8 расчет показателей надежности на основе системы уравнений колмогорова

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ: ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Метод основан на использовании математического аппарата марковских процессов (вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в будущем не зависит от прошлых состояний системы).

Обозначим Х как множество состояний системы:
,
где xi – i-е состояние, I – множество индексов всех возможных состояний системы, n – количество возможных состояний системы.

Разобьем множество Х на два подмножества:

подмножество работоспособных состояний системы Хр;

подмножество неработоспособных состояний системы .
,

где Xр – подмножество работоспособных состояний системы, Iр – множество индексов работоспособных состояний системы.
,

где – подмножество неработоспособных состояний системы, J – множество индексов неработоспособных состояний системы.

Нахождение системы в том или ином состоянии обусловливает случайный процесс X(t) перехода системы в пространстве ее состояний. X(t) называют также траекторией системы.

Представим X(t) в виде вероятностного графа состояний G(X, W), где Х – множество вершин графа, соответствующих множеству состояний X; W – множество дуг, соединяющих вершины данного графа; P1(t), . Pi(t), . P6(t) – вероятности нахождения системы в i-м состоянии; d(wij) – вес дуги wij; aij – интенсивность перехода из состояния i в состояние j (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Пример вероятностного графа состояний G(X,W)
Топологический метод использует аппарат теории графов применительно к решению задач надежности. Рассмотрим методику решения задач методом, который позволяет непосредственно по графу состояний G(X, W) без составления и решения уравнений Колмогорова вычислять показатели надежности. Для этого введем некоторые определения.

Прямой путь lij из вершины хi в вершину хj – цепь последовательно соединенных однонаправленных дуг, где каждая вершина имеет входящую и одну выходящую дуги, за исключением начальной и конечной, имеющих по одной дуге (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Определение прямых путей на графе
Вес k-го прямого пути из вершины i в вершину j
,

где — множество дуг, которые составляют k-ый прямой путь.

Замкнутый контур r – прямой путь, на котором начальная и конечная вершины совпадают (рис. 2.8). Вес замкнутого контура r
,
где – множество дуг, входящих в замкнутый контур r.

Рис. 2.8. Примеры замкнутых контуров

Частным случаем замкнутого контура является петля (рис. 2.9), в которой входящая и выходящие дуги сливаются в одну.

Рис. 2.9. Петля
Вес петли при вершине определяется как отрицательная сумма весов дуг, исходящих из этой петли:

где Jn – множество индексов вершин, которые связаны с i-ой вершиной выходящими из нее дугами.

Соединение графа S – это частичный граф, который образуют только замкнутые контуры. Частичный граф представляет собой все вершины, некоторые дуги и петли исходного графа, которые составляют независимые замкнутые контуры (то есть контуры, не имеющие общих вершин). Один граф может располагать несколькими соединениями (рис. 2.10). При образовании соединений следует помнить, что каждая вершина графа G (X, W) имеет петлю.

Рис. 2.10. Пример образования соединения графа

Вес j-го соединения
,

где  – число независимых замкнутых контуров, образующих соединение, R(Sj) – множество независимых замкнутых контуров, образующих соединение.

Определитель графа
,
где S — множество всех возможных соединений графа.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ТОПОЛОГИЧЕСКОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА.

Теперь рассмотрим методику расчета показателей надежности топологическим методом в установившемся режиме, где топологические коэффициенты Сi для каждой xi вершины графа определяются непосредственно по графу, а затем вычисляется нужный показатель по ниже приведенным топологическим формулам.

Для определения коэффициента Сi необходимо:

– выбрать начальную вершину графа xq отдельно для определения каждого из коэффициентов Сi ( ); начальная вершина может быть выбрана произвольно, однако выбор влияет на объем вычислений, поэтому ее надо выбирать так, чтобы были длинные прямые пути;

– построить множество К прямых путей из начальной вершины xq в вершину xi, для которой определяется коэффициент;

– для каждого k-го прямого пути построить множество замкнутых контуров подграфа G и образовать возможные комбинации независимых замкнутых контуров (множество соединений S), где G – подграф графа G, образованный удалением множества вершин, входящих в k-й путь и прилегающих к нему дуг;

– записать коэффициенты Ci по найденным составляющим по формуле

гдe К – множество прямых путей из произвольно выбранной вершины хq в хi; Хк — множество вершин, входящих в k-ый прямой путь.

Используя топологические коэффициенты, основные показатели надежности установившегося режима можно записать:

– вероятность нахождения системы в i-м состоянии

,

где n – число вершин графа;

,

где Ip – множество индексов работоспособных состояний системы;

,

где J – множество индексов неработоспособных состояний системы;

– среднюю наработку на отказ

,

где – подмножество индексов граничных состояний из Xр, из которых в неработоспособное состояние можно попасть за один переход;

– среднее время восстановления

,

где J+ – подмножество индексов граничных состояний из , из которых в работоспособное состояние можно попасть за один переход.

Основные положения топологического метода могут быть применены для определения показателей надежности неустановившегося режима с использованием преобразований Лапласа.
Пример решения задачи

Имеется ИС, которая состоит из 2-х серверов. При работоспособности одного из серверов система работоспособна, так как каждый сервер может выполнять все функции.

Рис. 2.11. Вероятностный граф состояний

Для обслуживания серверов существует одна бригада, ремонтирующая одновременно только один сервер, который отказал первым.

Необходимо определить топологическим методом показатели надежности.
Решение

Работоспособные состояния: x1 – оба сервера в работоспособном состоянии; x2 – отказ 1-го сервера и его восстановление, 2-й в работоспособном состоянии; x3 – отказ 2-го сервера и его восстановление, 1-й в работоспособном состоянии.

Неработоспособные состояния: x4 – при восстанавливающемся 1‑м сервере, отказал и 2-й; x5 – при восстанавливающемся 2-м сервере, отказал 1-й сервер (рис. 2.11).

Вычисляем топологические коэффициенты. Для нахождения коэффициента C1 в качестве начальной выбираем вершину x5.
С1=52244331 + 5221(-1)=2d(w33)d(w44) = 5221[-(35+31)]

(-43) + 52244331 = m2m12(1+m2) + m222m1 =

= m2m1(m11 + m1m2 +m22).
Для нахождения коэффициента C2 в качестве начальной выбираем вершину x4.

m11m2(1 + 2 ) + m1m221 = m1m2(21+ 12+ 1 m2),
С3= m1m2(22+ 12+ 2 m1),
С4= 12m2(1+ m2 + 2),
С5= 12m1(2+ m1 + 1).
Теперь можно определить искомые показатели надежности.
,
,
,
,
.

1. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НА ОСНОВЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА.

Для расчета характеристик надежности восстанавливаемых систем вычислительной техники пользуются формулами, полученными на основе использования непрерывных Марковских цепей дискретных систем и дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова.

Для исследования Марковских цепей рассматривают возможные состояния системы и изменения состояний с помощью графов состояний. Восстанавливаемая система в общем случае имеет три состояния: G — исправное, G — неисправное, но работоспособное, G — неработоспособное (рис. 4).

Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими (* ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона ), то случайный процесс есть марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.

Вывод дифференциальных уравнений выполнен из рассмотрения смены состояний системы. Пусть система в момент времени t находится в состоянии G . Рассмотрим элементарный промежуток времени, примыкающий к моменту времени t. Назовем плотностью вероятности перехода из состояния G в состояние G (или интенсивностью перехода) предел отношения вероятности перехода p (∆t) к длине промежутка ∆t. Запись этого отношения имеет вид

1. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ (ОБЕСПЕЧЕНИЯ) НАДЕЖНОСТИ

Все системы подразделяются на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Невосстанавливаемые системы эксплуатируются до первого отказа. У восстанавливаемых систем может быть поток отказов. Кроме того, системы делятся на ремонтируемые и неремонтируемые. Это технические термины, говорящие о возможности ремонта системы. Так как ремонт может быть дорогой или в условиях эксплуатации не возможным, то система может быть ремонтируемой, но относится к классу невосстанавливаемых.

Понятия восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем применяются для расчетов их надежности.

В связи с различными этапами жизненного цикла возникают специфические задачи обеспечения надежности ИС и используются соответствующие методы оценки надежности:

1. Этап проектирования. Схемно-конструктивные методы повышения надежности:

• Выбор и обоснование показателя эффективности ИС и определение его взаимосвязи с показателем надежности;
• Нормирование надежности. Определение оптимального уровня показателя надежности системы, которой она должна обладать во время эксплуатации системы;
• Расчет показателя надежности всей системы, если известны показатели надежности всех элементов;
• Решение задачи оптимального резервирования (дублирования отдельных элементов).

1. Этап изготовления. Производственныеметоды повышения надежности:

• Автоматизация технологических процессов;
• Методы статистического регулирования надежности;
• Тренировка элементов и систем (испытание сложной системы в течение небольшого промежутка времени с тем, чтобы выявить производственные дефекты).

1. Этап эксплуатации. Эксплуатационныеметоды повышения надежности:
   • Использование диагностических систем, которые выявляют скрытые дефекты;
   • Прогнозирование отказов системы.

Применение гибкой системы технического обслуживания и ремонта (ремонт производится в зависимости от состояния системы).

1. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ. ВИДЫ И МЕТОДЫ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ.

Резервирование — способ повышения надежности системы путем включения в состав системы резерва предусмотренного на стадии проектирования этой системы или во время эксплуатации. Представлена несколькими методами и видами резервирования и возможными их комбинациями.

Ниже показана схема возможных методов и видов резервирования и возможных их комбинаций:

Рис. 4.1. Методы и виды резервирования.

Резервирование замещением : при отказе элемента система перестраивается и в замен отказавшего подключается элемент из числа резервных.

Автоматическое: при отказе основного элемента автоматически подключается резервный.

Постоянное : резервные и основные элементы находятся в одинаковых условиях и параллельно выполняют заданные функции.

Общее: резервируется вся система в целом.

Раздельное : резервируются отдельные участки системы.

Скользящее: один резервный элемент предназначен для резервирования некоторого множества основных элементов такого же типа. При отказе он заменяется.

Нагруженное: резервные элементы системы находятся во включенном состоянии, работают параллельно с основными элементами и практически одинаково расходуют свой ресурс работы.

Ненагруженное : резервные элементы находятся в выключенном состоянии и практически не расходуют свой ресурс работы.

Облегченное: резервные элементы находятся во включенном состоянии однако расходуют свой ресурс намного меньше чем при подключении их на место основных.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ СТРУКТУРНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ.

В основе метода лежит формализация деятельности человека-оператора в процессе решения в виде последовательной структуры. Структура – специальная логическая цепь, отображающая процесс функционирования системы человек-техника с количественными характеристиками единиц деятельности. Каждое звено имеет свои показатели надежности, которые потом используются в расчете надежности всей системы.

Деятельность человека последовательно представляется состоящей из 1) операционных, 2) функциональных и 3) программных единиц.

Низший уровень рассмотрения деятельности человека-оператора – уровень операционных единиц.

Операционная единица – отдельный психофизиологический акт – является наименьшей единицей, до которой расчленяется деятельность человека-оператора, например, поворот ключа, нажатие кнопки и т. д.

Функциональная единица – группа операционных единиц, объединенных в структуре деятельности человека, в технологическом или смысловом отношении. Это специальные функциональные операции (блоки операций), подразделяемые на основные и вспомогательные функциональные единицы.

Основные единицы – единицы (блоки), в результате деятельности которых происходит достижение цели. К ним относят рабочий блок, блок задержки, блок принятия решений.

Вспомогательные блоки вводятся в структуру деятельности для увеличения безошибочности выполнения операций. При идеальной работе человека-оператора они не нужны (блок контроля ошибок, блок диагностического контроля).

Программная единица – совокупность функциональных единиц, объединенных в законченные блоки (программы), например, пуск насоса, подача топлива и т. д.

Видео:Тургенбаев Д.Н. - 40.ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗДЕЛЬНОМ РЕЗЕРВИРОВАНИИСкачать

Уравнения Колмогорова.
Предельные вероятности состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния в происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ; так, переход системы из состояния в будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния: .

Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей всех состояний равна единице:

Рассмотрим систему в момент и, задав малый промежуток , найдем вероятность того, что система в момент будет находиться в состоянии . Это достигается разными способами.

1. Система в момент с вероятностью находилась в состоянии , а за время не вышла из него.

Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной . А вероятность того, что система не выйдет из состояния , равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии и не выйдет из него за время ), равна по теореме умножения вероятностей:

2. Система в момент с вероятностями (или ) находилась в состоянии или и за время перешла в состояние .

Потоком интенсивностью (или — с- рис. 1) система перейдет в состояние с вероятностью, приближенно равной (или ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по этому способу, равна (или ).

Применяя теорему сложения вероятностей, получим

Переходя к пределу при (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты ):

Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.

Рассуждая аналогично для других состояний системы , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).

В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).

Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент . Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии , т.е. при начальных условиях .

Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени . Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме , т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии . Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии .

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:

Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом , согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 2. Найти предельные вероятности для системы из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при

Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или

(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)).

Решив систему (11), получим , т.е. в предельном, стационарном режиме система в среднем 40% времени будет находиться в состоянии (оба узла исправны), 20% — в состоянии (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии (оба узла ремонтируются)

Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную , а второй узел — . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную , а второй узел — . Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен

Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:

Решив систему, получим .

Учитывая, что , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:

Так как больше (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.

Видео:Оценка параметров надежностиСкачать

Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения . Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.

Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние .

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .

По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).

В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния

для состояния имеем , которое с учетом (12) приводится к виду

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

к которой добавляется нормировочное условие

При анализе численности популяций считают, что состояние соответствует численности популяции, равной , и переход системы из состояния в состояние происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние — при гибели одного члена популяции.

Решая систему (14), (15), можно получить

Легко заметить, что в формулах (17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния .

Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.

🔥 Видео

Расчеты по уравнениям химических реакций. 1 часть. 8 класс.Скачать

Практическая работа №2 "Частота отказов. Интенсивность отказов. Средняя наработка на отказ"Скачать

Цепи МарковаСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Определение коэффициентов надежности и надежности согласованияСкачать

Решение задач на термохимические уравнения. 8 класс.Скачать

Анализ методов оценки надежности оборудования и системСкачать

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.Скачать

Очень сложное уравнение с модулем. Алгебра 7 класс.Скачать

Что такое надежностьСкачать

✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис ТрушинСкачать

Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Расчёт количества теплоты. Видеоурок по физике 8 классСкачать

Задание 8 | ЕГЭ математика профиль 2021 | Текстовые задачи. ДемоверсияСкачать