Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства, Гейдман Б.П., 2003

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства, Гейдман Б.П., 2003.

Пособие предназначено для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. Оно содержит теоретический материал, посвященный общим принципам решения логарифмических и показательных уравнений, неравенств и систем уравнений, а также разобранные примеры и задачи для самостоятельного решения. В конце пособия приведено контрольное задание по данной теме.

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Введение.
Настоящее пособие построено по следующему плану. В §1 мы напоминаем некоторые основные понятия. §§2-4 посвящены логарифмическим и показательным уравнениям и неравенствам, основной прием решения которых состоит в построении цепочки равносильных переходов. После нескольких переходов мы приходим к простейшему уравнению или неравенству, системе или совокупности простейших уравнений и неравенств.

Оглавление.
Введение.
1.Равносильность и следование предложений.
2.Логарифмические и показательные уравнения.
3.Логарифмические и показательные неравенства.
Ключ к тестам.
4.Некоторые частные приемы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
5.Задачи для самостоятельного решения.
Ответы, указания, решения.
6.Контрольное задание.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Логарифмические и показательные уравнения и неравенства, Гейдман Б.П., 2003 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

11 класс, 12 урок, Показательные уравнения

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Каждому значению показательной функции Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниксоответствует единственный показатель s.

Пример:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решив это уравнение, получим

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Ответ: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решая его, получаем:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникоткуда находим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

б) Разделив обе части уравнения на Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникполучим уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникравносильное данному. Решив его, получим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникАлгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Ответ: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Обозначим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниктогда Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Таким образом, из данного уравнения получаем

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

откуда находим: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Итак, с учетом обозначения имеем:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример:

При каком значении а корнем уравнения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникявляется число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решив это уравнение, найдем

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Ответ: при Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник. Отсюда Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример №1

Решите уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Заметим, что Алгебра показательные уравнения и неравенства учебники перепишем наше уравнение в виде

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Согласно тождеству (2), имеем Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х. Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Введем новую переменную: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникПолучим уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

которое имеет корни Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникОднако кореньАлгебра показательные уравнения и неравенства учебникне удовлетворяет условию Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникЗначит, Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример №4

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Разделив обе части уравнения на Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникполучим:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

последнее уравнение запишется так: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решая уравнение, найдем Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Значение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникне удовлетворяет условию Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникСледовательно,

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример №5

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Заметим что Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникЗначит Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Перепишем уравнение в виде Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Обозначим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникПолучим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Получим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Корнями данного уравнения будут Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Следовательно, Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

После вынесения за скобку в левой части Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник, а в правой Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник, получим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникРазделим обе части уравнения на Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникполучим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникОтсюда получим систему Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Очевидно, что последняя система имеет решение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример №8

Решите систему уравнений: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникПоследняя система, в свою очередь, равносильна системе: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникПодставив полученное значение во второе уравнение, получим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример №9

Решите систему уравнений: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Сделаем замену: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникТогда наша система примет вид: Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Тогда получим уравнения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник. Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник(читается как «кси»), что Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Рассмотрим отрезок Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниксодержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

  1. вычисляется значение f(х) выражения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник
  2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник
  3. вычисляется значение Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниквыражения f(х) в точке Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник
  4. проверяется условие Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник
  5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник(левый конец отрезка переходит в середину);
  6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
  7. для нового отрезка проверяется условие Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник
  8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниквычисляются значения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Оказывается, что для корня Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникданного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые Алгебра показательные уравнения и неравенства учебники Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникудовлетворяющие неравенству Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим, Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Так как, для нового уравнения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Значит, в интервале, Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникуравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникне имеет ни одного корня, так как,

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниквыполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникДля Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникпроверим выполнение условия

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство Алгебра показательные уравнения и неравенства учебниккорень уравнения принадлежит интервалу

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникПустьАлгебра показательные уравнения и неравенства учебникЕсли Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникприближенный

корень уравнения с точностью Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник. Если Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникто корень лежит в интервале Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникесли Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникто корень лежит в интервале Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник. Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникс заданной точностьюАлгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что Алгебра показательные уравнения и неравенства учебникзаключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Пусть Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Показательные уравнения. 11 класс.

Показательные неравенства, Тишин В.И., 2002

Показательные неравенства, Тишин В.И., 2002.

Методика изложения решений показательных уравнений выдержана в таком же стиле, как и решение показательных уравнений.
Примеры систематизируются по видам и методам их решения. Делается попытка охватить все основные методы решения.
Конечная задача — помочь учащимся подготовиться к поступлению в вузы и дать материал учителям для дополнительных занятий.

Алгебра показательные уравнения и неравенства учебник

Показательные неравенства.
Неравенства, содержащие одинаковые степени. Метод решения: вынесения общего множителя за скобки применение свойств показательной функции.

Неравенства, содержащие степени с одинаковыми и разными основаниями и разными показателями. Метод решения: приведение к алгебраическим заменой переменных.

Содержание
Показательные неравенства
Простейшие показательные неравенства, вида:
Задание 1
II вид. Неравенства, содержащие одинаковые степени. Метод решения: вынесения общего множителя за скобки применение свойств показательной функции.
Задание 2
III. Неравенства, содержащие степени с одинаковыми и разными основаниями и разными показателями. Метод решения: приведение к алгебраическим заменой переменных
Задание 3
IV вид. Неравенства, содержащие переменную в основании степени. Метод решения: исследование возможных трех случаев значений основания степени
Задание 4
Ответы к заданиям
Упражнения
Литература.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Показательные неравенства, Тишин В.И., 2002 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

💥 Видео

Показательные уравнения — что это такое и как решатьСкачать

Показательные уравнения — что это такое и как решать

Графический метод решения показательных уравнений и неравенств Алгебра 10 (база)Скачать

Графический метод решения показательных уравнений и неравенств   Алгебра 10 (база)

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | Математика

11 класс, 13 урок, Показательные неравенстваСкачать

11 класс, 13 урок, Показательные неравенства

Системы показательных уравнений и неравенств. Практика. Видеоуроки 13. Алгебра 10 классСкачать

Системы показательных уравнений и неравенств. Практика. Видеоуроки 13. Алгебра 10 класс

Показательные неравенства. 11 класс.Скачать

Показательные неравенства. 11 класс.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравнений

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)

Показательные уравнения и неравенстваСкачать

Показательные уравнения и неравенства

Алгебра 10 класс (Урок№23 - Показательные неравенства.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№23 - Показательные неравенства.)

§14 Системы показательных уравнений и неравенствСкачать

§14 Системы показательных уравнений и неравенств

Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)Скачать

Как решать Показательные Уравнения? (часть 2)

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnline

Показательные уравнения | Алгебра 11 класс #8 | ИнфоурокСкачать

Показательные уравнения | Алгебра 11 класс #8 | Инфоурок

ЕГЭ. Математика. Показательные уравнения, неравенства и их системы. ПрактикаСкачать

ЕГЭ. Математика. Показательные уравнения, неравенства и их системы. Практика
Поделиться или сохранить к себе: