Алгебраические уравнения высших степеней проект

Автор: Гаврилова Диана Михайловна

Место работы/учебы (аффилиация): МБОУ Средняя общеобразовательная школа №69 с углубленным изучением отдельных предметов г. Ижевска, 9 класс

Научный руководитель: Коновалова Ольга Викторовна

Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике. В этом году мне, как ученице 9 класса, предстоит написать основной государственный экзамен по математике, где во второй части встречаются уравнения высших степеней. Я думаю, что данная тема актуальна тем, что она может пригодиться как ученикам 9, так и 11 классов.

Гипотеза: не существует универсальный способ решения для всех видов уравнений высших степеней.

Цель моего исследования: подробно изучить алгебраические уравнения высших степеней и выявить наиболее интересные и практичные способы решения.

Объект моего исследования: уравнения высших степеней

Для достижения цели исследования я поставила перед собой следующие задачи:

1. Изучить исторические сведения об уравнениях высших степеней;
2. Рассмотреть различные способы решения данных уравнений;
3. Научиться решать алгебраические уравнения высших степеней;
4. Составить алгоритмы решения данных уравнений.

Выводы:

1. Занимаясь изучением своей темы, я узнала много интересного об алгебраических уравнениях высших степеней, изучила их историю, рассмотрела методы решения.
2. Исследую разные методы решения уравнений, я узнала их признаки и особенности. Я выполнила поставленные мною задачи. Во-первых, я изучила исторические сведения об уравнениях высших степеней. Во-вторых, рассмотрела различные способы решения данных уравнений. В-третьих, научилась решать алгебраические уравнения высших степеней. И, в-четвертых, составила алгоритмы решения данных уравнений. Больше всего мне понравилось решать уравнения с помощью схемы Горнера.
3. И главное, я выполнила цель работы — подробно изучила алгебраические уравнения высших степеней и выявила наиболее интересные и практичные способы решения. Я рассмотрела много способов решения уравнений высших степеней, но для себя выявила только несколько. Т.к некоторые из решений мне были не понятны. Например, решение с помощью метода Феррари я не смогла выполнить, потому что этот материал пока сложен мне для понимания.
4. Рассмотренные мною методы имеют свои особенности и могут подойти не для всех видов уравнений высших степеней, т.е. выдвинутая гипотеза полностью доказана.
5. Я считаю, что теорема Виета — достаточно простой способ решения, но требующий много времени и вычислений. Формула Кардано — слишком громоздкая, поэтому на практике используется редко. А теорема Безу и схема Горнера — наиболее практичные и экономичные методы решения, которые смогут помочь на ОГЭ и ЕГЭ.

Видео:11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

Исследовательская работа по математике «Уравнения высших степеней»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Городской конкурс исследовательских работ «День науки»

Секция математики, информатики и физики

Видео:Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

Способы решения уравнений высших степеней

Автор: Табакова Дарья Олеговна,

учащаяся 9 «Г» класса,

Средней общеобразовательной школы № 8

Пузырькова Вера Михайловна,

Средней общеобразовательной школы № 8

Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

Аннотация

В курсе алгебры средней школы выводится формула для решения квадратного уравнения, а из курса физики видно, насколько необходима эта формула для решения многих физических вопросов (например, в задачах с равноускоренным движением).

Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике и её приложениях уравнения более высоких степеней. Люди почти так же давно начали заниматься уравнениями высших степеней, как и квадратными уравнениями.

В представленной научно-исследовательской работе рассмотрены различные методы решения уравнений высших степеней.

Видео:Уравнение четвертой степениСкачать

Введение

Актуальность: Данная тема актуальна, так как уравнения высших степеней встречаются в олимпиадных задачах, а также на Основном и Едином Государственном Экзамене. Однако эта тема недостаточно освещена в учебниках по алгебре в пределах общеобразовательной программы.

Цели и задачи проекта

Узнать, какие существуют методы решения уравнений высших степеней;

Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

Проанализировать источники литературы для выявления способов решения уравнений высших степеней;

Выделить логические приёмы решения уравнений высших степеней.

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Омар Хайям (1048 – 1123)

В своих математических трудах таджикский ученый описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.

Николо Тарталья (1499 – 1557)

Решил уравнение в радикалах.

Джероламо Кардано (1501 – 1576)

Обобщил приемы решения разных видов кубических уравнений. Независимо от Тартальи открыл формулу корней (формула Кардано).

