4 каким образом можно найти коэффициенты эмпирического уравнения логарифмической функции

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:

Параметры уравнения регрессии:

S 2 (x) = 2 = — 3,633 2 = 0,098

S 2 (y) = 2 = — 39,06 2 = 145,1164

Формально критерий МНК можно записать так:

Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

100a + 363.31 b = 3906 363.31 a + 1329.68 b = 14437.69

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение: Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 25.3925, a = -53.1941 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 25.3925 ln(x) — 53.1941

Рис.2 Значение Y

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов в_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1]. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0,1 t_крит — нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=98 находим t_крит:

tкрит (n-m-1;б/2) = (98;0.025) = 1.984

где m = 1 — количество объясняющих переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

Доверительный интервал для коэффициента корреляции:

Логарифмическое уравнение регрессии

В общем случае уравнение логарифмической функции имеет вид у = aln(x) + b. Применение логарифмической функции в качестве уравнения регрессии возможно только в том случае, если в спектре значений аргумента х (диапазон ячеек А7:А18) отсутствуют нулевые и отрицательные значения.

Пусть исходная заданная функция у = /(х) имеет вид, показанный в таблице (рис. 4.5.1) в диапазоне ячеек А7:В18.

Построим точечный график функции Логарифмическая регрессия у = f(x).

В строке 21 создадим шапку таблицы, как показано нарис. 4.5.1.

В ячейку В26 запишем произвольную константу 1, а в ячейку С26 — произвольную константу 2.

В ячейку А26 запишем оператор присваивания для сцепленных символьных констант:

Нейти HOUityuuttf уровнем* рггркси бля fynxiaju, мдоямэй табгіляо

І/ІОТҐ^Л U ? 14 АА OU L-111U V L/Q 3 fl 3THD

ІУІеТОД НаИМеНЬШИХ КВаДраТОВ

• 5.67016295
• 5 83449844

• 7.758639135
• 8 355064306

• 5.726677404
• 5 846164529

• 3.609437912
• 3 791759469

>-0 16 Группировать

Из других Существующие

l3 Из текста источников ’ подключения

Получение внешни» данных

Я| Сортировка Фильтр ICKCIHV доїть д-»

* • V Дополнительно столбцам дубликаты ІП? Анализ ’что если

__________ Сортировка и фильтр

fje Консолидация Текст по Удалить

| Промежуточный итог Структура

нзйти м?дл)чц,ее урсв-еиие регистр Олв «но

vO Э2х*3-0 Пк»2-1.21х-0 53

V0 02x*3*0 Пх’2-1 21×4)68

Метод наименьших квадратов

Линейная регрессия ) ? VO16 • И уФ32к*1-197»-1.?0 —nowQWKi.nn»

УаЦж) ? у-0 02»*3«0.11x*2-1.21i-038 —Гюли

В появившемся окне выберем раздел Добавить линию тренда (рис. 4.5.6).

В о сста н о вить стил ь

ftjj Изменить тип диаграммы для ряда.

L0 Поворот объемной фигуры.

Добавить подписи данных Добавить линию тренда.

_2Ґ Формат ряда данных.

В появившемся окне Формат линии тренда выберем параметры Логарифмическая, показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R A 2) и нажмем кнопку Закрыть (рис. 4.5.7).

Появившаяся на графике Логарифмическая регрессия линия тренда полностью совпадает с графиком построенного уравнения регрессии^ = 1,591п(х) + 3,28, совпадает и уравнение линии тренда у = 1,58521п(х) + 3,2763, что является доказательством правильности решения (рис. 4.5.8).

Следует отметить, что значение коэффициента детерминации R 2 = 0,2227 свидетельствует о том, что выбранная в качестве уравнения регрессии логарифмическая функция не вполне отвечает исходному заданию, так как максимальное значение коэффициента детерминации R 2 = 1.

На рис. 4.5.9 показан результирующий график использования в качестве уравнения регрессии логарифмической функции у = 1,591п(х) + 3,28 и построения линии тренда у = 1,58521п(х) + + 3,2763 для исходной заданной функции у =f(x).

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению (f(x)=g(x)) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида (log_a f(x)=log_a g(x))

Неравенства ( begin f(x)gt 0\ g(x)gt 0 end ) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для (x) в явном виде;
2) решить уравнение (f(x)=g(x));
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения (f(x)) и (g(x)) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение (f(x)=g(x));
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для (f(x)) и (g(x)), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (lg(2x+3)+lg(x+4)=lg(1-2x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin 2x+3gt 0\ x+4gt 0\ 1-2xgt 0 end Rightarrow begin xgt-frac32\ xgt-4\ xltfrac12 end Rightarrow -frac32lt xltfrac12Rightarrow xinleft(-frac32;frac12right) )
Решаем уравнение:
(lgleft((2x+3)(x+4)right)=lg(1-2x))
((2x+3)(x+4)=1-2x)
(2x^2+11x+12-1+2x=0)
(2x^2+13x+11=0)
((2x+11)(x+1)=0)
( left[ begin x_1=-5,5\ x_2=-1 end right. )
Корень (x_1=-5,5notin left(-frac32;frac12right),) т.е. не подходит.
Корень (x_2=-1in left(-frac32;frac12right)) — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида (log_ f(x)=log_ g(x))

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение (log_(x^2-4)=log_(2-x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin x^2-4gt 0\ 2-xgt 0\ x+5gt 0\ x+5ne 1 end Rightarrow begin xlt -2cup xgt 2\ xlt 2\ xgt -5\ xne -4 end Rightarrow begin -5lt xlt -2\ xne -4 end Rightarrow xin (-5;-4)cup(-4;-2) )
Решаем уравнение:
(x^2-4=2-x)
(x^2+x-6=0)
((x+3)(x-2)=0)
( left[ begin x_1=-3\ x_2=2 — text end right. )
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение (log_(x+1)=log_(x+3))
Основания (2ne 4), и нельзя сразу написать (x+1=x+3).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
(log_2(x+1)=log_(x+1)^2=log_4(x+1)^2)
Тогда исходное уравнение примет вид: (log_4(x+1)^2=log_4(x+3))
И теперь: ((x+1)^2=x+3)
(x^2+x-2=0)
((x+2)(x-1)=0)
( left[ begin x_1=-2\ x_2=1 end right. )
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
( begin x+1gt 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt -3 end Rightarrow xgt -1 )
Корень (x_1=-2lt -1) — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) ( log_2(x+1)-log_2(x-1)=1 )
ОДЗ: ( begin x+1gt 0\ x-1gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1 end Rightarrow xgt 1 )
(log_2left((x+1)(x-1)right)=log_22)
(x^2-1=2Rightarrow x^2 =3)
( left[ begin x_1=-sqrtlt 2 — text\ x_2=sqrt end right. )
Ответ: (sqrt)

б) ( 2log_5(x-1)=log_5(1,5x+1) )
ОДЗ: ( begin x-1gt 0\ 1,5x+1gt 0 end Rightarrow begin xgt 1\ xgt-frac23 end Rightarrow xgt 1 )
Преобразуем: (2log_5(x-1)=log_5(x-1)^2)
Получаем: (log_5(x-1)^2=log_5(1,5x+1))
((x-1)^2=1,5x+1)
(x^2-2x+1-1,5x-1=0Rightarrow x^2-3,5x=0Rightarrow x(x-3,5)=0)
( left[ begin x_1=0lt 1 — text\ x_2=3,5 end right. )
Ответ: 3,5

в) ( log_3(3-x)+log_3(4-x)=1+2log_3 2 )
ОДЗ: ( begin 3-xgt 0\ 4-xgt 0 end Rightarrow begin xlt 3\ xlt 4 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (1+2log_3 2=log_3 3+log_3 2^2=log_3(3cdot 4)=log_3 12)
Получаем: (log_3left((3-x)(4-x)right)=log_3 12)
((3-x)(4-x)=12Rightarrow 12-7x+x^2=12Rightarrow x(x-7)=0)
( left[ begin x_1=0\ x_2=7gt 3 — text end right. )
Ответ: 0

г) ( log_2^2x+log_2 x^2+1=0 )
ОДЗ: (xgt 0)
(log_2x^2=2log_2x)
Получаем: (log_2^2x+2log_2x+1=0)
Замена: (t=log_2 x)
(t^2+2t+1=0Rightarrow(t+1)^2=0Rightarrow t=-1)
Возвращаемся к исходной переменной: (log_2x=-1)
(x=2^=frac12)
Ответ: (frac12)

д) ( x^=10 )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg ⁡x). Тогда (x=10^t)
Подставляем:
((10^t)^t=10Rightarrow 10^=10^1Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm 1)
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin lg x=-1\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,1\ x_2=10 end right. )
Оба корня подходят.
Ответ:

e) ( sqrtcdot log_5(x+3)=0 )
ОДЗ: ( begin xgeq 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgeq 0\ xgt -3 end Rightarrow xgeq 0 )
( left[ begin sqrt=0\ log_5(x+3)=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x+3=5^0=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=-2lt 0 — text end right. )
Ответ: 0

ж) ( log_2+2log_x=log_(x+1) )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ x+1gt 0\ 5x-2gt 0\ 5x-2ne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xgt -1\ xgtfrac25\ xnefrac35 end Rightarrow begin xgtfrac25\ xnefrac35 end )
Преобразуем: (log_2+2log_x=log_(2x^2))
Подставляем: (log_(2x^2)=log_(x+1))
( 2x^2=x+1Rightarrow 2x^2-x-1=0Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 Rightarrow left[ begin x_1=-frac12 — text\ x_2=1 end right. )
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) ( log_4log_2log_3(2x-1)=frac12 )
ОДЗ: ( begin 2x-1gt 0\ log_3(2x-1)gt 0\ log_2log_3(2x-1)gt 0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ 2x-1gt 3^0\ log_3(2x-1)gt 2^0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ 2x-1gt 3^1 end Rightarrow )
( Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ xgt 2 end Rightarrow xgt 2 )
Решаем:
(log_2log_3(2x-1)=4^=2)
(log_3(2x-1)=2^2=4)
(2x-1=3^4=81)
(2x=82)
(x=41)
Ответ: 41

б) ( log_2(9-2^x)=25^<log_5sqrt> )
ОДЗ: ( begin 9-2xgt 0\ 3-xgt 0 end Rightarrow begin 2^xlt 9\ xlt 3 end Rightarrow begin xltlog_2 9\ xlt 3 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (25^<log_5sqrt>=25^<log_(sqrt)^2>=25^<log_(3-x)>=3-x)
Подставляем: (log_2(9-2^x)=3-x)
(9-2^x=2^)
(9-2^x-frac=0)
Замена: (t=2^xgt 0)
( 9-t-frac8t=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-9t+8gt 0\ tne 0 end Rightarrow begin (t-1)(t-8)=0\ tne 0 end Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=8 end right. )
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin 2^x=1\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin 2^x=2^0\ 2^x=2^3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=3 end right. )
По ОДЗ (xlt 3), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) ( lgsqrt+lgsqrt+1=lg 30 )
ОДЗ: ( begin x-5gt 0\ 2x-3gt 0 end Rightarrow begin xgt 5\ xgtfrac32 end Rightarrow xgt 5 )
Преобразуем: (lg 30-1=lg 30-lg 10=lgfrac=lg 3)
Подставляем: (lgsqrt+lgsqrt=lg 3)
(frac12lg(x-5)+frac12lg(2x-3)=lg 3 |cdot 2)
(lg(x-4)+lg(2x-3)=2lg 3)
(lgleft((x-5)(2x-3)right)=lg 3^2)
((x-5)(2x-3)=9Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 Rightarrow 2x^2-13x+6=0)
( (2x-1)(x-6)=0Rightarrow left[ begin x_1=frac12lt 5 — text\ x_2=6 end right. )
Ответ: 6

г) ( frac+frac+frac=0 )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ lg xne 0\ lg 10xne 0\ lg 100xne 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xne 1\ 10xne 1\ 100xne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xneleft<frac;frac;1right> end )
Преобразуем: (lg 10x=lg 10+lg x=1+lg 10)
(lg 100x=lg 100+lg x=2+lg x)
Подставляем: (frac+frac+frac=0)
Замена: (t=lg x)
begin frac1t+frac+frac=0Rightarrow frac1t+frac=-fracRightarrow frac=-fracRightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2Rightarrow 5t^2+8t+2=0\ D=8^2-4cdot 5cdot 2=24, t=frac<-8pm 2sqrt>=frac<-4pm sqrt> end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=frac<-4- sqrt>\ lg x=frac<-4+ sqrt> end right. Rightarrow left[ begin x=10frac<-4- sqrt>\ x=10frac<-4+ sqrt> end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left<10frac<-4pmsqrt>right>)

e) ( x^<frac>=10^ )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg x.) Тогда (x=10^t)
Подставляем: begin (10^t)^<frac>=10^\ frac=t+1Rightarrow t(t+7)=4(t+1)Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\ t^2+3t-4=0Rightarrow (t+4)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-4\ t_2=1 end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=-4\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,0001\ x_2=10 end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left)

ж) ( 4^=(2x^2+2x+5)^ )
ОДЗ: ( begin 1-xgt 0\ 2x^2+2x+5gt 0 end Rightarrow begin xlt 1\ Dlt 0, xinmathbb end Rightarrow xlt 1 )
По условию: begin log_3(1-x)=log_4left((2x^2+2x+5)^right)\ log_3(1-x)=log_32cdotlog_4(2x^2+2x+5) end Перейдем к другому основанию: $$ frac=fraccdotfrac |cdot lg 3 $$ (frac=frac=frac=frac12) begin lg(1-x)=frac12cdotlg(2x^2+2x+5) |cdot 2\ 2lg(1-x)=lg(2x^2+2x+5)\ lg(1-x)^2=lg(2x^2+2x+5)\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\ x^2+4x+4=0\ (x+2)^2=0\ x=-2 end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) ( begin lg x+lg y=lg 2\ x^2+y^2=5 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ ygt 0 end )
Из первого уравнения: (lg(xy)=lg 2Rightarrow xy=2)
Получаем: ( begin xy=2\ x^2+y^2=5 end Rightarrow begin y=frac2x\ x^2+left(frac2xright)^2-5=0 end )
Решаем биквадратное уравнение: begin x^2+frac-5=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin x^4-5x^2+4=0\ xne 0 end \ (x^2-4)(x^2-1)=0Rightarrow left[ begin x^2=4\ x^2=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm 2\ x=pm 1 end right. end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=1\ y=frac2x=2 end \ begin x=2\ y=frac22=1 end end right. )
Ответ: (left)

б) ( begin x^=27\ x^=frac13 end )
ОДЗ: (xgt 0, xne 1)
Логарифмируем: ( begin y+1=log_x27=log_x3^3=3log_x3\ 2y-5=log_xfrac13=log_x3^=-log_x3 end )
Замена: (z=log_x3) begin begin y+1=3z\ 2y-5=-z |cdot 3 end Rightarrow begin y+1=3z\ 6y-15=-3z end Rightarrow begin 7y-14=0\ z=5-2y end Rightarrow begin y=2\ z=1 end end Возвращаемся к исходной переменной: $$ begin y=2\ log_x3=1 end Rightarrow begin x^1=3\ y=2 end Rightarrow begin x=3\ y=2 end $$
Ответ: (3;2)

в*) ( begin 3(log_y x-log_x y)=8\ xy=16 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0, xne 1\ ygt 0, yne 1 end )
Сделаем замену (t=log_x y). Тогда (log_y x=frac=frac1t)
Подставим в первое уравнение и решим его: begin 3left(frac1t-tright)=8Rightarrowfrac=frac83Rightarrow begin 3(1-t^2)=8t\ tne 0 end\ 3t^2+8t-3=0Rightarrow (3t-1)(t+3)=0Rightarrow left[ begin t_1=frac13\ t_2=-3 end right. end Прологарифмируем второе уравнение по (x): $$ log_x(xy)=log_x16Rightarrow 1+log_x y=log_x16Rightarrow 1+t=log_x 16 $$ Получаем: begin left[ begin begin t=frac13\ log_x16=1+t=frac43 end \ begin t=-3\ log_x16=1+t=-2 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x^=16 end \ begin t=-3\ x^=16 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x=(2^4)^=2^3=8 end \ begin t=-3\ x=(16)^=frac14 end end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin begin x=8\ log_x y=frac13 end \ begin x=frac14\ log_x y=-3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=8\ y=8^=2 end \ begin x=frac14\ y=left(frac14right)^=64 end end right. end
Ответ: (left)

г*) ( begin (x+y)cdot 3^=frac\ 3log_5(x+y)=x-y end )
ОДЗ: (x+ygt 0)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: begin log_3left((x+y)cdot 3^right)=log_3frac\ log_3(x+y)+(y-x)=log_3frac\ log_3(x+y)-log_3frac=x-y end Получаем:(x-y=3log_5(x+y)=log_3(x+y)-log_3frac)
Решим последнее уравнение относительно (t=x+y) begin 3log_5 t=log_3 t-log_3frac\ 3cdotfrac-log_3t=-log_3frac\ log_3tcdotleft(frac-1right)=-log_3frac\ log_3t=-frac<log_3frac><frac-1>=-frac=log_35\ t=5 end Тогда: (x-y=3log_5t=3log_55=3)
Получаем систему линейных уравнений: begin begin x+y=5\ x-y=3 end Rightarrow begin 2x=5+3\ 2y=5-3 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end end Требование ОДЗ (x+y=4+1gt 0) выполняется.
Ответ: (4;1)