Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

Видео:Как найти абсциссу точки пересечения двух прямых?Скачать

Как найти абсциссу точки пересечения двух прямых?

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

  • повторение изученных графиков функций;
  • повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
  • закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
  • формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
  • формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
  • формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8.

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

Слайд 6 Найдите корни уравнения Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8, используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

  • в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2Y;
  • в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
  • выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

  • скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • выделить диапазон ячеек B2:V2;
  • на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
  • на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

  • на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

  • самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
  • на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8.

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

  • Перейти на Лист2.
  • Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у1=Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).
  • Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    2 этап: Построение диаграммы типа График.

  • Выделить диапазон ячеек (А2:V3);
  • Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.
  • Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    3 этап: Определение корней уравнения.

    Графики функций у1= Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

    III. Метод Подбор параметра.

    Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

    Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

    Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

    1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

    Построить график функции у=х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

    • выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
    • с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

    Все изменения сразу отобразятся на графике.

    Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

    График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

    По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.

    3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

    1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

    По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

    • Выделить ячейку Е2;
    • перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

    В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

    В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

    Щелкнуть по кнопке ОК.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    • В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
    • В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

    Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

    Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.

    2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. 2≈4,3029).

    IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

    При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

    3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

    Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8с точностью до 0,001.

    • ввести функцию у=Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    • найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
    • найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

    4. Итог урока.

    Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

    Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

    Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

    5. Домашнее задание.

    Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

    Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

    Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

    Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

    В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

    Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

    Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

    Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

    Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

    Рекомендации:

    Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

    Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

    Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

    Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

    Линейная функция

    1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

    Вычтем из первого уравнения второе:

    Уравнение прямой имеет вид:

    Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

    2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Запишем формулы функций.

    Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция

    Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции

    Вычтем из первого уравнения второе.

    Прямая задается формулой:

    Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

    3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

    Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

    Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

    Для точки пересечения прямых:

    Квадратичная функция. Необходимая теория

    4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

    5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .

    6. На рисунке изображён график функции Найдите

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

    Формула функции имеет вид:

    7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому

    График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

    Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

    (это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

    Степенные функции. Необходимая теория

    8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции проходит через точку (2; 1); значит,

    График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда

    Для точек A и B имеем:

    Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

    9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Функция задана формулой:

    Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

    10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда =5.

    Показательная функция. Необходимая теория

    11. На рисунке изображён график функции Найдите

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

    Поделим второе уравнение на первое:

    Подставим во второе уравнение:

    12. На рисунке изображен график функции . Найдите

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции проходит через точку Это значит, что

    формула функции имеет вид: .

    Логарифмическая функция. Необходимая теория

    13. На рисунке изображён график функции Найдите

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

    Вычтем из второго уравнения первое:

    или — не подходит, так как (как основание логарифма).

    14. На рисунке изображен график функции .

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

    Тригонометрические функции. Необходимая теория

    15. На рисунке изображён график функции Найдите

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

    Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .

    16. На рисунке изображён график функции

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    На рисунке — график функции Так как

    График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.

    Так как получим:

    17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

    Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

    Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

    Видео:Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

    Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

    Решение уравнений онлайн

    В общем виде, уравнение относительно некоторой переменной может быть записано следующим образом:

    Решить, приведенное выше уравнение, означает найти все значения переменной при которых выражение обращается в верное тождество.

    Графически, корни уравнения представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции с осью :

    Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения x2 2x 8

    Таким образом, из приведенного на рисунке графика некоторой функции , мы можем сразу сказать, что значения являются корнями уравнения .

    В зависимости от конкретного вида функции существует бесконечное множество различных уравнений (линейные, квадратные, кубические, тригонометрические, уравнения с корнями, степенями и т.д.).

    Наш онлайн калькулятор построен на основе системы Wolfram Alpha LLC и способен решить очень много различных типов уравнений с описанием подробного решения.

    🎦 Видео

    № 601-700 - Алгебра 8 класс КолягинСкачать

    № 601-700 - Алгебра 8 класс Колягин

    Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать

    Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.

    Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

    Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

    Найти абсциссу точки пересечения графиков двух линейных функцийСкачать

    Найти абсциссу точки пересечения графиков двух линейных функций

    Графики функций f(x)=5x+9 и g(x)=ax^2+bx+c пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.Скачать

    Графики функций f(x)=5x+9 и g(x)=ax^2+bx+c пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

    ЕГЭ Профиль 9 задание Тренировочный вариант 1 декабрь 2021Скачать

    ЕГЭ Профиль 9 задание Тренировочный вариант 1 декабрь 2021

    Задача 7 ЕГЭ по математике #2Скачать

    Задача 7 ЕГЭ по математике #2

    Решаем квадратные уравнения аналитическим и графическим способамиСкачать

    Решаем квадратные уравнения аналитическим и графическим способами

    Функция y=x2 и её график – 8 класс алгебраСкачать

    Функция y=x2 и её график – 8 класс алгебра

    На рис. изображены графики f(x)=2x^2-5x+4 и g(x)=ax^2+bx+c, кот. пересекаются в точках А и В.Скачать

    На рис. изображены графики f(x)=2x^2-5x+4 и g(x)=ax^2+bx+c, кот. пересекаются в точках А и В.

    ЕГЭ задание 9 Точки перечечения параболСкачать

    ЕГЭ задание 9 Точки перечечения парабол

    Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

    Построить график  ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:

    На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.Скачать

    На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

    На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.Скачать

    На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

    ЕГЭ задание 9 Точка пересечения графиков линейных функцийСкачать

    ЕГЭ задание 9 Точка пересечения графиков линейных функций

    Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

    Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)
    Поделиться или сохранить к себе: