Аналитический метод решения уравнений 8 класс

Работа предназначена для учащихся 8-9 классов, она поможет разобраться с различными способами решения квадратных уравнений.

«В материале рассматриваются способы решения, которые изучаются в школе : с помощью дискриминанта, теорема Виетта, а так же такие методы решения, которые не изучаются в школьной программе.

В работе одно уравнение решено всеми способами, показанными в работе.

Также в работе представлен список рекомендуемой литературы, составлен дидактический материал для самостоятельного изучения всего материала работы.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Различные способы решения квадратных уравнений.

1. Введение.
2. Из истории квадратных уравнений.
3. Способы решения квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.
4. Метод выделения полного квадрата.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
7. Графическое решение.
8. Решение с помощью линейки и циркуля.
9. Номограммы в решении квадратных уравнений.
10. Геометрический способ решения.
11. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

1. Решение одного уравнения всеми способами.
2. Литература.
3. Приложение.

Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним

определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Расширение и углубление знаний в области решений квадратных уравнений.

1. Рассмотреть всевозможные способы решений квадратных уравнений.
2. Научиться применять эти способы решений.
3. Выявить наиболее удобные способы решений.
4. Составить дидактический материал для использования разных способов решений квадратных уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что при сдаче ГИА и ЕГЭ квадратные уравнения необходимо решать не только на алгебре, геометрии, но и на физике. А так как время экзамена ограничено, значит надо уметь быстро найти рациональный способ решения. Работа способствует выработке навыка решения квадратных уравнений и умению быстро находить рациональный способ решения.

Из истории квадратных уравнений.

Развитие земледелия и астрономии ставили перед учеными древности задачи, для решения которых требовалось умение решать квадратные уравнения.

Решение некоторых квадратных уравнений известно было вавилонянам около 2000 лет до н.э.. Затем решение уравнений стало под силу грекам, а за ними индейцам, которые графически научились решать некоторые виды квадратных уравнений. Но общих способов решения пока не вывели.

В III в. н.э. квадратное уравнение х 2 — 20х + 96 = 0 решил древнегреческий математик Диофант без обращения к геометрии, но решение х= -2 для Диофанта не существовало, т.к. отрицательные числа древняя математика не знала.

Способы решений квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2*2ах * b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b) 2 = b 2 – 4ас,

2ах + b = ± √ b 2 – 4ас

2ах = – b ± √ b 2 – 4ас

а = 2, b = -5, с = 2, D = b 2 – 4ас =(-5) 2 -4*2*2=25-16=9, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х 1 =2 , х 2 = , х 2 = 1/2

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

а =4, b= — 12, с = 9. D = b 2 – 4ас=144-4*4*9=0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. D = b 2 – 4ас= 0, то уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 -3х + 2 = 0, а =2, b= -3, с = 2, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙2 =9 – 16 = — 7, D

Уравнение не имеет корней.

1. Разложение левой части на множители.

х 2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 — 2х — 8 = х 2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.

Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х 2 — 2х — 8 = 0.

1. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х 1 + х 2 = — р,

Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, x 1 , x 2 таковы, что х 1 + х2 = — р,

х 1 · х 2 = q, то х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 + рх + q = 0

1. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 40 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как

х 2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 40 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х 2 + 6х – 40 = х 2 + 2х ·3 + 9 – 9 – 40 = (х + 3) 2 – 49.

Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –49 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 49.

Следовательно, х + 3 = 7, х 1 = 4, или х +3 = -7 , х 2 = -10.

1. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =y/a; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = и х 2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 -9x+9 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 9y +18 = 0.

Согласно теореме Виета

y 1 =6 x 1 =6/2 x 1 =3
y 2 =3 x 2 =3/2 x 2 =1,5

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1 ) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

Решим уравнение 2013х 2 –2014х + 1 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (2013 – 2014 + 1 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = 1/2013.

2) Если a + c=b , то х 1 =-1, х 2 = -с/а

Решим уравнение 11x 2 +27x+16= 0

х 1 = — 1, х 2 = -16/11

Ответ: х 1 =-1, х 2 =-16/11

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1. Решение с помощью линейки и циркуля.

1. Номограммы в решении квадратных уравнений.

номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

1. Геометрический способ решения.

Решение представлено на рис.8 , где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = – 8.

у2

3у

1. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

Разделим р(х) на (х-1)

Ответ: x 1 =1, x 2 =3

Решение одного уравнения всеми способами.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

1)Решение квадратного уравнения по формуле:

D=8 2 -4*1*(-9)=64+36=100>0-действуют 2 корня

2)Разложение левой части на множители:

а)x 2 +8x-9=0 б)x 2 +8x-9=0

x 2 +9x-x-9=0 x 2 +8x-8-1=0

x 2 -x+9x-9=0 x 2 -1+8x-8=0

x-1=0 или x+9=0 x-1=0 или x+9=0

x 1 =1 x 2 =-9 x 1 =1 x 2 =-9

3)Решение по теореме Виета.

x 1 *x 2 =-9

Методом подбора находим:

4)Метод выделения полного квадрата:

x 2 +2*x* 4 + 4 2 -4 2 -9=0 x+4=±5

x 2 +2 x 4+16-25=0 x+4=5 или x+4=-5

(x+4) 2 =25 x 1 =1 x 2 =-9

5)Решение способом переброски коэффициентов.

Квадратное уравнение решается данным способом если a ≠1.

Поэтому х 2 +8х-9=0 данным способом не решается.

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

a+b+c=0, тогда х 1 =1 х 2 = -9

7) Графическое решение:

Построим графики данных функций:

у=х 2 — парабола с центром в точки О(0:0)

у=-8х+9- линейная функция, графиков является прямая.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Аналитический способ решения квадратных уравнени с параметром

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конкурс на лучшую методическую разработку руководящих и

педагогических работников образовательных организаций, подведомственных

Управлению образованием Асбестовского городского округа,

в 2018-2019 учебном году

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Асбестовского городского округа

Технологическая карта конструкта урока по реализации ФГОС.

Тема работы: Аналитический способ решения квадратных уравнений с параметром.

Форма представления в очном этапе: мастер-класс.

Санникова Ксения Николаевна

I квалификационная категория

Асбестовский городской округ

2018-2019 учебный год

План проведения мероприятия_________________________________________________6-14

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики. О бучающиеся начинают знакомство с параметром с 7 класса, а именно при изучении линейных уравнений вида ax = b , далее 8 классе при изучении квадратных уравнений ax 2 + bx + c =0 , при решении тригонометрических уравнений в 10 классе и т.д. Также в школьных учебниках по математике в последнее время всё чаще стали появляться уравнения, неравенства и системы, содержащие параметр. К тому же подобные задачи включены в ОГЭ и ЕГЭ, а анализ предыдущих результатов показывает, что школьники с большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к ним, либо приводят громоздкие и не верные вычисления.

Поэтому, считаю, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания. Они представляют математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков, требуют от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива.

Цель урока (образовательные, развивающие, воспитательные): познакомить учащихся с аналитическим способом решения квадратных уравнений с параметром, вывести алгоритм решения квадратных уравнений с параметром аналитическим способом, развитие умения решать задачи данного типа, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.

Знать алгоритм решения квадратных уравнений с параметром аналитическим способом;

Уметь решать задачи данного типа;

Личностные: находчивость, активность при решении математических задач; способность к эмоциональному восприятию;
УУД, которые актуализируют/приобретут/закрепят обучающиеся в ходе урока/занятия/ мероприятия:

Личностные УУД: мотивация к обучению и целенаправленной познавательной деятельности;

Регулятивные УУД: Целеполагание; планирование;

Коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

Познавательные УУД: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.

Возраст участников: 8 класс.

Условия проведения мероприятия: специальных условий не требуется.

Место: учебный кабинет.

Перечень оборудования и медиа-ресурсов: интерактивная доска, проектор, ноутбук.

Оформление: тема урока напечатанная на листе А4.

📽️ Видео

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Профильный ЕГЭ 2023 математика. Задача 17. Параметр. Аналитический методСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Решение уравнений сводящихся к квадратным уравнениям. Биквадратные уравнения – 8 класс алгебраСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№27 - Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.)Скачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Графический способ решения уравнений. Алгебра 8 класс.Скачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать