16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование

Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией , а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y ( x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки .

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование

Между прогибами y ( x ) и углами поворота сечений θ ( x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии ( θ и φ — углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ = tg φ = y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ = y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование.

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование.

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии . При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ = 0.1 рад ( y / ) 2 =0.01 ) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование.

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование,

а после второго интегрирования – прогибы балки

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: универсальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

Сопротивление материалов. Лекция: универсальное уравнение изогнутой оси балки

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

Определение постоянных при интегрировании дифференциального уравнения изгиба балки.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

Выбор знака в правой части определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и Mz противоположны — в правой части знак минус. Уравнение справедливо только в пределах применимости закона Гука.

Интегрируя, находим сначала углы поворота сечений

,

а после второго интегрирования – прогибы балки

.

25. Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки с несколькими участками.Метод Клебша.

Для составления уравнений необходимо выполнить следующие основные условия:

  • начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
  • интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
  • при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z – a), где а – координата сечения, в котором приложен момент;
  • в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

(18)

где θ – угол поворота сечения; w – прогиб; θo – угол поворота в начале координат; w0 – прогиб в начале координат; dі – расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi – расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi – расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi – реакция и реактивный момент в опорах балки.

Балка на упругом основании

Рис.10.1В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется тем, что реакция оснований « »

зависит от прогибов « » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

(1)

(2)

Здесь: внешняя погонная нагрузка; коэффициент постели, приводится в справочниках для различных грунтов; суммарная погонная нагрузка, действующая на балку.

Для решения задачи используем известное дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса

(3)

Обычно изгибная жесткость балки, считается константой. Ранее получены дифференциальные зависимости (1.7)

(4)

Дифференцируя один раз (3) с учетом (4) получим

(5)

Дифференцируя (5) с учетом (4) найдем

(6)

Подставим (2) в (6)

(7)

Обозначим

Тогда уравнение (7) примет вид

(10.1)

Это дифференциальное уравнение балки на упругом основании.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании

Рис.10.1В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется тем, что реакция оснований « »

зависит от прогибов « » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

(1)

(2)

Здесь: внешняя погонная нагрузка; коэффициент постели, приводится в справочниках для различных грунтов; суммарная погонная нагрузка, действующая на балку.

Для решения задачи используем известное дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса

(3)

Обычно изгибная жесткость балки, считается константой. Ранее получены дифференциальные зависимости (1.7)

(4)

Дифференцируя один раз (3) с учетом (4) получим

(5)

Дифференцируя (5) с учетом (4) найдем

(6)

Подставим (2) в (6)

(7)

Обозначим

Тогда уравнение (7) примет вид

(10.1)

Это дифференциальное уравнение балки на упругом основании.

Видео:Определение реакций опор в балке. Сопромат.Скачать

Определение реакций опор в балке. Сопромат.

Метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки

Наиболее естественным методом определения функции прогибов является метод непосредственного интегрирования уравнения изгибающих моментов.

$EI,y»(x) = M(x)$ – полученное дифференциальное уравнение;

$EI,y'(x) = EI,varphi (x) = int dx + C$ – первый интеграл (уравнение углов поворота);

$EI,y(x) = int dx = iint dxdx + C,x + D$ – второй интеграл (уравнение прогибов).

Кроме интегрирования уравнения изгибающих моментов $M(x)$, для получения уравнения прогибов необходимо определить две постоянных интегрирования $C$ и $D$ из условий закрепления балки. При этом надо учесть, что шарнирная опора исключает прогибы балки, а жесткое зажатие – прогибы и углы поворота (то есть они равны нулю).

Физический смысл постоянных интегрирования такой: при $x = 0$ угол поворота $EI,varphi (0) = C$, а прогиб $EI,y(0) = D$, то есть константа $C$ равна углу поворота в начале координат, константа $D$ равна прогибу балки при x=0.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балкиСкачать

Сопротивление материалов. Лекция: дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Консольная балка с силой на конце

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $F$ и момент $M = F cdot l$.

Уравнения изгибающих моментов

$M(x) = — Fl + Fx = F(x — l)$

Уравнение углов поворота

$EI,y'(x) = EI,varphi (x) = int dx + C = F(frac<<>> — lx) + C$

Так как в сечении $A$ (в защемлении) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$left < beginEI,varphi (0) = F(frac<<>> — l cdot 0) + C = 0 hfill \ EI,y(0) = F(frac<<>> — lfrac<<>>) + C cdot 0 + D = 0. hfill \ end right.$

Решение этой системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

где знак « – » указывает направление перемещений – в сторону, противоположную положительному направлению оси $y$. Стрела прогиба $f = frac<<F,>><>$.

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

знак « – » указывает направление угла поворота – сечение поворачивается по часовой стрелке.

Видео:Построение эпюр в балке ( Q и M ). СопроматСкачать

Построение эпюр в балке ( Q и M ). Сопромат

Шарнирно закрепленная балка с силой посередине

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование

На опорах возникают вертикальные реакции $ = = F/2$.

Поскольку уравнение изгибающих моментов разное на двух разных участках, функция прогибов также будет разная. Используя полную симметрию расчетной схемы, далее будем рассматривать только левый участок, для которого уравнение изгибающих моментов имеет вид

$M(x) = fracx$, то есть $EI,y»(x) = fracx$, интегрируем дважды

Константы интегрирования $C$ и $D$ полученного уравнения справедливы только для первого участка, поэтому их необходимо определять из условий, связанных с перемещениями на первом участке. Такими условиями является равенство нулю прогибов на опоре $A$ ($x = 0$) и, исходя из симметрии, равенство нулю угла поворота под силой $F$ ($x = l/2$). Имеем систему уравнений

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l/2$

Максимальные углы поворота сечений будут на опорах ($x = 0$ и $x = l$).

Видео:Балка на упругом основанииСкачать

Балка на упругом основании

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

16 дифференциальное уравнение изгибающих моментов в балке на упругом основании и его интегрирование

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $ql$ и момент $M = frac<<q>>$.

$M(x) = — frac<<q>> + ql cdot x — frac<<q>>$, дважды интегрируем

Так как в сечении $A$ (в защемлении) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$left < beginEI,y'(0) = F(frac<<>> — l cdot 0) + C = 0 hfill \ EI,y(0) = F(frac<<>> — lfrac<<>>) + C cdot 0 + D = 0. hfill \ end right.$

Решение системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

🔍 Видео

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Уравнение трех моментов. Расчет много пролетной не разрезной балкиСкачать

Уравнение трех моментов. Расчет много пролетной не разрезной балки

Определение опорных реакций балки. Сопромат для чайников ;)Скачать

Определение опорных реакций балки. Сопромат для чайников ;)

14. Интеграл мора ( практический курс по сопромату )Скачать

14. Интеграл мора ( практический курс по сопромату )

BC: Стальной каркас - введение, типы рам, связиСкачать

BC: Стальной каркас - введение, типы рам, связи

Подошвы фундамента  | Для чего они нужны?Скачать

Подошвы фундамента  | Для чего они нужны?

Балка. Реакции в заделке. Реакции опор. Сопромат.Скачать

Балка. Реакции в заделке. Реакции опор. Сопромат.

Чеченский отряд и диверсия на территории России | НОВОСТИСкачать

Чеченский отряд и диверсия на территории России | НОВОСТИ

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в многопролетных шарнирно-консольных балках.Скачать

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в многопролетных шарнирно-консольных балках.

Определение реакций опор в жесткой заделке консольной балкиСкачать

Определение реакций опор в жесткой заделке консольной балки

Изгиб балок на упругом основании (Bending of beams on an elastic foundation)Скачать

Изгиб балок на упругом основании (Bending of beams on an elastic foundation)

Определение экстремума эпюры моментов MСкачать

Определение экстремума эпюры моментов M

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться или сохранить к себе: