Про уравнения - легко » Статьи

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Обновлено
11. Решение матричных уравнений

Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).

Возможны два случая: 1) матрица А Квадратная невырожденная; 2) матрица А — либо вырожденная, либо прямоугольная.

1) Если А – квадратная и |А| ¹ 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А-1×В и Х = В×А-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.

2) А – квадратная матрица, но |А| = 0, либо А — прямоугольная матрица. Если матрица А Имеет размерность M´n, а матрица В – Размерность Р´к, то, при M ¹ Р уравнение (14) не имеет решения, а при N ¹ к не имеет решения уравнение (15). Если же M = Р , то в уравнении (14) матрица Х Должна иметь К столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь Р Строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.

Пример 5. Найдите матрицу Х, Если А×Х = В, Где А = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, В = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Из примера 5 следует, что матрица А Имеет обратную, поэтому Х = А-1×В. Используя найденную в примере 5 матрицу А-1, Получим Х = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в×А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в = = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Пример 6. Найдите матрицу Х, Если Х×А = В, где А = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, В =А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в. Так как |А| = 0, то для А обратной матрицы нет. По правилам умножения матриц, в матрице В Столько строк, сколько их в матрице Х, И столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается ограничения: в матрице Х Должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений. Пусть Х = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в. Тогда Х×А = А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в. Полученная матрица равна матрице В Тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы равны. Получим три системы уравнений. А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х вЭти системы не имеют решений, следовательно, не имеет решения и данное матричное уравнение.

Содержание
  1. Решение матричных уравнений: теория и примеры
  2. Решение матричных уравнений: как это делается
  3. Решение матричных уравнений: примеры
  4. Матричный калькулятор онлайн
  5. Предупреждение
  6. Инструкция матричного онлайн калькулятора
  7. Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
  8. Вычисление обратной матрицы онлайн
  9. Вычисление определителя матрицы онлайн
  10. Вычисление ранга матрицы онлайн
  11. Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
  12. Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
  13. Скелетное разложение матрицы онлайн
  14. Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
  15. Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
  16. LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
  17. Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
  18. Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн
  19. 🎦 Видео

Видео:§28 Матричные уравненияСкачать

§28 Матричные уравнения

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х вслева:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, поэтому

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в,

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в,

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в. Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Видео:Обратная матрица 2x2Скачать

Обратная матрица 2x2

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Пример 2. Решить матричное уравнение

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Пример 3. Решить матричное уравнение

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим матрицу, обратную матрице A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим неизвестную матрицу:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Составим матрицу алгебраических дополнений:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим неизвестную матрицу:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Пример 5. Решить матричное уравнение

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Составим матрицу алгебраических дополнений:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим матрицу, обратную матрице A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим неизвестную матрицу:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Пример 6. Решить матричное уравнение

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим матрицу, обратную матрице A :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Находим матрицу, обратную матрице B :

А и в квадратные матрицы второго порядка а невырожденная решение х уравнения а х в.

Видео:§29 Решение матричного уравненияСкачать

§29 Решение матричного уравнения

Матричный калькулятор онлайн

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Найти обратную матрицу к матрице второго порядкаСкачать

Найти обратную матрицу к матрице второго порядка

Инструкция матричного онлайн калькулятора

С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить, вычитать, умножить, транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень , умножить матрицу на число , сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы, проводить исключение Гаусса, решить матричное уравнение AX=B, сделать LU разложение матрицы, вычислить ядро (нуль пространство) матрицы, сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта.

Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a/b, где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.

Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы , очищать содержимое ячеек ) и т.д.

При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.

Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .

Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.

Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.

Видео:Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравненийСкачать

Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравнений

Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.

Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:

  1. Введите размерности матриц и .
  2. Введите элементы матриц.
  3. Нажмите на кнопку «A+B «,»A-B» или «A×B».

Видео:Матричное уравнениеСкачать

Матричное уравнение

Вычисление обратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления обратной матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы .
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «обратное «.

Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Вычисление определителя матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Для вычисления определителя матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы .
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «определитель «.

Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.

Видео:Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать

Лекция 8. Решение матричных уравнений

Вычисление ранга матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.

Для вычисления ранга матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы .
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «ранг «.

Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Вычисление псевдообратной матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.

Для вычисления псевдообратной матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «псевдообратное «.

Видео:2 13 Решение матричного уравнения AXB=CСкачать

2 13 Решение матричного уравнения AXB=C

Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн

Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.

Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «полный ранг строк » или «полный ранг столбцов».

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Скелетное разложение матрицы онлайн

Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Введите размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «скелетное разложение «.

Видео:Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн

Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.

Для решения матричного уравнения:

  1. Введите размерности матриц и .
  2. Введите элементы матриц.
  3. Нажмите на кнопку «решение AX=B».

Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк .

Видео:Миноры и алгебраические дополненияСкачать

Миноры и алгебраические дополнения

Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн

Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.

Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «Треугольный вид».

Видео:Обратная матрица. Решение матричных уравненийСкачать

Обратная матрица. Решение матричных уравнений

LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн

Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU), где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение , при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «LU-разложение».

Видео:8 класс. Квадратные уравнения. x2=aСкачать

8 класс. Квадратные уравнения. x2=a

Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн

С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.

Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «ядро (·)».

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн

С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.

Для ортогонализации или ортонормализации матрицы:

  1. Выберите матрицу или с помощью радиокнопки .
  2. Задайте размерность матрицы.
  3. Введите элементы матрицы.
  4. Нажмите на кнопку «Ортогонализация Г.-Ш. (·)» или «Ортонормализация Г.-Ш. (·)».

🎦 Видео

Матричные уравненияСкачать

Матричные уравнения

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"
Поделиться или сохранить к себе: