Алгоритм метода простых итераций для решения систем линейных уравнений блок схема

Видео:3 Метод простой итерации Блок-схема Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

3 Метод простой итерации Блок-схема Решение системы линейных уравнений СЛАУ

Итерационные методы решения СЛАУ

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 12847 ; Нарушение авторских прав

Достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, их самоисправляемость и простота реализации на ПК. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.

Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы А системы и от выбора начальных приближений.

Для применения метода итераций исходную систему (2.1) или (2.2) необходимо привести к виду

, (2.26)

после чего итерационный процесс выполняется по рекуррентным формулам

, k = 0, 1, 2, . . (2.26а)

Матрица G и вектор получены в результате преобразования системы (2.1).

Для сходимости (2.26а) необходимо и достаточно, чтобы |li(G)| –1 B= − B –1 C+ B –1 , откуда= − B –1 C+ B –1 .

Положив –B –1 C = G, B –1 = , получим (2.26).

Из условий сходимости (2.27) и (2.28) видно, что представление А = В + С не может быть произвольным.

Если матрица А удовлетворяет условиям (2.28), то в качестве матрицы В можно выбрать нижнюю треугольную:

, aii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Þ .

Подбирая параметр a, можно добиться, чтобы ||G|| = ||E + aA|| Т , будем решать эту систему по технологии (2.26а):

k = 0, 1, 2, . .

Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, т. е.

.

Технология итерационного решения вида (2.26а) названа методомпростой итерации.

Оценка абсолютной погрешности для метода простой итерации:

,

где символ || . || означает норму.

Пример 2.1. Методом простой итерации с точностью e = 0,001 решить систему линейных уравнений:

Число шагов, дающих ответ с точностью до e = 0,001, можно определить из соотношения

£ 0,001.

Оценим сходимость по формуле (2.27). Здесь ||G|| = = max = 0,61 Т . Подставим значения вектора в (2.26а):

Продолжив вычисления, результаты занесем в таблицу:

kх1х2х3х4
2,15–0,831,160,44
2,9719–1,07751,5093–0,4326
3,3555–1,07211,5075–0,7317
3,5017–1,01061,5015–0,8111
3,5511–0,92771,4944–0,8321
3,5637–0,95631,4834–0,8298
3,5678–0,95661,4890–0,8332
3,5760–0,95751,4889–0,8356
3,5709–0,95731,4890–0,8362
3,5712–0,95711,4889–0,8364
3,5713–0,95701,4890–0,8364

Сходимость в тысячных долях имеет место уже на 10-м шаге.

Это решение может быть получено и с помощью формул (2.28а).

Пример 2.2. Для иллюстрации алгоритма с помощью формул (2.28а) рассмотрим решение системы (только две итерации):

; . (2.31)

Преобразуем систему к виду (2.26) согласно (2.28а):

Þ (2.32)

Возьмем начальное приближение = (0; 0; 0) Т . Тогда для k = 0 очевидно, что значение = (0,5; 0,8; 1,5) Т . Подставим эти значения в (2.32), т. е. при k = 1 получим = (1,075; 1,3; 1,175) Т .

Ошибка e2 = = max(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

Блок-схема алгоритма нахождения решения СЛАУ по методу простых итераций согласно рабочим формулам (2.28а) представлена на рис. 2.4.

Особенностью блок-схемы является наличие следующих блоков:

– блок 13 – его назначение рассмотрено ниже;

– блок 21 – вывод результатов на экран;

– блок 22 – проверка (индикатор) сходимости.

Проведем анализ предложенной схемы на примере системы (2.31) (n = 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

Блок 1. Вводим исходные данные A, , w, e, n: n = 3, w = 1, e = 0,001.

Цикл I. Задаем начальные значения векторов x0i и хi (i = 1, 2, 3).

Блок 5. Обнуляем счетчик числа итераций.

Блок 6. Обнуляем счетчик текущей погрешности.

В цикле II выполняется изменение номеров строк матрицы А и вектора .

Цикл II: i = 1: s = b1 = 2 (блок 8).

Переходим во вложенный цикл III, блок9 – счетчик номеров столбцов матрицы А: j = 1.

Блок 10: j = i, следовательно, возвращаемся к блоку 9 и увеличиваем j на единицу: j = 2.

В блоке 10 j ¹ i (2 ¹ 1) – выполняем переход к блоку 11.

Блок 11: s = 2 – (–1) × х02 = 2 – (–1) × 0 = 2, переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу: j = 3.

В блоке 10 условие j ¹ i выполняется, поэтому переходим к блоку 11.

Блок 11: s = 2 – (–1) × х03 = 2 – (–1) × 0 = 2, после чего переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу (j = 4). Значение j больше n (n = 3) – заканчиваем цикл и переходим к блоку 12.

Блок 16. Проверяем условие d > de: 0,5 > 0, следовательно, переходим к блоку 17, в котором присваиваем de = 0,5 и выполняем возврат по ссылке «А» к следующему шагу цикла II – к блоку7, в котором i увеличиваем на единицу.

Цикл II: i = 2: s = b2 = 4 (блок 8).

Переходим во вложенный цикл III, блок9: j = 1.

Посредством блока 10 j ¹ i (1 ¹ 2) – выполняем переход к блоку 11.

Блок 11: s = 4 – 1 × 0 = 4, переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу: j = 2.

В блоке 10 условие не выполняется, поэтому переходим к блоку 9, в котором j увеличиваем на единицу: j = 3. По аналогии переходим к блоку 11.

Блок 11: s = 4 – (–2) × 0 = 4, после чего заканчиваем цикл III и переходим к блоку 12.

Блок 14: d = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Блок 16. Проверяем условие d > de: 0,2 T , it = 1; de = 0,5.

Посредством блока 22 по ссылке «D» переходим к блоку 6, de = 0.

Переходим к циклу II на блок 7 и выполняем рассмотренные вычисления с новыми начальными значениями х0i (i = 1, 2, 3).

Блок 18. Увеличиваем число итераций it = it + 1 = 1 + 1 = 2.

В блоках 19 и 20 цикла IV заменяем начальные значения х0i полученными хi (i = 1, 2, 3).

Блок 21. Выполняем печать значений второй итерации: = (1,075; 1,3; 1,175) T , it = 2; de = 0,575 и т. д.

Метод Зейделя. Данный метод является модификацией метода простой итерации и для системы (2.26) выполняется по следующим формулам:

(2.33)

Его суть состоит в том, что при вычислении очередного приближения в системе (2.33) и в формуле (2.28а), если имеет место соотношение (2.28), вместо используются уже вычисленные ранее , т. е. (2. 28а) преобразуется к виду

, i = 1, …, n. (2.34)

Такое преобразование позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Оценка точности вычисления аналогична методу простой итерации. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x0j заменить на xj и убрать строки x0i = 1, x0i = xi.

Пример 2.3. Методом Зейделя решить систему линейных уравнений с точностью e = 0,0001, приведя ее к виду, удобному для итераций:

(2.35)

Система не удовлетворяет условиям (2.28), поэтому приведем ее к соответствующему виду:

(2.36)

Здесь , значит, метод Зейделя сходится.

По формулам (2.33)

kх1х2х3
0,190,97–0,14
0,22071,0703–0,1915
0,23541,0988–0,2118
0,24241,1088–0,2196
0,24541,1124–0,2226
0,24671,1135–0,2237
0,24721,1143–0,2241
0,24741,1145–0,2243
0,24751,1145–0,2243

Замечание. Если для одной и той же системы методы простой итерации и Зейделя сходятся, то метод Зейделя предпочтительнее. Однако на практике области сходимости этих методов могут быть различными, т. е. метод простой итерации сходится, а метод Зейделя расходится и наоборот. Для обоих методов, если ||G|| близка к единице, скорость сходимости очень малая.

Для ускорения сходимости используется искусственный прием – так называемый метод релаксации. Суть его заключается в том, что полученное по методу итерации очередное значение xi ( k ) пересчитывается по формуле

, (2.37)

где w принято изменять в пределах от 0 до 2 (0

Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать

Метод простой итерации Пример Решения

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

В данной статье мы расскажем общие сведения об итерационных методах решения СЛАУ, познакомим с методом Зейделя и Якоби, а также приведем примеры решения систем линейных уравнений при помощи данных методов.

Видео:Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в ExcelСкачать

Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в Excel

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x 0 .

Рассмотрим систему A x = b .

Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду x = B x + d . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ x ( 0 ) = ( x 1 0 , x 2 0 , . . . x m 0 ) и находим последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие В 1 . Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.

Видео:8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУ

Метод Якоби

Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x 1 , из 2-го выражаем неизвестное x 2 и т.д.

Результатом служит матрица В , в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:

b i j = — a i j / a i i , i , j = 1 , 2 . . . , n

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

d i = b i / a i i , i = 1 , 2 , . . . , n

Расчетная формула метода простой итерации:

x ( n + 1 ) = B x ( x ) + d

Матричная запись (координатная):

x i ( n + 1 ) = b i 1 x n 1 + b i 2 x ( n ) 2 + . . . + b

Критерий окончания в методе Якоби:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε 1 , где ε 1 = 1 — B B ε

В случае если B 1 / 2 , то можно применить более простой критерий окончания итераций:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Решить СЛАУ методом Якоби:

10 x 1 + x 2 — x 3 = 11 x 1 + 10 x 2 — x 3 = 10 — x 1 + x 2 + 10 x 3 = 10

Необходимо решить систему с показателем точности ε = 10 — 3 .

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

x 1 = — 0 , 1 x 2 + 0 , 1 x 3 + 1 , 1 x 2 = — 0 , 1 x 1 + 0 , 1 x 3 + 1 x 3 = 0 , 1 x 1 — 0 , 1 x 2 + 1

Выбираем начальное приближение, например: x ( 0 ) = 1 , 1 1 1 — вектор правой части.

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

x 1 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 + 0 , 1 × 1 + 1 , 1 = 1 , 1 x 2 ( 1 ) = — 0 , 1 × 1 , 1 + 0 , 1 + 1 = 0 , 99 x 3 ( 1 ) = 0 , 1 × 1 , 1 — 0 , 1 × 1 + 1 = 1 , 01

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

x ( 2 ) = 1 , 102 0 , 991 1 , 011 , x ( 3 ) = 1 , 102 0 , 9909 1 , 0111 , x ( 4 ) = 1 , 10202 0 , 99091 1 , 01111

Находим норму матрицы В , для этого используем норму B ∞ .

Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то B ∞ = 0 , 2 1 / 2 , поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:

x ( n + 1 ) — x ( n ) ε

Далее вычисляем нормы разности векторов:

x ( 3 ) — x ( 2 ) ∞ = 0 , 002 , x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ = 0 , 00002 .

Поскольку x ( 4 ) — x ( 3 ) ∞ ε , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.

x 1 = 1 , 102 ; x 2 = 0 , 991 ; x 3 = 1 ,01 1 .

Видео:Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать

Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методы

Метод Зейделя

Метод Зейделя — метод является модификацией метода Якоби.

Суть: при вычислении очередного ( n + 1 ) — г о приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные ( n + 1 ) — е приближения к неизвестным x 1 , x 2 , . . . , x i — 1 , а не n — о е приближение, как в методе Якоби.

x i ( n + 1 ) = b i 1 x 1 ( n + 1 ) + b i 2 x 2 ( n + 1 ) + . . . + b i , i — 1 x i — 2 ( n + 1 ) + b i , i + 1 x i + 1 ( n ) +

+ . . . + b i m x m ( n ) + d i

За условия сходимости и критерий окончания итераций можно принять такие же значения, как и в методе Якоби.

Решить СЛАУ методом Зейделя. Пусть матрица системы уравнений А — симметричная и положительно определенная. Следовательно, если выбрать начальное приближение, метод Зейделя сойдется. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы не накладывается.

Решим 3 системы уравнений:

2 x 1 + x 2 = 3 x 1 — 2 x 2 = 1 , x 1 + 2 x 2 = 3 2 x 1 — x 2 = 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1

Приведем системы к удобному для итерации виду:

x 1 ( n + 1 ) = — 0 , 5 x 2 ( n ) + 1 , 5 x 2 ( n + 1 ) = 0 , 5 x 1 ( n + 1 ) + 0 , 5 , x 1 ( n + 1 ) = — 2 x 2 ( n ) + 3 x 2 ( n + 1 ) = 2 x 1 ( n + 1 ) — 1 , 2 x 1 — 0 , 5 x 2 = 3 2 x 1 + 0 , 5 x 2 = 1 .

Отличительная особенность, условие сходимости выполнено только для первой системы:

Вычисляем 3 первых приближения к каждому решению:

1-ая система: x ( 0 ) = 1 , 5 — 0 , 5 , x ( 1 ) = 1 , 75 0 , 375 , x ( 2 ) = 1 , 3125 0 , 1563 , x ( 3 ) = 1 , 4219 0 , 2109

Решение: x 1 = 1 , 4 , x 2 = 0 , 2 . Итерационный процесс сходится.

2-ая система: x ( 0 ) = 3 — 1 , x ( 1 ) = 5 9 , x ( 2 ) = — 15 — 31 , x ( 3 ) = 65 129

Итерационный процесс разошелся.

Решение: x 1 = 1 , x 2 = 2

3-я система: x ( 0 ) = 1 , 5 2 , x ( 1 ) = 2 — 6 , x ( 2 ) = 0 2 , x ( 3 ) = 0 2

Итерационный процесс зациклился.

Решение: x 1 = 1 , x 1 = 2

Видео:Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать

Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.

Метод простой итерации

Если А — симметричная и положительно определенная, то СЛАУ приводят к эквивалентному виду:

x = x — τ ( A x — b ) , τ — итерационный параметр.

Расчетная формула имеет следующий внешний вид:

x ( n + 1 ) = x ( n ) — τ ( A x n — b ) .

Здесь B = E — τ A и параметр τ > 0 выбирают таким образом, чтобы по возможности сделать максимальной величину B 2 .

Пусть λ m i n и λ m a x — максимальные и минимальные собственные значения матрицы А .

τ = 2 / ( λ m i n + λ m a x ) — оптимальный выбор параметра. В этом случае B 2 принимает минимальное значение, которое равняется ( λ m i n + λ m a x ) / ( λ m i n — λ m a x ) .

🔥 Видео

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций в MS ExcelСкачать

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций в MS Excel

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Метод простых итераций пример решения нелинейных уравнений

Метод итерацийСкачать

Метод итераций

Решение системы линейных уравнений методом итерацийСкачать

Решение системы линейных уравнений методом итераций

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать

2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)

5 Метод простой итерации Calc Excel Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

5 Метод простой итерации Calc Excel Решение системы линейных уравнений СЛАУ

4 Метод простой итерации Mathcad Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

4 Метод простой итерации Mathcad Решение системы линейных уравнений СЛАУ

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать

Алгоритмы С#. Метод простых итераций

Решение нелинейного уравнения методом простых итерацийСкачать

Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2
Поделиться или сохранить к себе: