Алгебра 8 класс решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде (ax^2+bx+c=0), где (x) неизвестная, (a), (b) и (с) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем (a≠0)).

В первом примере (a=3), (b=-26), (c=5). В двух других (a),(b) и (c) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду (ax^2+bx+c=0), они обязательно появятся.

Коэффициент (a) называют первым или старшим коэффициентом, (b) – вторым коэффициентом, (c) – свободным членом уравнения.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Видео:КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

Преобразовать уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

Выписать значения коэффициентов (a), (b) и (c).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения (2x^2-3x+5=0), коэффициент (b=-3), а не (3).

Вычислить значение дискриминанта по формуле (D=b^2-4ac).

Решите квадратное уравнение (2x(1+x)=3(x+5))
Решение:

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_2=frac<-b — sqrt>).

Решите квадратное уравнение (x^2+9=6x)
Решение:

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду (ax^2+bx+c=0).

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_1=frac<-b — sqrt>).

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Решите квадратное уравнение (3x^2+x+2=0)
Решение:

Уравнение сразу дано в виде (ax^2+bx+c=0), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac).

Найдем корни уравнения по формулам (x_1=frac<-b + sqrt>) и (x_1=frac<-b — sqrt>).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение (x^2-7x+6=0).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут (6), а в сумме (7). Простым подбором получаем, что эти числа: (1) и (6). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: (x_1=1), (x_2=6).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты (b) и (c).

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Как найти дискриминант квадратного уравнения

О чем эта статья:

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:

13 = 12 — противоречие.

Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:

12 = 12 — верное равенство.

Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.

Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.

Видео:Как решить квадратное уравнение (Положительный дискриминант)Скачать

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные

Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:

Видео:Теорема Виета за 30 сек🦾Скачать

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
2. Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

D > 0, значит уравнение имеет два корня:

Ответ: два корня x₁ = 5, x₂ = -1.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Урок алгебры в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений с помощью формул»
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Урок изучения нового материала по алгебре в 8 классе по теме Решение квадратных уравнений с помощью формулы дискриминанта

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Скачать:

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение квадратных уравнений по формуле»

Класс: 8 класс, учебник «Алгебра – 8» А.Г. Мордкович

Цель урока : Организация продуктивной деятельности учащихся, направленной на достижение ими:

1) личностных результатов :

• уметь слушать другого и понимать его речь;
• уметь хорошо говорить и легко выражать свои мысли;
• учиться применять свои знания и умения к решению новых проблем;.
• Умение формулировать для себя цели

• определение способов решения учебной задачи на основании заданных алгоритмов;

• развитие умений анализировать, аргументировать сделанныйвыбор,
• умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
• приведение примеров, подбор аргументов, формулирование выводов;
• отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности

• поиск и устранение причин возникших трудностей;

• оценивание своих учебных достижений;
• владение навыками само- и взаимоконтроля;
• умение ставить личностные цели и оценивать степень их достижения.

3) предметных результатов:

• распознавать линейные и квадратные уравнения;
• решать квадратные уравнения;
• определять наличие корней квадратных уравнений по дискриминанту;
• закрепить знания учащихся по теме решения квадратных уравнений;

Тип урока: у рок изучения нового материала; комбинированный с применением групповой работы.

Формы работы: групповая

Технические средства обучения: компьютер, проектор, колонки (для проведения физкультминутки) презентация (авторская разработка)

1. Организационный момент
2. Постановка цели и задач. Мотивация учебной деятельности (Формулирование проблемы)
3. Актуализация знаний
4. Первичное усвоение новых знаний
5. Физкультминутка
6. Первичное закрепление
7. Информация о домашнем задании.
8. Рефлексия. Подведение итогов урока

Здравствуйте, ребята! Я очень рада всех видеть вас сегодня и надеюсь на совместную плодотворную работу .

Готовясь к сегодняшнему уроку, я натолкнулась на одну интересную историю: несколько десятилетий назад в Америке была объявлена премия тому автору, который напишет книгу «как человек без математики жил». Премия осталась не выданной. Как вы думаете, почему? (Ответы учащихся). Да, вы правы ни один из авторов не смог доказать, что человеку математика не нужна, никто не смог изобразить жизнь человека без применения каких-либо математических знаний. Вот и нам с вами на уроке не обойтись без набора определенных знаний и умений.

Сегодня мы с вами разделимся на 3 группы. В каждой группе у нас есть капитан, который отвечает за организацией работы в группе и следит за тем, чтобы каждый вас мог выразить своё мнение на уроке. Вовремя работы вы будете сотрудничать не только со мной, но и друг с другом.

Вспомним правила работы в группе:

1. Думай, слушай, высказывайся.

2. Уважай мнение других.

3. Записывай идеи.

4. Не спрашивай у учителя, спрашивай у группы.

5. Не бери всю инициативу на себя.

6. Не жди подсказки.

2 . Актуализация знаний. Постановка проблемы.

1. Устная работа .

— Я предлагаю вам поиграть в игру «Найди лишнее». Вам предстоит среди предложенных уравнений найти лишнее и объяснить свой выбор. (Раздает каждой группе карточки)

Для 1 группы: Для 2 группы: Для 3 группы:

1. х 2 + 5х = 0 1. х 2 — 12х = 0 1. х 2 – 8х = 0
2. 2х 2 – 10х = 0 2. 3х 2 + 6х = 0 2. 3х 2 + 9х = 0
3. х 2 + 2х – 8 = 0 3. х 2 – 3х — 4 = 0 3. х 2 – 5х + 4 = 0
4. х 2 – 9 = 0 4. х 2 – 16 = 0 4. х 2 – 36 = 0

Ответы: Лишние третьи квадратные уравнения, так как они являются полными, а 1, 2 и 4 – неполные квадратные уравнения.

— А теперь решите уравнения. (У детей вызывают затруднения при решении 3 уравнений)

— Ребята, вы легко решили неполные уравнения, так как вы умеете их решать. Проверим их решение у доски. (Один ученик записывает решение одного уравнения)

Для 1 группы: Для 2 группы: Для 3 группы:

1. х 2 + 5х = 0 1. х 2 — 12х = 0 1. х 2 – 8х = 0

х(х +5 ) =0 х(х — 12) = 0 х(х – 8) =т 0

х = 0 х+5 = 0 х = 0 х – 12 = 0 х = 0 х – 8 = 0

1. 2х 2 – 10х = 0 2. 3х 2 + 6х = 0 2. 3х 2 + 9х = 0

2х(х – 5) = 0 3х (х + 6) = 0 3х (х + 3) = 0

2х = 0 х – 5 = 0 3х = 0 х+6 = 0 3х = 0 х + 3 = 0

х = 0 х = 5 х = 0 х = -6 х = 0 х = -3

1. х 2 – 9 = 0 4. х 2 – 16 = 0 4. х 2 – 36 = 0

(х – 3)(х + 3) = 0 (х – 4)(х + 4) = 0 (х – 6)(х + 6) = 0

х – 3 = 0 х + 3 = 0 х – 4 = 0 х + 4 = 0 х – 6 = 0 х + 6 = 0

х = 3 х = -3 х = 4 х = -4 х = 6 х = -6

х 2 + 2х – 8 = 0 х 2 – 3х — 4 = 0 х 2 – 5х + 4 = 0

Как вы думаете, есть ли еще метод для решения полных квадратных уравнений?
Сегодня мы познакомимся с еще одним способом решения, который позволит быстро находить корни квадратного уравнения. Итак, тема урока «Решение квадратных уравнений по формуле»

3.Первичное усвоение новых знаний.

— Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 называется выражение b2 – 4ac .
Дискриминант обозначают буквой D , т.е.

– Как вы считаете, какое значение может принимать дискриминант? (Положительное, отрицательное и равное нулю).
— Определим количество корней уравнения в зависимости от значения дискриминанта D

D>0, уравнение имеет 2 корня; x 1 = , x 2 =

D= 0 уравнение имеет 1 корень ; x =

— Запишем в тетради алгоритма решения квадратного уравнения:

— А теперь вернемся к нашим уравнениям и решим их. (Сначала ребята решают самостоятельно с последующей проверкой у доски)

D = b 2 – 4 ac = 2 2 – 4 · 1 · (-8) = 4 +32 = 36, D > 0, значит уравнение имеет 2 корня

D = b 2 – 4 ac = (-3) 2 – 4 · 1 · (- 4) = 9 + 16 = 25, D > 0, значит уравнение имеет 2 корня

D = b 2 – 4 ac = (-5) 2 – 4 · 1 · 4 = 25 — 16 = 9, D > 0, значит уравнение имеет 2 корня

1. Физкультминутка.
2. Первичное закрепление

— А сейчас мы посмотрим, как вы поняли изученный материал. Вы самостоятельно будете решать № 25.1, 25.3, 25.5, 25.7. (Дети решают самостоятельно каждый ученик)

— Теперь обменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте правильно ли вы решили уравнения, ключ на доске.

а). D= 49 б). D = -6,31 в). D= 65 D= 1,76

а). D = 400, D > 0, значит, 2 корня

б). D = 0, значит, 1 корень

в). D = 576, D > 0, значит, 2 корня

г). D = 0, значит, 1 корень

а). х 1 = 3 б). х 1 = 5 в). х 1 = — 2 г). х 1 = 6

х 2 = 2 х 2 = -3 х 2 = -4 х 2 = — 3

а). х 1 = -0,5 б). нет в). х 1 = 1 г). х 1 =

х 2 = — 1 корней х 2 = 0,6 х 2 = —

Решено правильно 4 номера – «5»

Решено правильно 3 номера – «4»

Решено правильно 2 номера – «2»

— Задачник Алгебра 8 класс, стр. 162 № 25.2, 25.4, 25.6.

1. Рефлексия. Подведение итогов урока.

1. Напишите формулу нахождения дискриминанта квадратного уравнения.
2. Напишите формулу корней квадратного уравнения
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

• На уроке я успел сделать…
• В результате я узнал и научился…
• Я не понял, у меня не получилось…

— И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

— Итак, наш урок подошел к концу. Я хочу сказать вам СПАСИБО за работу на уроке.

Кому на уроке все было понятно встаньте и похлопайте в ладоши, у крого остались вопросы и не все получалось сразу сидя похлопайте в ладоши, у кого не получилось решить последнее уравнение

Предварительный просмотр:

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 2ч. 8 класс.Скачать

Подписи к слайдам:

УРОК АЛГЕБРЫ В 8 КЛАССЕ «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛЕ УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МКОУ БЕМЫЖСКАЯ СОШ УСАЧЕВА М.В.

Правила работы в группе НАЙДИТЕ ЛИШНЕЕ РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИСКРИМИНАНТ АЛГОРИТМ 7 Физкультминутка № 25.1 № 25.3 № 25.5 № 25.7 Домашнее задание Оценим себя

Правила работы в группе 1. Думай, слушай, высказывайся. 2. Уважай мнение других. 3. Записывай идеи. 4. Не спрашивай у учителя, спрашивай у группы. 5. Не бери всю инициативу на себя. 6. Не жди подсказки.

Найдите лишнее Для 1 группы: Для 2 группы: Для 3 группы: х 2 + 5х = 0 1. х 2 — 12х = 0 1. х 2 – 8х = 0 2х 2 – 10х = 0 2. 3х 2 + 6х = 0 2. 3х 2 + 9х = 0 х 2 + 2х – 8 = 0 3. х 2 – 3х — 4 = 0 3. х 2 – 5х + 4 = 0 х 2 – 9 = 0 4. х 2 – 16 = 0 4. х 2 – 36 = 0

Решите уравнения Для 1 группы: Для 2 группы: Для 3 группы: х 2 + 5х = 0 1. х 2 — 12х = 0 1. х 2 – 8х = 0 2х 2 – 10х = 0 2. 3х 2 + 6х = 0 2. 3х 2 + 9х = 0 х 2 + 2х – 8 = 0 3. х 2 – 3х — 4 = 0 3. х 2 – 5х + 4 = 0 х 2 – 9 = 0 4. х 2 – 16 = 0 4. х 2 – 36 = 0

х 2 – 5х + 4 = 0 Полные квадратные уравнения х 2 + 2х – 8 = 0 х 2 – 3х — 4 = 0

Дискриминантом квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 D = b 2 – 4 ac .

Решите уравнения по алгоритму х 2 + 2х – 8 = 0 х 2 – 3х — 4 = 0 х 2 – 5х + 4 = 0 1 группа 2 группа 3 группа

№ 25.1 а). D = 49 б). D = -6,31 в). D = 65 г). D = 1,76

№ 25.3. а). D = 400, D > 0, значит, 2 корня б). D = 0, значит, 1 корень в). D = 576, D > 0, значит, 2 корня г). D = 0, значит, 1 корень

№ 25.5 а). х 1 = 3 б). х 1 = 5 в). х 1 = — 2 г). х 1 = 6 х 2 = 2 х 2 = -3 х 2 = -4 х 2 = — 3

Домашнее задание № 25.2, 25.4, 25.6.

Решено правильно 4 номера – «5» Решено правильно 3 номера – «4» Решено правильно 2 номера – «2» Оценим себя

СПАСИБО ЗА УРОК

Видео:8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока алгебры в 8 классе «Неполные квадратные уравнения»

Разработка урока представлена в виде мультимедийной презентации. С помощью гиперссылок можно воспользоваться некоторыми методическими рекомендациями для учителя.Работа является победителем II городско.

Презентация к уроку алгебры в 8 классе Решение квадратных уравнений

Презентация к уроку алгебры в 8 классе Решение квадратных уравнений.

Урок алгебры в 8 классе «Решение квадратных уравнений»

На уроке повторяются основные способы решения квадратных уравнений.

Урок алгебры 8 класса по теме «Квадратные уравнения»

Тема урока «Квадратные уравнения»Цель: Обобщение темы; проверка знаний умений и навыков; активизировать работу учащихся.

Урок алгебры в 8 классе «Формулы квадратного уравнения»

Урок алгебры в 8 классе «Формулы квадратного уравнения».

Разработка урока алгебры в 8 классе «приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета»

Разработка урока алгебры в 8 классе «приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета». Урок с использованием проблемной технологии и исследовательской работы.

Презентация к уроку алгебры в 8 классе «Неполные квадратные уравнения»

Презентация может быть использована на уроках алгебры в 8 классе при изучении темы «Неполные квадратные уравнения».

🎥 Видео

Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Как решать квадратные уравнения через дискриминант. Простое объяснениеСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 3ч. 8 класс.Скачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Полные Квадратные Уравнения. Как решать Полные Квадратные Уравнения?Скачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать