1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Содержание
  1. I. Механика
  2. Тестирование онлайн
  3. Гармоническое колебание
  4. График гармонического колебания
  5. Уравнение гармонического колебания
  6. Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
  7. Максимальные значения скорости и ускорения
  8. Как получить зависимости v(t) и a(t)
  9. Уравнение гармонических колебаний
  10. п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс
  11. п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении
  12. п.3. Примеры
  13. Гармонические колебания в физике — формулы и определение с примерами
  14. Основные параметры гармонических колебаний
  15. Гармонические колебания пружинного маятника
  16. Гармонические колебания математического маятника
  17. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях
  18. Превращения энергии при гармонических колебаниях
  19. Теоретический материал
  20. Превращения энергии при гармонических колебаниях
  21. Энергия при гармонических колебаниях
  22. 📺 Видео

Видео:Урок 330. Скорость и ускорение при гармонических колебанияхСкачать

Урок 330. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

I. Механика

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Тестирование онлайн

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Видео:Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Выполнялка 53.Гармонические колебания.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки.

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Если колебание описывать по закону синуса

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Видео:Физика 9 класс. §25 Гармонические колебанияСкачать

Физика 9 класс. §25 Гармонические колебания

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Видео:Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1Скачать

Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Видео:Гармонические колебанияСкачать

Гармонические колебания

Уравнение гармонических колебаний

п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс

Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.

Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10 -14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10 15 с

Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени (s=x(t)), то для периодического процесса выполняется равенство: (x(t+T)=x(t)).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции (sin⁡t) и (cos⁡t) с периодом (T=2pi).

Множитель (omega) перед аргументом (t) тригонометрической функции сокращает её период в (omega) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:

Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при (t_0=0), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой (varphi_0=0). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: begin nu=frac Nt, omega=2pinu=2pifrac Nt\ omega=2picdotfrac=4pi text end Получаем закон колебаний: (x(t)=5cos(4pi t))

п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении

Пусть (x(t)) — координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos⁡omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-Aomega sinomega t=Aomega cos⁡left(omega t+fracpi 2right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на (fracpi 2). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=Aomega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=-Aomega^2 cosomega t=Aomega^2 cos⁡(omega t+pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на (fracpi 2) и колебания координаты на (pi). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=Aomega^2 $$ Например:
При A=2 и (omega=frac12) получаем такие синусоиды:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Из уравнения для ускорения получаем: $$ x»(t)=-Aomega^2cosomega t=-omega^2(Acosomega t)=-omega^2 x(t) $$ Откуда следует:

Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin⁡(omega t+varphi_0) text x(t)=A cos⁡(omega t+varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл (x(t)) и (omega) будет разным.

п.3. Примеры

Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиГоризонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения.

По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: (F=-kcdot x(t))
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: begin F=ma=mcdot x»(t)\ mcdot x»(t)=-kcdot x(t) end Уравнение движения грузика: $$ x»(t)+frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: (omega=sqrt)
Общее решение уравнения: (x(t)=Acosleft(sqrt+varphi_0right))
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=Asqrt, a_m=Afrac km $$ Ответ: (omega=sqrt)

Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиМатематический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g.

Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиLC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.
Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем.

Напряжение на конденсаторе (U_C(t)=frac). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС (varepsilon_L(t)=-Lfrac). При переходе к пределу (triangle trightarrow 0) получаем производную (varepsilon_L(t)=-LI'(t)). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: begin U_c(t)=varepsilon_L(t)Rightarrow frac=-LI'(t)Rightarrow frac+LI'(t)=0 end Вспомним, что (Q'(t)=I(t)) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда (I'(t)=Q»(t)).
begin frac+LQ»(t)=0 end Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q»(t)=fracQ(t)=0, omega=frac<sqrt> $$ Общее решение уравнения: (Q(t)=Q_m cosleft(frac<sqrt>t+varphi_0right))
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=frac=fraccosleft(frac<sqrt>t+varphi_0right) $$ Амплитудное значение напряжения: (U_m=frac)
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-frac<sqrt>sinleft(frac<sqrt>t+varphi_0right)=frac<sqrt>cosleft(frac<sqrt>t+varphi_0+fracpi 2right) $$ Амплитудное значение тока: (I_m=frac<sqrt>)
Ток опережает колебания заряда и напряжения на (fracpi 2)

Видео:УСКОРЕНИЕ - Что такое равноускоренное движение? Как найти ускорение // Урок Физики 9 классСкачать

УСКОРЕНИЕ - Что такое равноускоренное движение? Как найти ускорение // Урок Физики 9 класс

Гармонические колебания в физике — формулы и определение с примерами

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки, а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

С течением времени смещение груза уменьшается относительно 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки, но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение (1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки) равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде (1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки):

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

здесь: 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки– циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки– начальная фаза, (1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки) фаза колебания с течением времени 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки.
Из математики известно, что 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкипоэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений.

