15 приложение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем

ГЛАВА 15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Преобразование Лапласа.

Пусть — функция (которая, вообще говоря, может принимать и комплексные значения) действительного аргумента , такая, что:

1) она кусочно-непрерывна на , т.е. непрерывна на данном промежутке, за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода; 2) существуют положительные числа и такие, что для всех справедливо неравенство .

Преобразованием Лапласа функции называется функция комплексного переменного , , определяемая равенством :

При этом функция называется оригиналом, а функция — его изображением. Соответствие между оригиналом и его изображением символически записывается в виде или .

Если функция задана на всей числовой прямой ( ), то вместо неё всюду в дальнейшем, без специальных оговорок, будем рассматривать функцию , где — единичная функция Хевисайда, т.е. будем считать при , причём .

При нахождении изображений и оригиналов широко применяются таблица изображений преобразования Лапласа и его свойства, а также формулы: ; ; ; .

В задачах 15.1-15.4пользуясь определением преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:

15.1 15.2

15.3 15.4

Таблица изображений преобразования Лапласа

Cвойства преобразования Лапласа.

1.Аддитивность:

2.Однородность:

3.Теорема смещения:

4.Теорема запаздывания:

5.Теорема о свертке: где

6.Теорема о дифференцировании изображения:

7.Теорема о дифференцировании оригинала:

8.Теорема об интегрировании оригинала:

9.Теорема об интегрировании изображения:

В задачах 15.5-15.22используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти изображения следующих функций:

15.5 15.6

15.7 15.8

15.9 15.10

15.11 15.12

15.13 15.14

15.15 15.16

15.17 15.18

15.19 15.20

15.21 15.22

В задачах 15.23-15.28используя теорему смещения, найти изображения следующих функций:

15.23 15.24 15.25

15.26 15.27 15.28

В задачах 15.29-15.34используя теорему о дифференцировании изображения, найти изображения следующих функций:

15.29 15.30 15.31

15.32 15.33 15.34

В задачах 15.35-15.40используя теорему об интегрировании изображения, найти изображения следующих функций:

15.35 15.36 15.37

15.38 15.39 15.40

В задачах 15.41-15.46используя теорему об интегрировании оригинала, найти изображения следующих функций:

15.41 15.42 15.43

15.44 15.45 15.46

В задачах 15.47-15.52используя теорему о свёртке, найти изображения следующих функций:

15.47 15.48

15.49 15.50

15.51 15.52

В задачах 15.53-15.62используя теорему запаздывания, найти изображения следующих функций:

15.53 15.54

15.55 15.56

15.57 15.58

15.59 15.60

15.61 15.62

В задачах 15.63-15.74используя таблицу изображений преобразования Лапласа, найти оригиналы для изображений:

15.63 15.64 15.65

15.66 15.67 15.68

15.69 15.70 15.71

15.72 15.73 15.74

В задачах 15.75-15.80используя теорему запаздывания, найти оригиналы для следующих изображений:

15.75 15.76

15.77 15.78

15.79 15.80

Приложения операционного исчисления.

Для нахождения решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , удовлетворяющего начальным условиям , , , , к обеим частям уравнения следует применить преобразование Лапласа и перейти к операторному уравнению , где — изображение искомого решения , — изображение функции , — некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данных , , , ( , если ). Решив операторное уравнение относительно : и найдя оригинал для , получим искомое решение . Если начальные данные , , , считать произвольными постоянными , то найденное решение будет являться общим решением данного дифференциального уравнения.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами решаются аналогично. Отличие состоит лишь в том, что вместо одного операторного уравнения получится система операторных уравнений, линейных относительно изображений искомых функций.

В задачах 15.81-15.86найти общие решения следующих дифференциальных уравнений:

15.81 15.82

15.83 15.84

15.85 15.86

В задачах 15.87-15.100найти частные решения дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях:

15.87 , . 15.88 , .

15.89 .

15.90 .

15.91 .

15.92 .

15.93 .

15.94 .

15.95 .

15.96 .

15.97 , ,где

15.98 , ,где

15.99 , ,где

15.100 , ,где

В задачах 15.101-15.112найти частные решения систем дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:

15.101

15.102

15.103

15.104

15.105

15.106

15.107 , .

15.108 , .

15.109 , .

15.110

15.111 ,

где и

15.112

где

Для нахождения решений линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, используя теорему о свёртке, находят сначала изображения искомых решений этих уравнений, а затем и само решение.

В задачах 15.113-15.120найти решения следующих интегральных уравнений:

15.113 15.114

15.115 15.116

15.117 15.118

15.119 15.120

В задачах 15.121-15.125найти решения интегро-дифференциальных уравнений для указанных начальных условий:

15.121 , .

15.122 , .

15.123 , .

15.124 ,

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Ноября 2012 в 19:20, реферат

Краткое описание

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Содержание

Введение 3
§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 5
§2. Основные теоремы операционного исчисления 8
2.1 Свертка оригиналов. 8
2.1 Свойство линейности. 9
2.2 Теорема подобия. 9
2.3 Теорема запаздывания. 10
2.4 Теорема смещения. 10
2.5 Теорема упреждения. 11
2.6 Умножение оригиналов 11
2.7 Дифференцирование оригинала 11
2.8 Дифференцирование изображения 12
2.9 Интегрирование оригинала 12
2.10 Интегрирование изображения 13
§3. Изображения простейших функций 13
§4. Отыскание оригинала по изображению 15
4.1 Разложение на простейшие дроби. 15
4.2. Первая теорема разложения 16
§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления.doc

Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан

Бухарский Инженерно-технический институт

по дисциплине: «Высшая математика»

Тема: Решение систем дифференциальных уравнений при помощи операционного исчисления

Выполнил: ст. гр. 25-11 ЕСМТ Аппазов Энвер

Принял: доц. Рахманов Каим Киямович

Бухара – 2012 год

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 5

§2. Основные теоремы операционного исчисления 8

2.1 Свертка оригиналов. 8

2.1 Свойство линейности. 9

2.2 Теорема подобия. 9

2.3 Теорема запаздывания. 10

2.4 Теорема смещения. 10

2.5 Теорема упреждения. 11

2.6 Умножение оригиналов 11

2.7 Дифференцирование оригинала 11

2.8 Дифференцирование изображения 12

2.9 Интегрирование оригинала 12

2.10 Интегрирование изображения 13

§3. Изображения простейших функций 13

§4. Отыскание оригинала по изображению 15

4.1 Разложение на простейшие дроби. 15

4.2. Первая теорема разложения 16

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 18

Видео:Системы дифференциальных уравненийСкачать

Введение

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

1. таблица оригиналов и соответствующих им изображений;
2. знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

Видео:Операционное исчисление. Решение дифференциального уравнения четвертого порядка.Скачать

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1. Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t) º 0 , при t 0 , где M > 0, s₀ ³ 0 — некоторые действительные постоянные, s₀ называют показателем роста функции f(t).

3) На любом конечном отрезке [a, b] положительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

где – комплексный параметр.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости (то есть изображение F(p) заведомо определено при ), где s₀ – показатель роста f (t).

, но по свойству модулей .

Заметим, что по определению оригинала

Вычислим этот интеграл:

То есть получаем что F(p) существует при

Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:

Видео:13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

§2. Основные теоремы операционного исчисления

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

2.1 Свертка оригиналов.

Сверткой оригиналов и называется функция

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем .

Теорема 1. Если и , то

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Воспользуемся определением свертки:

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

Введем вместо t новую переменную . Тогда

что и требовалось доказать. ▲

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных a и b:

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Домножим равенство на α:

Так как , то , то есть

Видео:Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

2.2 Теорема подобия.

Для любого постоянного a > 0:

Умножение аргумента оригинала на положительное число a приводит к делению изображения и его аргумента на это число a.

Положим αt=u. Тогда .

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при получаем и

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

2.3 Теорема запаздывания.

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину t приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e -pt .

Видео:Математика это не ИсламСкачать

2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

Из определения изображения имеем:

Видео:Решение ДУ.Операционный методСкачать

2.5 Теорема упреждения.

При а > 0 имеет место соотношение:

Видео:Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

2.6 Умножение оригиналов

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

2.7 Дифференцирование оригинала

Если и – оригиналы и , то

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

Тогда по теореме 1

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

2.8 Дифференцирование изображения

Если , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства получим:

Видео:Преобразование Лапласа Решение системы линейных дифференциальных уравненийСкачать

2.9 Интегрирование оригинала

Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть и . Из видно, что

Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим

Но, по условию теоремы, . Следовательно, или .

А отсюда и из соотношений и следует, что .

Видео:Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

2.10 Интегрирование изображения

Если и принадлежит множеству оригиналов, то .

Видео:Решение разных задач по операционному исчислению.Скачать

§3. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда.

Так как при , то .

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

Экспонента. По теореме смещения

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим , где . Тогда при

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

§4. Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Формула обращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s₀.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

4.1 Разложение на простейшие дроби.

Если есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

Пример 1. Найти оригинал по изображению.

Разложим функцию на сумму дробей:

Найдем методом неопределенных коэффициэнтов А, В, С:

Операционное исчисление с примерами решения и образцами выполнения

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям — их изображениям.
2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.
3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Оригиналы и их изображения:

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. 
2. f(t)— кусочно-непрерывная при т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.
3. Существуют такие числа что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста f(t).

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить ), степенные и другие (для функций вида ( условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция (не удовлетворяет второму условию).

Замечание:

Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид она считается оригиналом, если действительные функции являются оригиналами.

Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде или (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения — соответствующими большими буквами).

Теорема:

Существование изображения. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует (определено) в полуплоскости — показатель роста функции f(t) , причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости .

Докажем первую часть теоремы. Пусть произвольная точка полуплоскости (см. рис. 302).

Учитывая, что находим:

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости

Следствие:

Необходимый признак существования изображения. Если функция F(p) является изображением функции f(t) , то

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2), когда

Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости

по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой или на самой этой прямой. Функция F(p) , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f(t). Не является изображением, например, функция (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема:

О единственности оригинала. Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)

Пример:

Найти изображение единичной функции Хевисайда

Решение:

По формуле (78.1) при находим:

т. e. , или, в символической записи,

В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f(t) , подразумевал, что

Пример:

Найти изображение функции — любое число.

Решение:

Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1) имеем

если Re(p — a) > 0. Таким образом,

Пример:

Найти изображение функции f(t) = t.

Решение:

В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

Замечание:

Функция является аналитической не только в полуплоскости Rep > Re а, где интеграл (78.1) сходится, а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно выражается интегралом (78.1).

Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существенно облегчают задачу нахождения изображений для большого числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

— постоянные числа, то

Используя свойства интеграла, находим

Пример:

Найти изображения функций — любое число), с (const),

Решение:

Пользуясь свойством линейности, формулой (78.3), находим:

Аналогично получаем формулу

Далее, т. е.

Аналогично получаем формулу

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).
Например, пусть . Тогда

Смещение (затухание)

т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной р.

В силу формулы (78.1) имеем

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было воспользоваться свойством смещения:

(См. формулы (78.9), (78.10) и свойство линейности.)

Запаздывание

т. е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на .

Положив , получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и имеют одинаковый вид, но график функции сдвинут на единиц

Рис. 304
Рис. 305
вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией , начинается с опозданием на время .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

называется обобщенной единично ной функцией (см. рис 305).

можно записать так:

Пример:

Найти изображение f(t) = t — 1.

Решение:

Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, а), то, зная, что (см. формулу (78.4)), и, используя свойство линейности, находим

Если же понимать функцию f(t) как

т. е. (см. рис. 306, б), то, используя свойство запаздывания, находим

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 307), который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции и обобщенной единичной функции . Поэтому

Пример:

Найти изображение функции

Решение:

Функция-оригинал изображена на рис. 308. Запишем ее одним аналитическим выражением, используя функции Хевисайда :

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Изображение функции f(t) будет равно

Замечания:

1.Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,

есть

применяется значительно реже.

Дифференцирование оригинала

Если и функции являются оригиналами, то

По определению изображения находим

Итак, Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f»(t):

Аналогично найдем изображение третьей производной f»‘(t):

Применяя формулу (78.11) (п — 1) раз, получим формулу (78.14).

Замечание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на р.

Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Пример:

Найти изображение выражения

Решение:

Пусть Тогда, согласно формулам (78.11)—(78.13), имеем

Дифференцирование изображения

Если то

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (-t).

Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим), получим

Пример:

Найти изображения функций

Решение:

Так как , то, в силу свойства дифференцирования изображения, имеем т. е.

Продолжая дифференцирование, получим

С учетом свойства смещения получаем

Согласно формуле (78.5), Следовательно,

Аналогично, используя формулы (78.6), (78.7) и (78.8), находим

С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем

Интегрирование оригинала

т. е. интегрированию оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на р.

Функция является оригиналом (можно проверить).

Пусть Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем

(так как ). А так как

Интегрирование изображения

Если и интеграл сходится, то т. е. интегрированию изображения от p до соответствует деление его оригинала на t.

Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (обоснование законности этой операции опускаем), получаем

Пример:

Найти изображение функции найти изображение интегрального синуса

Решение:

т. е. Применяя свойство интегрирования t оригинала, получаем

Умножение изображений

Если то

Можно показать, что функция является оригиналом.

Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать

Область D интегрирования полученного двукратного интеграла определяется условиями (см. рис. 309).

Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой функции и обозначается символом , т. е.

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством переместительности, т. е.

Умножение изображений соответствует свертыванию их оригиналов, т. е.

Пример:

Найти оригинал функций

Решение:

Следствие:

Если также является оригиналом, то

Запишем произведение в виде

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать или

Формула (78.18) называется формулой Дюамеля. На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример:

Найти оригинал, соответствующий изображению

Решение:

то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем

Умножение оригиналов

где путь интегрирования — вертикальная прямая (см. рис. 310) (примем без доказательства).

Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства пользования перечислим эти свойства.

6. Дифференцирование изображения

Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В. А. Диткин и П. И. Кузнецов).

Обратное преобразование Лапласа

Теоремы разложения:

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему оригинал f(t).

Теорема:

Если функция F(p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

Примем эту теорему без доказательства.

Пример:

Найти оригинал f(t), если

Решение:

Следовательно, на основании теоремы 79.1

Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки:

где Следовательно,

Теорема:

Если правильная рациональная дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) то функция

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)) в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения

не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

где — неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на :

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Итак, Аналогичным путем (умножая обе части равенства (79.2) на найдем

Подставляя найденные значения в равенство (79.2), получим

Так как по формуле (78.3)

то на основании свойства линейности имеем

Замечание:

Легко заметить, что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полюсах (формула (77.4)):

Можно показать, что если правильная дробь, но корни (нули) знаменателя В(р) имеют кратности соответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется формулой

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:
Теорема:

Если изображение является дробно-рациональной функцией от — простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой

Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по формуле

Замечание:

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример:

Найти оригинал по его изображению

Решение:

Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

корни знаменателя и, согласно формуле (79.1),

Пример:

Найти функцию-оригинал, если ее изображение
задано как

Решение:

— простой корень знаменателя, — 3-кратный корень (m = 3). Используя формулы (79.1) и (79.3), имеем:

Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь

на сумму простейших дробей:

Приведем третий способ нахождения f(t). Представим F(p) как
произведение и так как пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям

где — заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производными и функция f(t) являются оригиналами.

Пусть Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении(80.1) от оригиналов к изображениям:

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

— алгебраические многочлены от p степени п и п-1 соответственно. Из последнего уравнения находим

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т. е.

В этом случае

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения (80.1).

Замечание:

Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при ).

Пример:

Решить операционным методом дифференциальное уравнение при условиях

Решение:

Пусть Тогда

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

Отсюда Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму простейших но так как корни знаменателя простые, то удобно воспользоваться второй теоремой разложения (формула (79.1)), в которой

Пример:

Найти решение уравнения

при условии

Решение:

График данной функции имеет вид, изображенный на рисунке 311.

С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением:

Таким образом, имеем

Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид

то по теореме запаздывания находим:

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Покажем это на конкретном примере.

Пример:

Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Система операторных уравнений принимает вид

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института