2. 5. Комбинированный метод хорд и касательных
Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, тогда уточнение корня происходит быстрее.
Пусть дано уравнение f ( x ) = 0, корень отделен на отрезке [ a , b ].
Рассмотрим случай, когда f ‘( x ) f ’’( x )>0 (рис. 2.13).
В этом случае метод хорд дает приближенное значение корня с недостатком (конец b неподвижен), а метод касательных – с избытком (за начальное приближение берем точку b ).
Тогда вычисления следует проводить по формулам:
Теперь корень ξ заключен в интервале [ a 1, b 1]. Применяя к этому отрезку комбинированный метод, получим:
Если же f ‘( x ) f ’’( x )
Вычислительный процесс прекращается, как только выполнится условие:
Электронная библиотека
Метод Ньютона называют также методом касательных. Комбинируя метод хорд и метод Ньютона, можно построить метод отыскания вещественных корней уравнения f(x) = 0, в котором при прежних предположениях относительно f(x) на каждом шаге итерационного процесса мы получаем два приближения к корню и , причем где с –точное значение корня.
1. Условия на применение метода те же, что и в методе Ньютона.
Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравнения: f(x) = 0. Функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b] (f(x) Î C 2 [a, b]). Функция f принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков (f(a)×f(b) 0, то слева применяем метод Ньютона, а справа метод хорд.
· если f(b)×f ¢¢(x) > 0, то слева применяем метод хорд, а справа метод Ньютона (метод касательных).
В качестве точек начального приближения выбираются: x0 = a, .
4. Условие остановки итерационного процесса: , при выполнении этого условия любая точка из отрезка [ ] приближает корень уравнения с точностью e.
Чаще всего принимают: .
На рис. 2.8. иллюстрируется применение комбинированного метода хорд и касательных. В рассматриваемом случае справа применяется метод Ньютона, а слева – метод хорд.
Рис. 2.8. Геометрический смысл комбинированного метода хорд и касательных
Построить алгоритм для уточнения корня уравнения x 3 + 3x – 1 = 0 комбинированным методом хорд и касательных с точностью e на отрезке [0.1, 1].
1. В предыдущих примерах мы проверили, что отрезок [0.1, 1] содержит один корень уравнения, и выполняются все условия для применения метода Ньютона:
2. Определим, какой из методов нужно применять слева, а какой справа:
Следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод касательных (Ньютона). Запишем формулы:
3. Точки начального приближения:
4. Условие остановки итерационного процесса:
При выполнении условия остановки итерационного процесса х* является приближенным значением корня уравнения, полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью e.
Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00
Численное решение нелинейного уравнения. Этапы решения.
f(x)=0, где f(x) – произвольная функция, наиболее распространенная в инж. Практике задача по отысканию корней.
Выбор метода решения зависит от вида f(x). Для численного решения нелинейных уравнений применяются только итерационные методы.
Задача нахождения корней состоит из 2 этапов:
1. Отделение корней – определение числа корней и их примерного расположения на числовой оси.
Наиболее применим графический способ отделения корней, т. е. отыскание точек пересечения ф. f(x) с осью абсцисс:
[a;b] – интервал изоляции корня. Для каждого корня уравнения определяется интервал его изоляции [a;b]. На отрезке [a;b] должен находиться 1 корень.
2. Уточнение корней – вычисление каждого корня с заданной степенью точности.
Классификация методов уточнения корней :
1) Метод половинного деления отрезка(дихотомии).
Отрезок [a;b], содержащий единственный корень, делят пополам, отбрасывают ту половину, где нет корня. Процесс повторяется до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погр. E.
Достоинства: прост и надежен, всегда сводится к решению независимо от вида ф. f(x). Недостаток: самый медленный из всех известных методов уточн. Корня.
Построение последовательных хорд, в качестве приближений к корню принимаются значения их пересечения с осью абсцисс.
Достоинство: простота. Недостаток: быстрота сходимости к решению сильно зависит от вида ф. f(x).
3) Метод касательных( метод Ньютона)
В качестве приближения к корню ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс.
Достоинство: высокая скорость. Недостатки: ограничения на вид ф. (должна быть дифференцируема, f’(x) и f’’(x) не должны менять знак на интервале уточнения корня).
4) Комбинированный метод – объединение методов хорд и касательных.
Приближение к корню на каждой итерации происходит одновременно с 2 сторон интервала [a;b]. Одной стороны строится хорда, а с другой касательная.
Достоинство: работает быстрее, чем методы хорд и касательных. Недостатки: f(x) должна быть дифференцируема; f’(x) иf’’(x) не должны менять знак на интервале уточнения корня; трудности с дифф-ем f(x).
5) Метод простой итерации.
Исходное нелинейное уравнения заменяется равносильным уравнением x=g(x)и с помощью сходящегося итерационного процесса происходит приближение к корню, пока не достигнет предела заданной погрешности Е.
| 45)Уточнение корня нелинейного уравнения методом половинного деления(дихотомии). Алгоритм. Требуется вычислить корень уравнения f(x)=0 на [a;b] с заданной погрешностью Е. Отрезок [a;b], содержащий единственный корень, делят на 2 половины, отбрасывают ту из них, где нет корня. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности Е. Алгоритм метода: |
46)Уточнение корня нелинейного уравнения методом хорд. Схема алгоритма.Требуется вычислить корень уравнения f(x)=0 на [a,b] с заданной погрешностью е. Геометр-ки метод основан на построении последовательности хорд. Ур-е хорды 
. В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнение f(x)=0 принимаются значения х1, х2… хi точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Если f(a)>0 , то левая граница a неподвижна, х0=b и из урав. хорды получим: 
Если f(a) 0 и f’’(x)>0 при a≤x≤b. Тогда для приближения к корню со стороны границы а используем построение хорды, а со стороны границы b – касательная. На 1й итерации строим хорду А0В0 и проводим касательную в точку В0. Левую границу а переносим в а1, правую – b1. На каждой итерации для вычисления новых границ интервала используют ф-лы хорд и касательных : 
, 
. Сужение интервала проводим до тех пор пока он не станет 