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки– время одного полного колебания:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки)

б) частота колебания 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки– количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Единица 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
c) циклическая частота 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки– количество колебаний за 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкисекунд:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются.
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Формула и решение:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Видео:11 класс урок №3 Практическая работа №1Скачать

11 класс урок №3 Практическая работа №1

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкисила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— масса шарика, закрепленного на пружине, 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— проекция ускорения шарика вдоль оси 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— жесткость пружины, 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки-удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения — известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкисоответствует квадрату циклической частоты 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиявляются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкифаза колебания, 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ — радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиЗначение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиВ этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиили 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Видео:Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | ИнфоурокСкачать

Гармонические колебания | Физика 9 класс #25 | Инфоурок

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник — это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Сила тяжести 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкидействующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиОднако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии перпендикулярная нити 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиСила натяжения 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии составляющая силы тяжести 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиуравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки«пытающейся» вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив проекциях на ось ОХ:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Приняв во внимание, что:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Для уравнения движения математического маятника получим:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Где 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— длина математического маятника (нити), 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— ускорение свободного падения, 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкитакже соответствует квадрату циклической частоты 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки(а).

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиа колебания смещения на

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки(см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Превращения энергии при гармонических колебаниях

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиимеет максимальное значение:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиа в точке равновесия максимальна:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиостается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

b) для математического маятника:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают: 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки(2)

Высоту 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиможно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Если колебания малые, то 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиИз треугольника KCD на рисунке 8 находим

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Подставив выражение для 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив формулу I (2), получим

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Подставляя выражения для 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив соотношение (1), находим

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки, модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

где 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкигруза в точке с

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Так как 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки(рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкито из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкит. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Высоту 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиможно выразить через длину 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкимаятника и амплитуду 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиколебаний. Если колебания малые, то 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиИз 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки(см. рис. 10) находим:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

или 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Подставив выражение (3) для 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив формулу (2), получим:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Подставляя выражения (3) для 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии (4) для 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив соотношение (1), находим:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

В крайних положениях, когда 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкимодуль скорости маятника 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкився энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

где 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

С учетом выражений для координаты 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии проекции скорости груза 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиа также для 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкинаходим его потенциальную энергию 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии кинетическую энергию 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкив произвольный момент времени

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Таким образом, начальное смещение 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиопределяет начальную потенциальную, а начальная скорость 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиопределяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкисм и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиОпределите период 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиколебании маятника.
Дано:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Решение

По закону сохранения механической энергии

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Ответ: 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Пример №2

Груз массой 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиг находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиЕго смешают на расстояние 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкисм от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиОпределите потенциальную 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкии кинетическую 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиэнергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Решение Потенциальная энергия груза:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Кинетическая энергия груза:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Отсюда
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Циклическая частота:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
В начальный момент времени 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкикоордината груза 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точкиОтсюда начальная фаза:
1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки
Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Ответ: 1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

1 гармонические колебания уравнения смещения скорости ускорения колеблющейся точки

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Вынужденные колебания в физике
  • Электромагнитные колебания
  • Свободные и вынужденные колебания в физике
  • Вынужденные электромагнитные колебания
  • Закон Архимеда
  • Движение жидкостей
  • Уравнение Бернулли
  • Механические колебания и волны в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Урок 335. Анализ графика гармонических колебанийСкачать

Урок 335. Анализ графика гармонических колебаний

Математические и пружинные маятники. 11 класс.Скачать

Математические и пружинные маятники. 11 класс.

Физика 10 класс. Гармонические колебания. Решение задачСкачать

Физика 10 класс. Гармонические колебания. Решение задач

5.4 Уравнение гармонических колебанийСкачать

5.4 Уравнение гармонических колебаний

Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/Скачать

Физика. 11 класс. Уравнение и графика гармонических колебаний /03.09.2020/
Поделиться или сохранить к себе: