67 формула расстояния между двумя точками уравнения сферы плоскости и прямой

Видеоурок: Формула расстояния между двумя точками

Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Расстояние между двумя точками

Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х₂ – х_1.

Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:

Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:

АВ = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2 ) 1/2 ≈ 10,6.

То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.

Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:

Уравнение сферы

Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:

Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.

Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой:

Видео:Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать

Система координат в пространстве — определение с примерами решения

Содержание:

Видео:Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями.

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А.

Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4).

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОА_х = 2 и ОА_у = 3 (рис. 4).

Через точку А_х проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A₁ . Через точку A₁ проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА₁ = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой.

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

Расстояние между двумя точками

1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках А_z и В_z .

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую АА_z в некоторой точке С.

По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 .

Однако

Поэтому

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид:

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .

Ответ:

Координаты середины отрезка

Пусть А (x₁; y₁;z₁) и В (х₂; у₂; z₂) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8).

Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках и . Тогда по теореме Фалеса точка С_z — середина отрезка А_zВ_z.

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

Координаты середины отрезка NL:

Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм.

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина».

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат.

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

Координатами вектора с началом в точке А (х₁; у₁; z₁) и концом в точке В (х₁; у₁; z₁) называют числа , (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как или или кратко (рис. 18).

Вектор можно записать и без координат (или ). В этой записи

на первом месте начало вектора, а на втором — конец.

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или , направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а₁,

координатами вектора : (а₁; а₂; а₃).

Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с₁; с₂; с₃) и концом в точке будет иметь те же координаты: .

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают

так. Длина вектора , заданного координатами,

вычисляется по формуле .

Пример:

Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов и равны между собой?

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

Следовательно, .

Докажите самостоятельно, что

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов и (b₁; b₂; b₃); называют вектор (рис. 20).

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора . В результате груз движется вдоль вектора . Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов , и имеют место следующие свойства:

a) — переместительный закон сложения векторов;

b) — распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21):

Правило параллелограмма сложения векторов

Если АВСD — параллелограмм (рис. 22), то

Правило многоугольника сложения векторов

Если точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА₁В₁С₁D₁ параллелепипед (рис. 24), то

.

Вектор ​​​​​​= (a1; a₂; a₃) — называют умножением вектора

(a₁; a₂; a₃) на число (рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов и и чисел и

а);

b);

c) и направление вектора

совпадает с направлением вектора , если ,

противоположно направлению вектора , если .

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы и . Если векторы

и сонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов и имеет место равенство , то они коллинеарны и наоборот.

Если , то векторы и сонаправлены , если, то

противоположно направлены .

Свойство 2. Если векторы (a₁; a₂; a₃) и (b₁; b₂; b₃) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

и наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).

Решение:

Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда (х — 1 ;у — 1; — 1).

По условию задачи векторы (х — 1 ;у — 1; — 1) и (1, 2, 3) коллинеарны. Следовательно, их координаты пропорциональны.

Тогда получаем следующие пропорции .

Откуда находим , .

Итак,

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).

Векторы (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде (рис. 29).

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и , то любой вектор можно единственным образом представить в виде:

.

Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами и называют угол между направленными отрезками векторов = и =, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами и обозначают так .

Скалярным произведением векторов и называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают или . По определению (1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы (рис. 31), равна скалярному произведению силы на расстояние:

Свойство. Если и (b₁; b₂; b₃), то () =

Доказательство. Приложим векторы и к началу

координат О (рис.32). Тогда = и = (b₁; b₂; b₃).

Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов.

Тогда .

Однако, ,

и .

Следовательно,

.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется

это равенство.

Свойства скалярного произведения векторов

1. — переместительное свойство.

2. — распределительное свойство.

3. — сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то , так как соs 0° = 1.

5.Если же векторы противоположно направлены, то , так как cos l80° = -1.

6. .

7. Если вектор перпендикулярен вектору , то . Следствия: а) Длина вектора ; (1) b) косинус угла между векторами

: ; (2)

с) условие перпендикулярности векторов и

.

(3)

Пример:

— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами .

Решение:

Найдём длины векторов :

,

.

,

.

Пример:

Найдите угол между векторами .

Решение:

Итак,

Пример:

Найдите , если , и угол между векторамии равен .

Решение:

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1); 2), если .

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и по координатам:

1)

. Следовательно,.

Тогда.

2)

.

Следовательно, .

Тогда

Пример:

Найдите произведение, если угол между векторами и равен 30° и , .

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов и :

.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

.

Учитывая, что ,

найдём искомое произведение

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F_1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

Преобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр.

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X₁ параллельным

переносом на вектор , если выполняется условие . Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F₁. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F₁ . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость,

Пусть точка фигуры F перешла в точку

фигуры F₁ при помощи параллельного переноса

на вектор .

Тогда по определению получим:

или

.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .

Ответ: .

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве , то есть точка О — середина отрезка АА₁ то точки А и А₁ называют симметричными относительно точки О.

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

Пусть А₁ = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка

О — середина отрезка АА₁. Следовательно,

Из этих уравнений получаем:

.

Ответ:

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А₁ называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F₁, и F₂ на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением.

Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость.

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА₁ и СС₁.

Поворот и симметрия относительно оси

Пусть в пространстве заданы точки А и А₁ и прямая l. Если перпендикуляры АК и А₁К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А₁ в результате поворота на угол относительно прямой l (рис. 55).

Если каждую точку фигуры F повернуть на угол относительно прямой l, то получим новую фигуру F₁ . Тогда говорят, что фигура F перешла в фигуру F₁ с помощью поворота на угол относительно прямой l. На рисунке 56 мы видим фигуры, полученные таким поворотом. Например, повернув куб, изображённый на рисунке 57, на 180° относительно прямой l, получим новый куб.

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

Симметрия в природе и технике

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть и преобразование переводят фигуру F₁, в фигуру F₂. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X₁ и Х₂ фигуры F₁ и соответствующих им точек Y₁ и Y₂ фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х₁ удовлетворяющую условию , называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом (рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F₁ то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F₁.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Гомотетия относительно точки О с коэффициентом является преобразованием подобия. Гомотетия с отличным от нуля коэффициентом при = 1 отображает фигуру F в себя, а при =-1 в фигуру F₁ симметричную фигуре F относительно точки О. В остальных случаях гомотетии не сохраняет расстояния между точками, т. е. не является движением. В результате гомотетии расстояние между точками увеличивается в одно и тоже число раз, т. е. меняются измерения фигуры, но сохраняется её форма. При гомотетии а) прямая отображается в параллельную ей прямую (рис. 62.а); b) плоскость — в параллельную ей плоскость (рис. 62.b), если они не проходят через центр гомотетии.

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

• Иррациональные числа
• Действительные числа
• Решение уравнений высших степеней
• Системы неравенств
• Уравнения и неравенства
• Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
• Уравнение
• Метод математической индукции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Длина отрезкаСкачать

Уравнения сферы, плоскости и прямой
презентация к уроку по геометрии (10, 11 класс)

Уравнения сферы, плоскости и прямой

Видео:11 класс, 20 урок, Уравнение сферыСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Геометрия. 10 класс. Расстояние между точками /16.02.2021/Скачать

Подписи к слайдам:

Понятие сферы и её элементов Уравнение сферы в заданной системе координат СФЕРА УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ

Тело вращения — сфера

Определение сферы Элементы сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. т.О — центр сферы ОА – радиус сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы называется радиусом сферы. ВС – диаметр сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы d=2r

? Какие из тел, изображенных на рисунках, являются сферой? 1 2 3 4 5 6

На плоскости В пространстве L М(х;у) х у L Сформулируйте определение линии L на плоскости Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии Уравнение с тремя переменными х,у, z называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности Х z Сформулируйте определение уравнения поверхности в пространстве Х у М(х;у; z ) •

На плоскости В пространстве М(х;у) х у х у z (х;у; z ) С

Частные случаи 1.Уравнение окружности с центром в т.О(0;0) и радиусом r 1.Уравнение сферы с центром в т.О(0;0;0) и радиусом R

Выбрать из предложенных уравнений – уравнение сферы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1.Ур-е окружности 2.Ур-е сферы 3.Ур-е прямой 4.Ур-е сферы 5.Ур-е параболы 6.Ур-е сферы 7.Ур-е сферы 8. ?

В данных уравнениях определите координаты центра сферы и радиус 1. 2. 3. 4.

Составьте уравнение сферы по следующим данным центра и радиуса сферы: Дано: С(-2;8;1); R =11 Дано: А(3;-2;0); R =0,7 Дано: О(0;0;0); R =1 Проверяем ответы:

Задача Определить принадлежит ли т.А сфере, заданной уравнением если: а) т.А(5;-2;6) б) т.А(-5;2;6) Решение: Равенство верное , следовательно А(5;-2;6) принадлежит сфере Равенство неверное , следовательно А(5;-2;6) не принадлежит сфере

Уравнение плоскости и прямой

совпадают, если существует такое число k , что параллельны, если существует такое число k , что В остальных случаях плоскости пересекаются.

Если известна какая-нибудь точка плоскости M 0 и какой-нибудь вектор нормали к ней , то через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение плоскости будет иметь вид: n (A;B;C) M 0

Чтобы получить уравнение плоскости , имеющее приведённый вид, возьмём на плоскости произвольную точку M( x ; y ; z ) . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис), а для этого, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле : Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Используем формулу A ( x — x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение прямой в пространстве Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.

Уравнение прямой в пространстве Прямую, проходящую через точку A 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) с направляющим вектором ( a , b , c ) можно задавать параметрическими уравнениями В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), A 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ), то, выбирая в качестве направляющего векто­ра вектор ( x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , z 2 — z 1 ) и в качестве точки А 0 точку А 1 , получим следующие уравнения

Упражнение 1 Какими уравнениями задаются координатные прямые? Ответ: Ось Ox Ось O y Ось O z

Упражнение 2 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А (1,-2,3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2,3,-1). Ответ:

Упражнение 3 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А 1 (-2,1,-3), А 2 (5,4,6). Ответ:

Упражнение 4 Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1,2,-3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0. Ответ:

Упражнение 5 В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые? Ответ: Если выполняется равенство a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 .

Видео:РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ 10 и 11 классСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Практическая работа «Построение углов между плоскостями, между прямой и плоскостью»

Практическая работа по геометрии ,10 класс. Хотя данную работу можно провести при подготовке к ЕГЭ по математике, при решении задач типа С2. Работа содержит 8 заданий на построение угла между прямой и.

Тест по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых в пространстве» (геометрия 10 класс)

Данный тест можно предложить учащимся как входной перед изучением темы «Многогранники».

Параллельность прямых и плоскостей. Параллельные прямые в пространстве

Урок-презентация по геометрии 10 класс.

Тесты по теме «Прямые в пространстве. Параллельность прямых, прямой и плоскости», «Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости»

Тесты предназначены для проверки усвоенияследующих понятий и определений: взаимное расположение прямых в пространстве, определение скрещивающихся прямых, определение параллельных прямых, признак парал.

Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве

Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространств.

Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости

Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости&quot.

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

💥 Видео

Расстояние между двумя точками | МатематикаСкачать

Расстояние между двумя точками с заданными координатамиСкачать

Формула расстояния между двумя точкамиСкачать

Составляем уравнение прямой по точкамСкачать

11 класс, 21 урок, Взаимное расположение сферы и плоскостиСкачать

Геометрия 8 класс расстояние между двумя точкамиСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до прямой (метод координат)Скачать

Прямоугольная система координат Расстояние между двумя точками Уравнение линии углового коэффициенСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Уравнение окружности (1)Скачать

Геометрия 11 класс: Сфера и шар. Уравнение сферы. Площадь сферыСкачать

Нахождение точки, симметричной данной относительно плоскости в пространствеСкачать