21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Видео:Гидростатическое давлениеСкачать

Гидростатическое давление

Поверхность равного давления и ее свойства

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) –называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулю dp = 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

Читайте также:

  1. Bonpoс 19 Сплавы на основе алюминия и магния. Свойства и области применения.
  2. W (живое сечение) – поверхность в пределах потока жидкости, проведенная перпендикулярно направлению струек.
  3. Абсолютное ггидростатическоеидростатическое давление и его свойства
  4. Абсолютное гидростатическое давление и его свойства
  5. Абсолютное, вакуумметрическое и манометрическое давления.
  6. Алгоритм и его свойства
  7. Альдегиды, гомологический ряд, строение, функциональная группа. Химические свойства альдегидов. Получение альдегидов в медицине.
  8. Аммиак (порядок использования, свойства, клиническая картина поражения людей и сельскохозяйственных животных, первая медицинская помощь, защита).
  9. Анализ внешней среды и ее влияние на разработку управленческого решения. Свойства внешней среды.
  10. Аналитический сигнал. Свойства сопряженных по Гильберту сигналов.
21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня.(2.36)

где X, Y, Z– ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Рисунок 2.4 — 21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Первое свойство поверхности равного давления — поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлением p1 пересекается с поверхностью, на которой давление p2. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и p1 и p2 , что не возможно, т.к. p1 не равно p2, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления — массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силы dF = dm(X i + Y j +Z k) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давления dr = dx i + dy j +dz k. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) = dm (X dx + Y dy +Z dz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления (2.36). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления — в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называется однородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 408 ; Нарушение авторских прав

Видео:Гидростатическое давлениеСкачать

Гидростатическое давление

Поверхность равного давления

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

Жидкость в неинерциальных системах отсчета

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.15).

Рис. 2.15. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G=mg и сила инерции Pu = ma.

Равнодействующая этих сил R = ((mg) 2 +(ma) 2 ) 1/2 направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен tga = a/g.

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости.

Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (рис.2.16), например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей.

В этом случае на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы:

где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.16. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом, который описывается уравнением

Закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты записывается в виде

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

Равновесие газа

Уравнения равновесия, выведенные для жидкости, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости или газа.

Для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 2.11).

В однородной газовой среде (ρ = const), распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости.

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 2.11) на поверхности земли z=z0 и р=р0,получим уравнение

где z — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до рассматриваемой точки (высота точки М); z0 расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до поверхности с заданным давлением р=р0.

Рис. 2.11. Равновесие газа в поле силы тяжести

Уравнения (2.17) и (2.18) показывают, что в поле силы тяжести изменение давления газа будет, так же как и в капельной жидкости, определяться только изменением расстояния от плоскости сравнения до рассматриваемой точки. Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат z>z0.

Характер же этого изменения будет корректироваться в зависимости от закона изменения внутреннего состояния газа.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способа

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 1.4). Выделим в ней вокруг рассматриваемой точки А бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Отбросим мысленно окружающую его жидкость, а ее воздействие на грани заменим силами, действующими со стороны жидкости, — Рх и Р’х, Ру и F, Рг и Р Кроме того, в точке А как в центре массы выделенного элемента приложим равнодействующую массовых сил Q.

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Рис. 1.4. Схема к выводу уравнения Эйлера

Запишем условие равновесия на осьх:

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Давление рх и р’х можно выразить через давления в точке А:

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Тогда уравнение равновесия перепишется

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Отсюда +рХ = 0, или — = рХ.

Аналогичные уравнения можно получить, рассматривая проекцию на другие оси.

В результате будем иметь

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Это и есть общие уравнения равновесия жидкости, полученные Эйлером.

Видео:Линии и поверхности уровня | ФНП 1.2Скачать

Линии и поверхности уровня | ФНП 1.2

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПРИРАЩЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАВНЫХ ДАВЛЕНИЙ

Основной задачей гидростатики является получение:

• зависимости гидростатического давления в точке от ее координат

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

• уравнения поверхности равных давлений

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Для получения уравнения изменения давления при смещении от данной точки А на бесконечно малое расстояние dl, проекции которого на оси координат соответственно будут dx, dy, dz, преобразуем уравнения Эйлера. Умножим соответственно каждое уравнение на приращения координатах, dy, dzn, суммировав левые и правые части, получим

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Но левая часть этого уравнения есть полный дифференциал dp, выражающий изменение давления р при смещении точки на бесконечно малое расстояние, тогда имеем

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

То есть получили дифференциальное уравнение изменения давления в функции координат точки. Решение этого уравнения в виде (1.13) может быть выполнено путем интегрирования для данной конкретной задачи.

Перейдем к рассмотрению уравнения поверхности равного давления, определяемого условием р = const.

Из условия постоянства давления следует dp = 0. Подставляя это выражение в (1.15) и учитывая, что р ф 0, получим

21 поверхности равного давления и их свойства дифференциальное уравнение поверхности уровня

Уравнение (1.16) связывает координаты точек равных давлений, т.е. оно является дифференциальным уравнением поверхности равных давлений.

Решение этого уравнения в виде (1.14) должно также проводиться путем интегрирования для конкретных задач. К рассмотрению одной из таких задач и перейдем.

🎥 Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать

1. Что такое дифференциальное уравнение?

№ 501-600 - Физика 10-11 класс РымкевичСкачать

№ 501-600 - Физика 10-11 класс Рымкевич

Урок 39 (осн). Сила трения. Коэффициент тренияСкачать

Урок 39 (осн). Сила трения. Коэффициент трения

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Урок 197. Поверхностная энергия. Коэффициент поверхностного натяженияСкачать

Урок 197. Поверхностная энергия. Коэффициент поверхностного натяжения

Урок 202. Давление под искривленной поверхностью жидкости. Формула ЛапласаСкачать

Урок 202. Давление под искривленной поверхностью жидкости. Формула Лапласа

Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать

Геометрический смысл дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Решение задачи по гидравлике (механике жидкости) - давление в точкеСкачать

Решение задачи по гидравлике (механике жидкости) - давление в точке

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиСкачать

Дифференциальные уравнения, 2 урок, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Решение физических задач при помощи диффуров | Дифференциальные уравненияСкачать

Решение физических задач при помощи диффуров | Дифференциальные уравнения

Гидродинамика Л4. Сила давления жидкости на плоскую стенкуСкачать

Гидродинамика Л4. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальные уравнения 3. Формула ЦиолковскогоСкачать

Дифференциальные уравнения 3. Формула Циолковского
Поделиться или сохранить к себе: