 4. Равносильные уравнения и неравенств
§ 5. Иррациональные уравнении
§ 6. Иррациональные неравенства

Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.

При знакомстве с логарифмами чисел и их свойствами полезны подробные и наглядные объяснения даже в профильных классах.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. Свойства логарифмической функции активно используются при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Изучение свойств логарифмической функции проходит совместно с решением уравнений и неравенств.

Глава VII. Логарифмическая функция
§ 1. Логарифмы
§ 2. Свойства логарифмов
§ 3. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода
§ 4. Логарифмическая функция, ее свойства и график
§ 5. Логарифмические уравнения
§ 6. Логарифмические неравенства

(Изучении линий: производная и интеграл)

Количество часов на изучение

Содержание материала по программе

Содержание материала по учебнику

Требуемый минимум усвоения материала

Производная и ее геометрический смысл

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей.

Понятие о непрерывности функции.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной

Глава VIII. Производная и её геометрический смысл
§ 44. Производная
§ 45. Производная степенной функции
§ 46. Правила дифференцирования
§ 47. Производные некоторых элементарных функций.
§ 48. Геометрический смысл производной
Упражнения к главе VIII

· Учащиеся должны уметь: вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

· исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;

· вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшее и наименьшее значения, на нахождение скорости и ускорения

Применение производной к исследованию функций

Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Вторая производная и ее физический смысл

Глава IX. Применение производной к исследованию функций
§ 49. Возрастание и убывание функции
§ 50. Экстремумы функции
§ 51. Применение производной к построению графиков функций
§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 53*. Выпуклость графика функции, точки перегиба
Упражнения к главе IX

Первообразная и интеграл

Первообразная. Формула Ньютона–Лейбница. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Глава X . Интеграл
§ 54. Первообразная
§ 55. Правила нахождения первообразных
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл
§ 57. Вычисление интегралов
§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов
§ 59*. Применение производной и интеграла к решению практических задач
Упражнения к главе X

Видео:§12 Показательные уравненияСкачать

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Видео:Как решать неравенства? Математика 10 класс | TutorOnlineСкачать

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Показательные уравнения и неравенстваСкачать

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10-м классе «Показательные уравнения и неравенства»

Разделы: Математика

• Обобщить и систематизировать знания учащихся о показательной функции и ее свойствах, о методах решения показательных уравнений и неравенств.
• Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства” реализуются в содержании ЕГЭ.
• Развивать практические навыки в решении показательных уравнений и неравенств.
• Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.
• Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение.

1. Карточки-бланки;
2. Тесты ЕГЭ;
3. Карточки-задания;
4. Карточки с алгоритмами;
5. Мультимидийный проектор.

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы повторим свойства показательной функции, методы решения показательных уравнений и неравенств. В течении всего урока мы будем решать задания /ЕГЭ по этой теме .

2. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа (блиц-опрос, Презентация Слайд 2).

2. Проверка домашнего задания.

Ребята, как вы думаете, а только ли на уроках математики мы встречаемся с показательной функцией? О применении показательной функции в природе и техники готовили проект 1-я группа учеников, послушаем их отчет (презентация проекта). Как видите во всех приведенных примерах используется показательная функция.

3. Устная работа (блиц-опрос, Слайд 3).

4. Вспомните, какие методы решения показательных уравнений вы знаете (работа по таблице Слайд 4).

5. Работа с таблицей.

У вас на столах лежит таблица № 1, не решая уравнения сгруппируйте их по методам решения (Слайд 5).

3. Страничка ЕГЭ (Слайд 6).

1. Решить уравнения (к доске вызвать 3-х учеников, решают за доской, остальные самостоятельно. Ученики у доски должны выбрать свое уравнение по указанному методу решения). Проверка решения уравнения.

2. Все эти задания вы решили из первой части ЕГЭ, а какие задания могут быть во второй части ЕГЭ. О решении показательных уравнений из части С готовила проект 2-я группа учеников (презентация проекта).

4. Мы говорили с вами о том, что показательная функция является возрастающей или убывающей. А для чего нужно знать эти свойства?

1. Устная работа (Слайд 8).

2. Вспомните способы решения показательных неравенств (Слайд 8).

3. Решить неравенства (к доске вызвать 3-х учеников, решают за доской, остальные самостоятельно).

5. Страничка ЕГЭ.

Решение однородных неравенств второй степени (презентация проекта).

6. Самостоятельная работа, тест (Слайд 9).

7. Подведение итогов урока (Слайд 10).

📺 Видео

ЗАДАНИЕ 8 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАСкачать

Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

§13 Показательные неравенстваСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Показательные уравнения за 50 минут | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

Решение показательных уравнений и неравенствСкачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Показательные неравенства за 50 минут | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать