Алгебра 7 класс урок 45 уравнения первой степени с двумя неизвестными (6 видео)

Алгебра. 7 класс

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Математические термины

Стандартный вид

Определение

Значение переменной

Необходимо запомнить

Уравнение вида $ax + by =c$, где $x$ и $y$ – неизвестные и свободный член c – любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.

$ax + by =c$ – нормальный вид такого уравнения.

Каждая пара значений x и y, удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.

Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при y равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ($x$). Например:

Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений, является прямая, параллельная оси ординат.

Итак, графиком уравнения $ax + by = c$, если $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если $a = 0$ и $b = 0$, то возможны два случая:

1) $0x + 0y =17$ или $0 = 17$ – уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;

2) $0x + 0y = 0$ или $0 = 0$ – уравнение имеет бесчисленное множество решений (причём значения $x$ и $y$ здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.

Задача на составление неопределенного уравнения

Трёхногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось $15$. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: $x$ – число инопланетян, $y$ – число питомцев, тогда получим уравнение $3x + 2y = 15$.

Давайте же узнаем сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

$3x + 2y = 15$. Выразим y через $x$: $y=frac$, далее воспользуемся методом перебора: при $x = 1$, $y = 6$, при $x = 2$, $y: notin : N$ , при $x = 3$, $y = 3$.

Ответ: $1$ инопланетянин и $6$ питомцев; $3$ инопланетянина и $3$ питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Видео:Алгебра 7 класс (Урок№46 - Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.)Скачать

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение линейных уравнений.

• Линейное уравнение с двумя неизвестными.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.

Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.

x 2 + z 2 = 7x 2 + z 2 = 7

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.

Попробуем дать определение таких уравнений.

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.

Решим уравнение: 2x – y = 3

Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.

Подставив эти значения, получим верное равенство:

Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.

Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4

Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.

Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.

Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.

Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.

Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Возьмём уравнение: 2x – y = 4

Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:

y = ax + b, графиком является прямая линия.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.

Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?

Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,

разделим обе части уравнения на 2:

подставим вместо переменной x её значения:

при x = 3 получаем:

при x = 4 получаем:

при x = –4 получаем:

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

Решите уравнение: x – 2y = 5

Выразим переменную x через переменную y:

подставим вместо переменной y её значения:

при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7

при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11

при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

Видео:7 класс. Уравнения первой степени с двумя неизвестными.Скачать

Конспект урока по алгебре 7 класс на тему: «Уравнения первой степени с одной неизвестной»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Открытый урок / занятие

Тема: « Уравнения первой степени с одной неизвестной» 7 класс

Учебник Алгебра 7 класс для общеобразовательных учреждений Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворова; под редакцией С.А. Теляковского.

Подготовила: Панина Оксана Евгеньевна

Предметные результаты: Формулировать определения понятий линейного уравнения, уравнения первой степени; перечислять преобразования, выполняемые при решении уравнений первой степени.

Метапредметные результаты: Составлять схему определения понятия, выполняя сравнение, обобщение; использовать прием саморегуляции для решения уравнений первой степени; строить речевые высказывания.

В начале урока учителем была поставлена проблема:

выявить, обобщить и систематизировать знания, необходимые для решения уравнений.

Для решения проблемы ученики в парах выполняют ряд заданий представленных учителем, задания проверяются фронтально.

Ученики вспоминают, называют свойства действий, дают их словесные определения, записывают формулы.

Например: законы сложения, умножения:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Ученики вспоминают, что уравнения – это равенство, содержащие переменную,( обозначенную через x , y , z и т.д), значит к нему применимы свойства равенств, формулируют эти свойства.

Например: Обе части уравнения можно умножить или разделить на число .

Учитель вместе с учениками организует составление схемы определения понятия « Линейное уравнение»

Схема определения понятия « линейное уравнение»

a – коэффициент при неизвестном;

b – свободный член, a , b – любые числа

Ученики дают определение понятия « решить уравнение», решают уравнения, делают взаимо и самопроверку, осознают роль преобразований в решении уравнений.

Учитель организует обсуждение результатов выполнения задания. Под руководством учителя ученики абстрагируются от решения конкретного уравнения и обобщают процесс рассуждений на решение любого уравнения, в результате чего появляется прием саморегуляции для выполнения задания «решить уравнение».

На последнем этапе урока – рефлексивно оценочном – ученики вместе с учителем возвращаются к проблеме, сформулированной в начале урока, и приходят к выводу, что проблема решена: выявлены, обобщены и систематизированы знания, необходимые для решения уравнений первой степени и линейных уравнений. Ученики называют новые изученные понятия, отмечают, что имеют средство, с помощью которого следует регулировать собственную учебную деятельность при выполнении заданий типа «решить уравнение».

На следующих уроках продолжается формирование умственного действия «решить уравнение» в соответствии с теорией П. Я. Гальперина. Постепенно это действие переходит в исполнение в умственном плане.