67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Содержание
  1. 5.6.2 Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы
  2. Система координат в пространстве — определение с примерами решения
  3. Система координат в пространстве
  4. Декартова система координат в пространстве
  5. Расстояние между двумя точками
  6. Уравнение сферы и шара
  7. Координаты середины отрезка
  8. Векторы в пространстве и действия над ними
  9. Векторы в пространстве
  10. Действия над векторами в пространстве
  11. Свойства суммы векторов
  12. Правило треугольника сложения векторов
  13. Правило параллелограмма сложения векторов
  14. Правило многоугольника сложения векторов
  15. Коллинеарные и компланарные векторы
  16. Скалярное произведение векторов
  17. Свойства скалярного произведения векторов
  18. Преобразование и подобие в пространстве
  19. Геометрические преобразования в пространстве
  20. Движение и параллельный перенос
  21. Центральная симметрия в пространстве
  22. Симметрия относительно плоскости
  23. Поворот и симметрия относительно оси
  24. Симметрия в природе и технике
  25. Подобие пространственных фигур
  26. Уравнения сферы, плоскости и прямой презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)
  27. Скачать:
  28. Предварительный просмотр:
  29. Подписи к слайдам:
  30. По теме: методические разработки, презентации и конспекты
  31. 🎦 Видео

Видео:Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскости

5.6.2 Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Видеоурок: Формула расстояния между двумя точками

Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойРасстояние между двумя точками

Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х2 – х1.

Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:

АВ = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2 ) 1/2 ≈ 10,6.

То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.

Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойУравнение сферы

Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.

Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой:

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Видео:Длина отрезкаСкачать

Длина отрезка

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оzосями координат, Охось абсцисс, Оуось ординат и Оzось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охzкоординатными плоскостями.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Поэтому 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойрасстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Ответ: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Координаты середины отрезка

Пусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Тогда по теореме Фалеса точка Сz — середина отрезка АzВz.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Координаты середины отрезка NL:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойили 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойили кратко 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(или 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойили 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойс началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойбудет иметь те же координаты: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойзаписывают

так67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Длина вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, заданного координатами,

вычисляется по формуле 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойравны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Следовательно, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Докажите самостоятельно, что 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(b1; b2; b3); называют вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(рис. 20).

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, а груз относительно крана вдоль вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. В результате груз движется вдоль вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойимеют место следующие свойства:

a) 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой— переместительный закон сложения векторов;

b) 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой​​​​​​= (67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойa1; 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойa2; 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойa3) — называют умножением вектора

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(a1; a2; a3) на число 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи чисел 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

а)67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой;

b)67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой;

c) 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи направление вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

совпадает с направлением вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой,

противоположно направлению вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Если векторы

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойсонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойимеет место равенство 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то они коллинеарны и наоборот.

Если 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то векторы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойсонаправлены 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то

противоположно направлены 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Свойство 2. Если векторы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(a1; a2; a3) и 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(х — 1 ;у — 1; — 1) и 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Откуда находим 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Итак,67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Векторы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(1; 0; 0), 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(0; 1; 0) и 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойможно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(рис. 29).

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то любой вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойможно единственным образом представить в виде:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Здесь 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойнекоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойназывают угол между направленными отрезками векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой= 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой=67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойобозначают так 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Скалярным произведением векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойназывают произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойили 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. По определению 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойравно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, под воздействием силы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(рис. 31), равна скалярному произведению силы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойна расстояние67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Свойство. Если 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(b1; b2; b3), то (67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой) = 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Доказательство. Приложим векторы 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойк началу

координат О (рис.32). Тогда 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой= 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой= (b1; b2; b3).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Тогда 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Однако, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой,67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

и 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Следовательно,67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, также выполняется

это равенство. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Свойства скалярного произведения векторов

1. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой— переместительное свойство.

2. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой— распределительное свойство.

3. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, так как cos l80° = -1.

6. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

7. Если вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойперпендикулярен вектору 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Следствия: а) Длина вектора 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой; (1) b) косинус угла между векторами

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой; (2)

с) условие перпендикулярности векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(3)

Пример:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Решение:

Найдём длины векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой,

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой,

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

Найдите угол между векторами 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Решение:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойИтак, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

Найдите 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи угол между векторами67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойравен 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Решение:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой; 2)67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойпо координатам:

1)67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Следовательно,67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Тогда67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

2)67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Следовательно, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Тогда 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

Найдите произведение67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если угол между векторами 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойравен 30° и 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Учитывая, что 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой,

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойнайдём искомое произведение

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пусть в пространстве даны вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, если выполняется условие 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойпри помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойфигуры F перешла в точку 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Тогда по определению получим:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойили

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Ответ: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то есть точка О — середина отрезка АА1 то точки А и А1 называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА1. Следовательно,

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Из этих уравнений получаем:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой.

Ответ: 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойотносительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойотносительно прямой l, то получим новую фигуру F1 . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F1 с помощью поворота на угол 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойотносительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Симметрия в природе и технике

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойи преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойкоэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойявляется преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойпри 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой= 1 отображает фигуру F в себя, а при 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой=-1 в фигуру F1 симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число 67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямойраз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Иррациональные числа
  • Действительные числа
  • Решение уравнений высших степеней
  • Системы неравенств
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Расстояние между двумя точками | МатематикаСкачать

Расстояние между двумя точками | Математика

Уравнения сферы, плоскости и прямой
презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)

Уравнения сферы, плоскости и прямой

Видео:Геометрия. 10 класс. Расстояние между точками /16.02.2021/Скачать

Геометрия. 10 класс. Расстояние между точками /16.02.2021/

Скачать:

ВложениеРазмер
uravneniya_sfery_ploskosti_i_pryamoy.ppt1.87 МБ

Предварительный просмотр:

Видео:11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать

11 класс, 20 урок, Уравнение сферы

Подписи к слайдам:

Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат СФЕРА УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ

Тело вращения — сфера

Определение сферы Элементы сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. т.О — центр сферы ОА – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы. ВС – диаметр сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы d=2r

? Какие из тел, изображенных на рисунках, являются сферой? 1 2 3 4 5 6

На плоскости В пространстве L М(х;у) х у L Сформулируйте определение линии L на плоскости Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии Уравнение с тремя переменными х,у, z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности Х z Сформулируйте определение уравнения поверхности в пространстве Х у М(х;у; z ) •

На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у; z ) С

Частные случаи 1.Уравнение окружности с центром в т.О(0;0) и радиусом r 1.Уравнение сферы с центром в т.О(0;0;0) и радиусом R

Выбрать из предложенных уравнений – уравнение сферы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1.Ур-е окружности 2.Ур-е сферы 3.Ур-е прямой 4.Ур-е сферы 5.Ур-е параболы 6.Ур-е сферы 7.Ур-е сферы 8. ?

В данных уравнениях определите координаты центра сферы и радиус 1. 2. 3. 4.

Составьте уравнение сферы по следующим данным центра и радиуса сферы: Дано: С(-2;8;1); R =11 Дано: А(3;-2;0); R =0,7 Дано: О(0;0;0); R =1 Проверяем ответы:

Задача Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением если: а) т.А(5;-2;6) б) т.А(-5;2;6) Решение: Равенство верное , следовательно А(5;-2;6) принадлежит сфере Равенство неверное , следовательно А(5;-2;6) не принадлежит сфере

Уравнение плоскости и прямой

совпадают, если существует такое число k , что параллельны, если существует такое число k , что В остальных случаях плоскости пересекаются.

Если известна какая-нибудь точка плоскости M 0 и какой-нибудь вектор нормали к ней , то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид: n (A;B;C) M 0

Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M( x ; y ; z ) . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Используем формулу A ( x — x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.

Уравнение прямой в пространстве Прямую, проходящую через точку A 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) с направляющим вектором ( a , b , c ) можно задавать параметрическими уравнениями В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), то, выбирая в качестве направляющего векто­ра вектор ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и в качестве точки А 0 точку А 1 , получим следующие уравнения

Упражнение 1 Какими уравнениями задаются координатные прямые? Ответ: Ось Ox Ось O y Ось O z

Упражнение 2 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А (1,-2,3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2,3,-1). Ответ:

Упражнение 3 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А 1 (-2,1,-3), А 2 (5,4,6). Ответ:

Упражнение 4 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1,2,-3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0. Ответ:

Упражнение 5 В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые? Ответ: Если выполняется равенство a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 .

Видео:РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ 10 и 11 классСкачать

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ 10 и 11 класс

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Практическая работа «Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью»

Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и.

67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Тест по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых в пространстве» (геометрия 10 класс)

Данный тест можно предложить учащимся как входной перед изучением темы «Многогранники».

Параллельность прямых и плоскостей. Параллельные прямые в пространстве

Урок-презентация по геометрии 10 класс.

Тесты по теме «Прямые в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости», «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости»

Тесты предназначены для проверки усвоенияследующих понятий и определений: взаимное расположение прямых в пространстве, определение скрещивающихся прямых, определение параллельных прямых, признак парал.

Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве

Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространств.

Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости

Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости&quot.

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

🎦 Видео

Расстояние между двумя точками с заданными координатамиСкачать

Расстояние между двумя точками с заданными координатами

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулы

Формула расстояния между двумя точкамиСкачать

Формула расстояния между двумя точками

11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскостиСкачать

11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскости

Геометрия 8 класс расстояние между двумя точкамиСкачать

Геометрия 8 класс расстояние между двумя точками

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

Составляем уравнение прямой по точкам

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Расстояние от точки до прямой (метод координат)Скачать

Расстояние от точки до прямой (метод координат)

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Прямоугольная система координат Расстояние между двумя точками Уравнение линии углового коэффициенСкачать

Прямоугольная система координат  Расстояние между двумя точками  Уравнение линии углового коэффициен

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Нахождение точки, симметричной данной относительно плоскости в пространствеСкачать

Нахождение точки, симметричной данной относительно плоскости в пространстве

Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать

Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферы
Поделиться или сохранить к себе: