1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnline

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).

Пусть квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х2. Тогда по теореме Виета:

b c
х1 + х2 =
——, х1 · х2 = ——
a a

Приведенное уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.

Пример 2 . Решить квадратное уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Применяем теорему Виета и записываем два тождества:

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.

Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.

Пример 3 . Решим квадратное уравнение 3х 2 + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

В соответствии с теоремой Виета

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х1 = 3/3, то:

Решаем простое уравнение:

Пример 4 : Решить квадратное уравнение 7x 2 – 6x – 1 = 0.

Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х1 = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.

В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):

Подставляем значение х1 в любое из этих двух выражений и находим х2:

Дискриминант приведенного квадратного уравнения.

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

D = p 2 – 4q

где p – второй коэффициент квадратного уравнения, q – свободный член.

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?

Алгебра. 8 класс

Укажите все правильные ответы.

Дано уравнение , , и – корни уравнения.
Выберите верные утверждения.

Заполните пропуски (ответ дайте в виде целого числа или конечной десятичной дроби).

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, проверьте, что корни уравнения найдены верно,
и распределите утверждения по соответствующим группам.

Видео:Найти сумму корней квадратного уравнения, если дискриминант равен нулюСкачать

Найти сумму корней квадратного уравнения, если дискриминант равен нулю

Теорема Виета

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен. Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с . Тогда полýчится дробь 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен. Докáжем, что дроби 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равени 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенравны. То есть докажем, что равенство 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенявляется верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Поскольку равенство 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенявляется пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равени 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенравны. Теорема доказана.

Видео:Теорема Виета. Сумма и произведение корней уравнения. ПримерСкачать

Теорема Виета. Сумма и произведение корней уравнения. Пример

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 , а его корнями являются числа x1 и x2 , то справедливы следующие два равенства:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 .

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x 2 + 4x + 3 = 0 . Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4 , взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4 . Тогда:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3 . Тогда:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4 , и равно ли произведение 3 . Для этого найдём корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 . А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Корнями уравнения являются числа −1 и −3 . По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x 2 + 4x + 3 = 0 является 4 . Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x 2 + 4x + 3 = 0 , то есть числу 3 . Видим, что это условие тоже выполняется:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Значит выражение 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенявляется справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 8x + 15 = 0 . По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8 . Если взять его с противоположным знаком, то получим 8 . Тогда:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x 2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15 . Тогда:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8 , и равно ли произведение 15 . Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Видим, что корнями уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3 . Их сумма равна 8 . То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 , взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15 . То есть равно свободному члену уравнения x 2 − 8x + 15 = 0 .

Значит выражение 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенявляется справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 . Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Но уравнение x 2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4 . Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

А значит записывать выражение 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенне имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5 , поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5 , так и равенству x1 × x2 = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6 . Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0 . Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Найдём сумму корней x1 и x2 . Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Сократим дробь 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенна 2 , тогда получим −b

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c .

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . Тогда в числителе полýчится 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенА знаменатель будет равен 4

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь в числителе выражение (−b) 2 станет равно b 2 , а выражение 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенстанет равно просто D

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Но D равно b 2 − 4ac . Подстáвим это выражение вместо D , не забывая что a = 1 . То есть вместо b 2 − 4ac надо подставить b 2 − 4c

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Сократим получившуюся дробь на 4

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком ( x1 + x2 = −b ), а произведение корней равно свободному члену ( x1 × x2 = c ). Теорема доказана.

Видео:СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯ

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b , а произведение x1 и x2 равно c . В обратной же теореме это заключение служит утверждением.

Ранее мы решили уравнение x 2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

А затем подобрали корни 3 и 2 . По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 , взятому с противоположным знаком (числу 5 ), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6 ). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 .

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

В данном уравнении a = 1 . Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6 , поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6 . А произведение корней будет равно 8

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6 , так и равенству x1 × x2 = 8

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2 , произведение которых равно 8.

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

4 × 2 = 8
1 × 8 = 8

Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8 , но и равенству x1 + x2 = 6 .

Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8 , но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6 .

Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8 , так и равенству x1 + x2 = 6 , поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Значит корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2 .

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n . Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0

Для начала запишем, что сумма m и n равна −b , а произведение mn равно c

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 , нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x , затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b . Выразим его из равенства m + n = −b . Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x 2 + bx + c = 0 вместо x , а выражение −m − n подставим вместо b

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x 2 + bx + c = 0 . Подставим вместо x букву n , а вместо c подставим mn , поскольку c = mn .

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0 .

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x 2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену :

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2 . Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Значение x1 совпадает с x2 . Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x 2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь подберём значения x1 и x2 . Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2 . Число 2 можно получить перемножив 1 и 2 . Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3 . Значит значения 1 и 2 не подходят.

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2 .

Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2 , но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3 .

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2 .

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Итак, корнями являются числа −1 и −2

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Пример 3. Решить уравнение x 2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5) . В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16 , а их произведение равно 15 . Значит корнями уравнения x 2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Пример 4. Решить уравнение x 2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3 . Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13 , поскольку при перемножении этих чисел получается −39 , а при сложении 10

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Значит корнями уравнения x 2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Пример 5. Первый корень уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 15 . Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b .

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

При этом один из корней уже известен — это корень 15 .

Тогда второй корень будет равен 3 , потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь определим значение коэффициента b . Для этого напишем сумму корней уравнения:

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15 , а свободный член уравнения x 2 + bx + 45 = 0 равен 45

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Из этой системы следует найти x2 и b . Выразим эти параметры:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Но нас интересует b , а не −b . Следует помнить, что −b это −1b . Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1 . Тогда b станет равно −18

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Этот же результат можно получить если в выражении 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равенумножить первое равенство на −1

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x 2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Выполним умножение −18 на x . Получим −18x

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8 .

В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2 , x2 = 8 . По ним надо составить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c = 0 .

Запишем сумму и произведение корней:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10 , то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10 .

Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16 .

Значит b = −10 , c = 16 . Отсюда:

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равени 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен.

Запишем сумму и произведение корней:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

Видео:Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравненияСкачать

Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравнения

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Если к примеру в квадратном уравнении a x 2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на a

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Получилось уравнение 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен, которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен, а свободный член равен 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен. Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Например, решим квадратное уравнение 4x 2 + 5x + 1 = 0 . Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x 2 , то есть на 4

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен, а свободный член 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен. Тогда по теореме Виета имеем:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x 2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x 2

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Получили уравнение 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен. Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Отсюда методом подбора находим корни 2 и 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x 2 − 3x − 2 = 0

Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2 . Сделать это можно в уме. Если 2x 2 разделить на 2 , то полýчится x 2

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Далее если −3x разделить на 2 , то полýчится 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен. Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Далее если −2 разделить на 2 , то полýчится −1

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

Отсюда методом подбора находим корни 2 и 1 сумма корней уравнения равна а произведение корней равно 2 сумма корней уравнения равен

🎦 Видео

САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиетаСкачать

САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ ПОНЯТЬ ТЕОРЕМУ ВИЕТА #shorts #математика #егэ #огэ #теорема #теоремавиета

Теорема Виета, нахождение корней квадратного уравнения с помощью нее.Скачать

Теорема Виета, нахождение корней квадратного уравнения с помощью нее.

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Быстрый способ решения квадратного уравнения

Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Теорема Виета. 8 класс.

Вариант 17, № 2. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравненияСкачать

Вариант 17, № 2. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | Математика

Математика Один из корней уравнения 3x^2 +5x +2m =0 равен -1. Найдите второй корень.Скачать

Математика Один из корней уравнения  3x^2 +5x +2m =0  равен -1. Найдите второй корень.

Теорема Виета. Алгебра, 8 классСкачать

Теорема Виета. Алгебра, 8 класс

#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!Скачать

#67. Сумма квадратов корней в уравнении с параметром!

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСС

1039 Алгебра 8 класс, Найдите сумму квадратов корней уравненияСкачать

1039 Алгебра 8 класс, Найдите сумму квадратов корней уравнения
Поделиться или сохранить к себе: