4 параграф уравнения и неравенства линейные и квадратные уравнения (8 видео)

Содержание

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
Линейные уравнения
Квадратные уравнения
Разложение квадратного трехчлена на множители
Дробно рациональные уравнения
Системы уравнений
Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Линейные, квадратные и простейшие кубические уравнения. Примеры
Линейные, квадратные, кубические уравнения
Линейные уравнения
Квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Дробно рациональные уравнения
📽️ Видео

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Линейные уравнения

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

3 x = 2

2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Видео:Как понять неравенства? Квадратные неравенства. Линейные и сложные неравенства | TutorOnlineСкачать

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

− x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

− x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

− x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА - Как решать линейные неравенства // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

Метод подстановки.
Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
Решить уравнение с одной неизвестной.
Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Видео:Алгебра 9. Урок 4 - Неравенства линейные - решение.Скачать

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Видео:Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Линейные, квадратные и простейшие кубические уравнения. Примеры

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). [f(x)=g(x) qquad qquad (1)] Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой (x) .

Замечание

Заметим, что (x) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида ((1)) будем называть множество значений переменной (x) , при которых определены (то есть не теряют смысла) функции (f(x)) и (g(x)) .

Пример

Уравнение (dfrac =5) определено при всех значениях переменной (x) , кроме (x=1) , потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения (xin (-infty;1)cup(1;+infty)) .

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение (x) , при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число (x=3) , потому как тогда уравнение принимает вид (dfrac=5) или, что то же самое, (5=5) , что является верным равенством.

Замечание

1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение (dfrac 1x=0) ни при каких значениях (x) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель (1ne 0) .

2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения (x=3) и (3x=6+x) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение (x=3) .

Эквивалентность уравнений обозначается так: (x=3 quad Leftrightarrow quad 3x=6+x) .

Свойства уравнений

1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение (x+4=2x^2) можно переписать в виде (x+4-2x^2=0) .

2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение (0,5x=-2) равносильно уравнению (x=-4) , которое получено из исходного путем умножения обеих частей на (2) .

3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение (x+2=5x^2) после прибавления к обеим частям (-2) примет вид (x=5x^2-2) .

[<Large<text>>] Линейное уравнение – это уравнение вида [ax + b = 0qquad qquad (2)] где (ane 0,b) – числа, или уравнение, к нему сводящееся.

ОДЗ линейного уравнения ((2)) — все (x inmathbb) .

Линейное уравнение (ax+b=0) преобразуется в (ax=-b) и всегда имеет единственное решение (x=-dfrac ba) .
Например, (2x-4=0) имеет корень (x=2) . Замечание: при переносе слагаемых из одной части равенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. Например, выражение (x-5=8) преобразуется в выражение (x=8+5) .
Знак, стоящий перед слагаемым – это и есть его знак, то есть в выражении (x-5) два слагаемых: (x) и (-5) . Если перед слагаемым не стоит никакого знака, то подразумевается, что перед ним стоит знак “ (+) ”.

[<Large<text>>] Квадратное уравнение – это уравнение вида [ax^2+bx+c=0 qquad qquad (3)] где (a, b, c) – числа, причем (ane 0) , или уравнение, к нему сводящееся.

Число (a) называется старшим (первым) коэффициентом, число (b) – вторым коэффициентом, число (c) – свободным членом.

Замечание

1) Заметим, что если (a=0) , то уравнение ((3)) становится линейным; именно поэтому в определении (ane 0) .

2) Выражение (ax^2+bx+c) называется квадратичным (квадратным) трехчленом.

ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене (7-x^2+2x) коэффициент (a=-1) , (b=2) и (c=7) ! Так как (7-x^2+2x=-x^2+2x+7) , а по определению (a) – коэффициент перед (x^2) , (b) – коэффициент перед (x) , (c) – свободный член.

Определение

Дискриминантом квадратного уравнения ((3)) называется выражение (D=b^2-4ac) .

Корни квадратного уравнения

1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ( (D>0) ), то оно имеет два различных корня [x_1=dfrac qquad text qquad x_2=dfrac]

2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю ( (D=0) ), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) [x=-dfrac b]

3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ( (D ), то оно не имеет корней.

Пример:
Решите уравнение [3x^2 — 33x + 90 = 0.]

Решение.
Найдём дискриминант данного уравнения: [D = 33^2 — 4cdot 3cdot 90 = 9] Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных [x_1=dfrac = 6 qquad text qquad x_2=dfrac = 5]

Теорема Виета

Пусть квадратное уравнение (ax^2 + bx + c = 0) , (aneq 0) , имеет два корня (x_1) и (x_2) (возможно, совпадающих), то есть (Dgeqslant 0) . Тогда их сумма равна [x_1+x_2=-dfrac] а их произведение равно [x_1cdot x_2=dfrac]

Доказательство

Определение

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент (a=1) .
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на (a) .

Следствие

Для приведенного квадратного уравнения (x^2+px+q=0) теорема Виета выглядит следующим образом: [x_1+x_2=-p, qquad qquad x_1cdot x_2=q]

Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена

Пусть уравнение (ax^2 + bx + c = 0) , (aneq 0) , имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть (Dgeqslant 0) . Тогда при любом значении (x) выполнено [ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2),] где (x_1) и (x_2) – корни уравнения (ax^2 + bx + c = 0) (возможно, совпадающие).

Доказательство

Сделаем преобразования: [begin &a(x-x_1)(x-x_2)=aleft(x — dfrac<-b + sqrt>right)left(x — dfrac<-b — sqrt>right) =aleft(x^2 — xleft(dfrac<-b + sqrt> + dfrac<-b — sqrt>right) + dfracright)=\[2ex] &=aleft(x^2-xcdot left(-dfrac baright)+dfracright) =a(x^2+dfrac ba x+dfrac ca)=ax^2+bx+c end]

Пример

Разложить на множители квадратный трехчлен (3x^2-2x-1) .

Решение.
Рассмотрим уравнение (3x^2-2x-1=0) и найдем его корни.
(D=(-2)^2-4cdot 3cdot (-1)=16) , значит

Таким образом, (3x^2-2x-1=3(x-1)(x+frac13)=(x-1)(3x+1)) .

[<Large<text>>] (bullet) Кубический корень из числа (a) – это такое число (b) , которое при возведении в куб равно (a) : [sqrt[3] a=bquad textquad a=b^3] (bullet) Таблица кубов чисел от 1 до 10: [begin hline 1^3=1 & quad6^3=216 \ 2^3=8 & quad7^3=343\ 3^3=27 & quad8^3=512\ 4^3=64 & quad9^3=729\ 5^3=125 & quad10^3=1000\ hline end] (bullet) Простейшие кубические уравнения – уравнения, сводящиеся к виду [x^3=a] Для любого числа (a) такие уравнения имеют единственный корень [x=sqrt[3]a] Пример:
1) решением уравнения (x^3=-8) является (x=sqrt[3]=-2) .
2) решением уравнения (x^3=64) является (x=4) .

Теория линейных и квадратных уравнений традиционно изучается школьниками Москвы и других городов в 8 классе. И хотя данная тема рассматривается в рамках образовательного курса достаточно подробно, и ей отводится немало времени, с заданиями из этого раздела выпускники не всегда справляются с легкостью. Именно поэтому, готовясь к сдаче ЕГЭ, учащимся непременно стоит освежить в памяти теорию и разобраться в решении задач с линейными и квадратными уравнениями.

Сделать это легко, оперативно и эффективно вам позволит образовательный портал «Школково». Всю необходимую теорию по теме «Квадратные и линейные уравнения» для подготовки к ЕГЭ вы можете найти в соответствующем разделе. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Изучив определения, формулы и основные свойства линейных и квадратных уравнений, учащиеся смогут не только вспомнить всею необходимую теорию, но и грамотно объяснить принцип решения задач ЕГЭ. Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Здесь вы можете найти как простые, так и более сложные задачи по данной теме. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Изучить теорию по теме «Линейные и квадратные уравнения» и попрактиковаться в выполнении упражнений можно в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.

Видео:Как решать линейные и квадратные уравненияСкачать

Линейные, квадратные, кубические уравнения

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) — 10х = 8$

$25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х — 10х = 8 — 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$

Видео:Итоговое повторение «2. Уравнения». Часть 5/5Скачать

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

$a$ — старший коэффициент;
$b$ — средний коэффициент;
$c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Вынесем х как общий множитель за скобки:

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

При решении последнего уравнения возможны два случая:

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

Извлечем кубический корень из обеих частей

Соберем известные слагаемые в правой части

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x · x + 1 · x — / = 0$

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = /$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = /$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.