Франсуа Виет (1540 – 1603)

Установил, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты. Поставил вопрос о существовании решения уравнений произвольных степеней в радикалах.

Паоло Руффини (1765 – 1822)

Пытался доказать невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени.

Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813)

Искал признаки уравнений высших степеней, разрешимых в радикалах.

Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829)

Доказал неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени и более высоких степеней в общем случае.

Эварист Галуа (1811 – 1832)

Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяет алгебраическое уравнение, разрешимое в радикалах.

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)

Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен.

Видео:Теорема БезуСкачать

Основные методы решения уравнений:

2.Применение формул сокращённого умножения. Выделение полного квадрата.

3.Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка.

4.Метод понижения степени. Теорема Безу.

5.Метод понижения степени. Схема Горнера.

6.Метод замены переменной.

7.Метод неопределённых коэффициентов.

8.Метод введения параметра.

Видео:✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать

1. Графический метод

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций y=f(x) и y=g(x), входящих в уравнение f(x)=g(x). Это может помочь выяснить:

1.На какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2.Наличие или отсутствие корней, их количество.

Пример №1: Решить уравнение х 6 +х 2 -8х+6=0.

Решение №1 : х 6 =-х 2 +8х-6.

Рассмотрим 2 функции: у=х 6 и у=-х 2 +8х-6.

Построим график функции у=х 6 .

Построим график функции у= -х 2 +8х-6. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Хв=-8:(−2)=4; Ув=16+32-6=>т.В(4;10).

Судя по чертежу, построенные графики пересекаются в т.А(1;1). Проверка показывает, что на самом деле координаты т.А удовлетворяют обоим уравнениям. Значит, данное уравнение имеет один корень: х=1.

Пример №2 : Решить уравнение х 7 +3х+2=0.

Решение №2: х 7 =-3х-2.

Рассмотрим 2 функции у=х 7 и у=-3х-2.

Построим график функции у=х 7 .

Построим график линейной функции у=-3х-2. Это прямая, проходящая через т.т. (0;-2) и (1;-5).

По чертежу нельзя указать точный ответ, поэтому можно сказать только о приближенном значении решения уравнения х≈-0,6.

Графическое решение уравнения – наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия и отсутствия корней и их количества. Однако, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным, поэтому найденные решения следует проверить.

Видео:Уравнения высших степеней 1 часть (старший коэффициент равен 1)Скачать

2. Применение формул сокращённого умножения. Выделение полного квадрата

Этот метод основан на использовании формул:

𝑎 2 +2 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (a + b) 2

𝑎 2 −2 𝑎𝑏 + 𝑏 2 =( 𝑎 − 𝑏 ) 2

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 + ab + b 2 )

a 3 — b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

и метода группировки. Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трёхчлен представляется в виде (а ± b) 2 .

Пример №3: х 4 –3х 2 +4х–3=0.

Решение №3: Представим -3х 2 =-2х 2 -х 2 и сгруппируем: (х 4 -2х 2 )-(х 2 -4х+3)=0

(х 4 -2х 2 +1-1)-(х 2 -4х+3+1-1)=0

(х 2 -1) 2 -1-(х-2) 2 +1=0

(х 2 -1-х+2)(х 2 -1+х-2)=0

Пример №4: х 4 =(3х-10) 2 .

(х 2 -3х+10)(х 2 +3х-10)=0

Алгоритм решения квадратных уравнений прост и понятен и используется практически во многих примерах и задачах. Однако, трудно об этом говорить, имея уравнения третьей, четвёртой и более высоких степеней. В тех из них, где можно привести к виду квадратного уравнения, следует тщательно потрудиться. Во многих случаях это приводит к нахождению решения уравнения.

Видео:8 класс, 35 урок, Уравнения высших степенейСкачать

3. Метод разложения на множители. Вынесение общего множителя. Группировка

Способ группировки можно разбить на 2 этапа:

Объединение членов многочлена в группы, имеющие общий множитель, и вынесение из каждой группы общего множителя.

Вынесение полученного общего для всех групп множителя за скобки.

Пример №5: 2х 8 -3х 7 +х 6 =0

Решение №5: х 6 (2х 2 -3х+1)=0

Пример №6: 2х 4 +3х 3 +16х+24=0.

Решение №6: (2х 4 +16х)+(3х 3 +24)=0

Способ разложения на множители очень эффективный, но при видимой простоте группировки очень непросто выбрать слагаемые для её проведения. Универсальных способов нет, так что приходится каждый раз экспериментировать.

Видео:Схема Горнера. 10 класс.Скачать

4. Метод понижения степени. Теорема Безу

Формулировка теоремы Безу:

Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х – а) равен Р(а).

Следствия из теоремы Безу:

Число а – корень многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда Р(х) делится без остатка на (х – а).

Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами.

Если Р(а)=0, то заданный многочлен Р(х) можно представить в виде: Р(х)=(х-а)Q(x).

Пример №7: Решим уравнение х 3 +2х 2 -1=0.

Решение №7: Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем свободного члена, т.е. равен ±1. Проверка показывает, что х=-1. Значит, Р ₃ (х)=(х+1)Р ₂ (х), т.е. многочлен можно без остатка разделить на (х+1). х 3 +2х 2 -1=0

Пример №8: Решим уравнение х 4 +4х 3 -18х 2 -12х+9=0.

Решение №8: Если это уравнение имеет целый корень, то он равен одному из чисел: ±1;±3;±9. Проверка показывает, что х=-1. Значит, Р ₄ (х)=(х+1)Р ₃ (х), т.е. многочлен можно без остатка разделить на (х+1).

Разложим Р ₃ (х) на множители:

Этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.

Видео:Урок 10. Сложные уравнения и неравенства. Решение уравнений высоких степеней. Вебинар | МатематикаСкачать

5. Метод понижения степени. Схема Горнера

Схема Горнера (правило Горнера, метод Горнера) – алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Метод позволяет найти корни многочлена, также является простым алгоритмом для деления многочлена Р _n (x)=a ₀ x n +a ₁ x n-1 +a ₂ x n-2 +…+a _n-1 x+a _n на бином (х-а).

Пример №9 : Разделить 5х 4 +5х 3 +х 2 -11 на х-1, используя схему Горнера.

Решение №9: Составим таблицу из 2-х строк: в одной запишем коэффициенты по убыванию степеней х, во второй 1. Во вторую ячейку второй строки запишем 5, следующую заполним по такому принципу: 15+5=10. Далее 110+1=11, 111+0=11, 111-11=0.

Ответ: 5х 3 +10х 2 +11х+11.

Пример №10: найти все целочисленные корни многочлена х 6 +2х 5 -21х 4 -20х 3 +71х 2 +114х+45.

Решение №10: Коэффициенты многочлена – целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной =1. Целочисленные корни нужно искать среди делителей свободного члена (±45;±15;±9;±3;±1). Итак, х=-1. Продолжим поиск корней. х 6 +2х 5 -21х 4 -20х 3 +71х 2 +114х+45=(х+1) 3 (х-3) 2 (х+5). Корни многочлена: -1;3;-5, причём -1 – корень третьего порядка, 3 – второго, -5 – корень первого порядка.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох. Схема Горнера даёт общий метод разложения на множители любого многочлена.

Видео:Теорема Виета для многочлена 3 порядка. 10 класс.Скачать

6. Метод замены переменной

В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду f(g(x))=0, заменой t=g(x) уравнение сводится к решению уравнения f(t)=0. Далее для каждого полученного корня tk решается уравнение g(x)=tk.

Пример №11: х 6 +3х 3 -4=0.

Решение №11 : Пусть t=x 3 , тогда t 2 +3t-4=0

Решение №12: (х 2 -3х)(х 2 -2х-х+2)=24

(х 2 -3х)(х 2 -3х+2)=24

Пусть t=х 2 -3х, тогда t(t+2)=24

х 2 -3х=-6 х 2 -3х=4

х 2 -3х+6=0 х 2 -3х-4=0

Основная проблема решения задач методом заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

7. Метод неопределённых коэффициентов

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

2 многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х

Любой многочлен третьей степени разлагается в произведении линейного и квадратного множителей

Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение 2х множителей второй степени.

Пример №13: 2х 4 -х 3 -9х 2 -х+1=0.

Решение №13 : 2х 4 -х 3 -9х 2 -х+1=(ах 2 +bx+c)(kx 2 +lx+n)=akx 4 +(al+bk)x 3 +(an+ck+bl)x 2 +(bn+cl)x+cn. a>0;k>0. ak=2, тогда пусть a=1,k=2; cn=1, отсюда с=1, n=1 или c=-1,n=-1.

ak=2 a=1,k=2 a=1,k=2

al+bk=-1 l+2b=-1 l+2b=-1

an+ck+bl=-9 1+2+bl=-9 -1-2+bl=-9

Вторая система не имеет решения, т.к. из второго и четвёртого уравнений получаем b=0,l=-1, что не удовлетворяет третьему уравнению. Получили: a=1,k=2,c=-1,n=-1,b=-2,l=3. Тогда разложение имеет вид: 2х 4 -х 3 -9х 2 -х+1=(х 2 -2х-1)(2х 2 +3х-1)

х 2 -2х-1=0 2х 2 +3х-1=0

Метод неопределённых коэффициентов является универсальным способом при разложении уравнения на простейшие, если нет рациональных корней.

Видео:Метод неопределенных коэффициентовСкачать

8. Метод введения параметра

Метод введения параметра позволяет нестандартное уравнение привести к уравнению привычного вида (например, к квадратному уравнению).

Пример №14 : х 3 -(√3+1)х+3=0

Решение №14 : Пусть а=√3, то 3=а 2 .

а 2 -ах 2 +(х 3 -х 2 )=0

D=x 4 -4x 3 +4x 2 =x 2 (x 2 -4x+4)=x 2 (x-2) 2

Метод введения параметра используют в самых разных разделах алгебры. В частности, введением параметра могут быть решены некоторые тригонометрические, иррациональные и показательные уравнения.

Видео:Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | НаучпопСкачать

Результаты исследования

Я проанализировала различные источники литературы, узнала, какие существуют методы решения уравнений высших степеней и научилась решать данные уравнения различными способами.

Каждый из приведённых мною способов заслуживает внимание. Какие-то уравнения можно решить несколькими способами, другие же – только одним. Но теорема Безу и схема Горнера – универсальные методы, применимые практически во всех уравнениях высших степеней.

Видео:Теорема Виета для уравнений высших степеней. Рациональные уравнения Часть 4 из 4Скачать

Список использованных источников

1. А. Г. Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» — М.: Просвещение, 1995.

2. И. Р. Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 — М.: Наука, 1954.

3. М. А. Еремин «Уравнения высших степеней» — Арзамас, 2003.

4. Л. М. Лоповок «1000 проблемных задач по математике» — М.: Просвещение, 1995.

Видео:Теорема Безу и разложение многочлена на множителиСкачать

Научно-исследовательская работа по теме: « Уравнения высших степеней»

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. В данной работе представлены методы решения указанных уравнений.

Цели работы: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

Задачи:

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Просмотр содержимого документа
«Научно-исследовательская работа по теме: « Уравнения высших степеней»»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа № 1»

по теме: « Уравнения высших степеней»

Автор: Жуковская Татьяна Владимировна , 9 «Б» класс

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней….……. 6

Виды уравнений высших степеней………………………………………. ….9

Методы решения высших степеней……………….………………..…………9

Решение уравнений разными способами..………………….……………. 10

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. В конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа.

С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрала эту тему для своей исследовательской работы.

Цели работы: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Методы исследования: изучение и анализ литературы, сравнение, обобщение, практический метод

Результат исследования: Я научилась решать возвратные и однородные уравнения,а также изучила теорему Безу и схему Горнера.

Гипотеза:Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней

Омар Хайям (ок. 1048- ок. 1123)

Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.

Никколо Тарталья (1499-1557)

Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.

Обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа».

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)

В 1826 году доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

Этьен Безу (1730-1783)

Французский математик, член Парижской академии наук. Преподавал математику в Училище гардемаринов в 1763 и Королевском артиллерийском корпусе в 1768. Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.) Является автором шеститомного «Курса математики» (1764-1769).

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)

Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен .

Виды уравнений высших степеней

Уравнения третьей степени

Уравнения четвёртой степени

Уравнения пятой степени

Способы решения уравнений высших степеней

Разложение многочлена на множители:

По формулам сокращенного умножения

По теореме Безу

Метод введения новой переменной

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Вынести этот общий множитель за скобки.

Примеры решения уравнений способом группировки:

x-5=0 или x-4=0 или x+4=0

x-2=0 или x+2=0 или x-3=0

По формулам сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности: (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов: а 2 — b 2 = (a — b) (a + b)

4. Куб суммы: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности: (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )

7. Разность кубов: a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )

Примеры решения уравнений с помощью формул сокращённого умножения:

x=1 D=16-64=-48-корней нет

+18a⁴+108a²+216=0

🎥 Видео

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать