Алгоритм поиска приближенного решения обыкновенного уравнения методом деления отрезка пополам python (8 видео)

Содержание

Формулировка задачи дискретной бисекции
Использование инварианта
Реализация дискретного метода деления отрезка пополам
Иллюстрация работы метода деления отрезка пополам
Но надо ли реализовывать бисекцию?
Python: метод деления пополам
Численные методы: решение квадратного уравнения на Python
Алгоритм решения квадратного уравнения
📽️ Видео

Видео:Двоичный, или бинарный, поиск элемента в списке (метод деления пополам). Решение задачи на PythonСкачать

Формулировка задачи дискретной бисекции

Любопытно, что когда задачу бисекции задают на собеседованиях, её редко формулируют исчерпывающе: что именно мы ищем, если искомых элементов нет? если их, наоборот, много? если искомый ключ выпадает за пределы массива. Давайте чётко оговорим, что мы ищем.

Дан сортированный массив a и ключ k . Следует найти такой индекс i , чтобы при вставке ключа k в a на позицию i , отсортированность массива a сохранялась. Если значения k в массиве уже имеются, то вставлять надо справа от них.

Из этого условия сразу понятно, что делать если k меньше всех элементов. Ответом должен быть 0. И что делать, если k больше всех элементов. Тут ответ должен быть len(a) .

Естественно, все приведённые ниже выкладки можно проделать и для других условий (скажем, для вставки слева). Это не столь принципиально.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Использование инварианта

При написании таких алгоритмов, очень помогает понятие инварианта. Кстати, оно поможет вам убедить в своей правоте недалёкого оппонента.

Введём индексы l и r . Договоримся, что они всегда будут отвечать следующим условиям:

Это и есть инвариант. (Обратите внимание на строгость/нестрогость неравенств. Здесь и далее это очень существенно.)

Начальные условия будут гарантировать выполнение инварианта:

То есть нет ни одного элемента с i или i > r . Это гарантирует, что инвариант не нарушается.

Условие завершения поиска:

То есть, все элементы рассмотрены. Любой индекс удовлетворяет одному из условий: i , i > r .

Ответом будет индекс l .

Это становится очевидным, если посмотреть на наш инвариант и условие выхода. Ясно, что после всех итераций у нас будет выполняться условие:

То есть l — это индекс первого элемента, который строго больше k .

Именно в это место надо вставить k по условию задачи.

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

Реализация дискретного метода деления отрезка пополам

Строго говоря, « m=(r+l)//2 » лучше писть как « m=r-(r-l)//2 »; чтобы не было риска выйти за пределы int . Но для Python это не актуально.

И, заметьте, она корректно решает поставленную задачу и на пустом массиве и в других пограничных случаях. Это следует из того, что алгоритм никогда не нарушает инвариант и завершается в правильный момент.

Несмотря на то, что тут есть операций с индексами, которые могут показаться опасными, алгоритм работает правильно. Без каких-либо дополнительных проверок. Он не зацикливается, не выходит за пределы массива (за исключением случая, когда k больше всех элементов a , но это оговорено в условии).

Не верите? Посмотрите на него внимательно. А если есть сомнения, давайте его погоняем.

Видео:14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

Иллюстрация работы метода деления отрезка пополам

Вот код, с помощью которого я гонял алгоритм:

А вот результат:

Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать

Но надо ли реализовывать бисекцию?

Никогда не пишите бисекцию самостоятельно. Она уже есть во всех языках в стандартных библиотеках. В Python — это модуль bisect , в STL — std::binary_search и вариации.

Видео:Численное решение уравнений, урок 2/5. Метод деления отрезка пополамСкачать

Python: метод деления пополам

Я пытаюсь написать программу для определения нулей данной функции (f (x): = ln ((sin (x ** (1/2)) ** 3) + 2) — 1, используя метод деления пополам Значения a и b, которые являются начальными значениями, используемыми в методе деления пополам, уже вставлены в программу. Все, что требуется, это показать график и определить нули, но я не могу заставить его работать (это останавливается в строке 22). Может ли кто-нибудь обнаружить ошибку?

Вот первая проблема:

Вам нужно объединить новый z на каждой итерации не только в начале функции.

Вторая проблема часть 1:

Вторая проблема, часть 2:

Установка верхней/нижней границы между нижней/верхней границей и центральной точкой неверна. Они должны быть установлены точно в центральной точке.

Правильная реализация (с небольшим упрощением для ясности — нет необходимости набирать всю функцию пять раз):

PS Код столкнется с проблемой, если z попадает точно в корень. Вы можете явно проверить это условие.

PPS. Код также будет терпеть неудачу, если начальный интервал не содержит корень. Вы также можете проверить это условие.

Видео:Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Численные методы: решение квадратного уравнения на Python

Квадратное уравнение легко решается аналитически, через дискриминант. Алгоритм решения легко можно запрограммировать на Python. Есть еще один способ решения уравнения — это использование численных методов.

Алгоритм решения уравнения численными методами подойдет для решения любого уравнения, не только квадратного. Давайте распишем сначала алгоритм решения на словах, а затем напишем программу.

Видео:Алгоритмы Поиска Пути на Python. Алгоритм А*, Дейкстры, Поиск в ширину [ Pygame ]Скачать

Алгоритм решения квадратного уравнения

Допустим нужно решить квадратное уравнение

Решаем следующим образом. Сначала используем алгоритм перебора. Затем используем алгоритм половинного деления.

Алгоритм перебора для нахождения отрезка неопределенности

Определим отрезок внутри которого ожидаем найти корни уравнения. Например от -100 до 100
Определим шаг с которым мы пройдемся по всему отрезку. Например 0,5.
Пройтись в цикле по всему отрезку от -100 до 100 с шагом 0,5. Для каждого участка (например -100, -99,5) определить Y на концах участка.
Если значения Y разных знаков, значит на этом участке есть один корень (точка где Y становится = 0). Если значения Y одного знака, то пропускаем этот участок. Таким образом находим все участки, где Y меняет знак. Такой участок назовем отрезком неопределенности
Для каждого найденного участка применяем метод половинного деления.

Алгоритм половинного деления

Участок, где Y меняет знак делим пополам
Для середины участка определяем знак Y
Появляются 2 участка: слева от середины и справа. Выбираем тот, где значения Y на концах разного знака. Далее работаем с ним: запоминаем этот участок и переходим к шагу 1.

Повторяем этот алгоритм пока размер учатка не станет меньше чем точность с которой нам нужно определить X. Например мы можем заранее задать точность 0,001

Вот пример выполнения первого алгоритма, который находит отрезок неопределенности:

Вот полный текст программы, где для отрезка неопределенности находим корень уравнения:

Мы можем заметить, что в нашей программе есть повторяющиеся участки кода, которые можно вынести в подпрограммы. Например это расчет самой функции. Если мы захотим изменить уравнение, которое нужно решать, то придется вносить изменения в 4 строчки кода. По этому ее целесообразно вынести в функцию.

Так же метод половинного деления можно вывести в отдельную функцию. Код будет выглядеть следующим образом.